数学八年级上册（2024）第12章 全等三角形12.4 逆命题和逆定理3. 角平分线完美版教学课件ppt

这是一份数学八年级上册（2024）第12章 全等三角形12.4 逆命题和逆定理3. 角平分线完美版教学课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了第1题，第2题，第3题，第4题，第5题等内容，欢迎下载使用。
1、会叙述角平分线的性质及判定;2、能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;3、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
如图，你能画出∠AOB的对称轴吗？
射线OC就是的∠AOB的对称轴，也是角平分线.
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE.
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
下面我们来证明刚才得到的结论.
已知:OC平分∠AOB, P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB .求证:PD=PE.
证明:∵ OC平分∠AOB, P是OC上一点，∴∠DOP=∠BOP.∵PD⊥OA,PE⊥OB ，∴∠ODP=∠OEP=90°.在△OPD和△OPE 中，∠DOP=∠EOP ,∠ODP=∠OEP ,OP=OP,∴ △OPD≌△OPE ().∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）.
由上面证明，我们得到角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等．
【例1】已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线且BD=CD∠B=∠C,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.试说明：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用全等证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
解： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴ △BDE ≌△CDF.
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( ).
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
1、判断下列的写法是否正确？
理由：没有垂直，不能确定BD、CD是点D到角两边的距离.
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = , ( )
角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等
理由：无法确定点D在∠BAC的平分线上.
在角平分线上和垂直这两个条件缺一不可．
这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
这个点到这个角两边的距离相等
一个点到角两边的距离相等
这个点在这个角的平分线上
想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？
逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.
分析：为了证明点P在∠AOB的平分线上，可以先作射线OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠AOP=∠BOP.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.
∴点P在∠AOB的平分线上.
判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
定理的作用：判断点在角平分线上.
角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线交于一点．
点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
【例2】如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，BD与CE相交于点F，BF=CF. 求证：点F在∠BAC的平分线上.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠CDF=∠BEF=90 °.在△CDF和△BEF中，∵∠CDF=∠BEF=90 °，∠CFD=∠BFE，BF=CF，∴△CDF≌△BEF( )， ∴DF=EF， ∴点F在∠BAC的平分线上.
1.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上.
证明：作FG⊥AC，FH⊥BC，FM⊥AB﹐垂足分别为G、H 、M .
∵ CF平分∠ECB，BF平分∠CBD
∴ FG＝FH＝FM
∴点F在∠DAE的平分线上.
2、如图所示，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD.求证：AD平分∠BAC.
1. 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是(　　) A.2 B.3 C. 1 D.4
2. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是(　　)A．PA＝PB B．PO平分∠APBC．OA＝OB D．AB垂直平分OP
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是_____
A. 4B. 6C. 8D. 12
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.