数学八年级上册（2024）3. 角平分线备课课件ppt

这是一份数学八年级上册（2024）3. 角平分线备课课件ppt，共23页。
第12章 全等三角形12.4 逆命题和逆定理3.角平分线现有如图所示的三条公路l1、l2、l3，要想在三条公路围成的区域内建一个加油站，使它到每条公路的距离都相等.能找到这个位置吗？导入新课任务一：角平分线的性质定理角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴.如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E .将∠AOB沿OC对折，能发现PD与PE有怎样的关系？PD＝PE .课堂探究能证明这个结论吗？已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E .求证：PD＝PE .分析 图中有Rt△PDO和Rt△PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE.课堂探究证明∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC.在△PDO和△PEO中，∠AOC＝∠BOC，∠PDO＝∠PEO，OP＝OP，∴△PDO≌△PEO(AAS)，∴PD＝PE.根据上面的证明过程，能总结出怎样的结论？课堂探究角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.几何语言：如图，∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.角平分线的性质的应用一定要同时满足两个条件：一是有角平分线上的点；二是点到角两边的距离(垂线段)，才有结论距离相等.课堂探究例 已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD.求证：∠B＝∠C.证明 ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF .在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).∴∠B＝∠C.课堂探究任务二：角平分线的判定定理角平分线的性质定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果？角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.写出该性质定理与它的逆命题的条件和结论，想想看，其逆命题是否是一个真命题？课堂探究性质定理的逆命题是真命题.课堂探究已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为点D和点E，QD＝QE.求证：点Q在∠AOB的平分线上.为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以作射线OQ，然后证明Rt△DOQ≌Rt△EOQ，从而得到∠AOQ＝∠BOQ.课堂探究证明 如图，过点O、Q作射线OQ.∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO＝∠QEO＝90°.在Rt△QDO和Rt△QEO中，∵OQ＝OQ，QD＝QE，∴Rt△QDO≌Rt△QEO(HL).∴∠DOQ＝∠EOQ(全等三角形的对应角相等).∴点Q在∠AOB的平分线上.课堂探究角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.这两条定理互为逆定理，根据这两条定理，就能证明：三角形的三条角平分线交于一点.证明“三角形的三条角平分线交于一点”这一定理.课堂探究已知：如图所示，AD、BE分别是△ABC中∠BAC与∠ABC的平分线，AD、BE相交于点O.求证：∠ACB的平分线也过点O.分析 要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了.课堂探究证明 如图，连结CO，延长CO交AB于点F，过点O作OH⊥AC于点H，作OG⊥BC于点G，作OI⊥AB于点I .∵AD是∠BAC的平分线，且点O在AD上，∴OH＝OI(角平分线的性质定理).∵BE是∠ABC的平分线，且点O在BE上，∴OG＝OI(角平分线的性质定理)，∴OH＝OG.课堂探究三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.拓展：三角形的三条内角平分线的交点，叫做三角形的内心.强调：题目中如果要证明一条射线是角平分线，则可用角平分线的判定定理来证明，必要时要作到角两边的距离的辅助线.注意：凡是可以利用角平分线的判定和性质定理来解的题，就不必证明全等，提高解题速度和思维能力.课堂探究课堂评价 B点拨 如图，过点D作DE⊥AB于点E.∵∠C＝90°，∴DC⊥AC.∵AD是 Rt△ABC的角平分线，DE⊥AB，DC＝3，∴DE＝DC＝3，即点D到AB的距离为3.课堂评价点拨 ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED＝EC，∴AE＋ED＝AE＋EC＝AC＝5 cm. D课堂评价点拨 三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等. C课堂评价答案 ∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD .在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB .∵点P 在BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.课堂评价答案 ∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.在△BDF与△CDE中，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE，∴AD平分∠BAC.(1)角平分线的性质定理和判定定理的内容分别是什么？(2)如何应用角平分线的性质定理和判定定理？(3)你还有哪些收获和体会？ 请与同学们一起分享！课堂总结基础性作业：教材练习第1~3题.提高性作业：教材习题12.4第4~6题.作业设计感 谢 观 看