数学八年级上册（2024）第12章 全等三角形12.4 逆命题和逆定理2. 线段垂直平分线精品教学课件ppt

这是一份数学八年级上册（2024）第12章 全等三角形12.4 逆命题和逆定理2. 线段垂直平分线精品教学课件ppt，共30页。PPT课件主要包含了PA与PB完全重合，已知线段AB，两弧相交于点C和D，∴AD＝DC，第2题，第3题，第4题，第5题等内容，欢迎下载使用。
1、理解和掌握线段垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算.2、知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.3、了解数学和生活的紧密联系，培养用数学的能力.
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB. 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB有怎样的关系？
如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站距离相等？
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB.
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
下面我们来证明刚才得到的结论：
你能用一句话来描述刚得到的结论吗？
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
几何语言叙述: ∵点P在线段AB的垂直平分线上（或PC⊥AB，AC=BC）， ∴PA=PB.
【例1】利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
作法：1.分别以点A和点B为圆心，以大于 AB一半的长为半径作弧，
求作：AB的垂直平分线.
2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线．
1. 如图，AB = AC，∠A = 50°，DE垂直平分AB. 求∠DBC的大小.
解：由题意，得∠ABC= (180°－∠A)÷2=65°，∠EBD=∠A=50°，∴∠DBC=∠ABC－∠EBD=15°.
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
一直线是一线段的垂直平分线
该直线上的点到线段两端的距离相等
点到线段两端的距离相等
该点在线段的垂直平分线上
逆命题是否是一个真命题？
逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB； 也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB．
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，故∠QCA=∠QCB=90°.在Rt△QCA 和Rt△QCB中，∵QA=QB，QC=QC，∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.∴AC=BC.∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？
应用格式：∵　PA =PB，∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
证明：连接PA，PB，PC.∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）.∴PB=PC.∴点P在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.
【例2】如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA = PB.
提示：作AB的垂直平分线与直线l的交点.
1. 如图，BD⊥AC，垂足为点E，AE = CE. 求证：AB＋CD＝AD ＋BC.
证明：∵BDAC ，AE＝EC，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AB＝BC，
∴AB＋CD＝AD＋BC.
2. 如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且 BD + AD = BC. 求证：点D在AC的垂直平分线上 .
证明：∵BD＋DC＝BC
而 BD＋AD＝BC，
∴ 点D在AC的垂直平分线上.
3. 如图，在△ABC中，∠A =30°，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D. 求证：点D在AB的垂直平分线上.
证明：∵∠C=90°，∠A =30°∴∠ABC=60°，∵BD是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=30°，∴∠A=∠ABD=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的垂直平分线上.
1.如图，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
由垂直平分线的性质可知，PA=PB=5
2.如图，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
∵DE是AB的垂直平分线∴AE=BE∵△BCE的周长为18∴AC+BC=18∴AC=10
A. 三边的垂直平分线的交点上B. 三条角平分线的交点上C. 三条高所在直线的交点上D. 三条中线的交点上
线段的垂直平分的性质和判定
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.