圆锥曲线综合：四点共圆问题、向量问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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(1)求抛物线的方程.
(2)在轴上是否存在一点，使得轴平分？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.
(3)已知点，直线、分别交抛物线于、两点，若、、、四点共圆，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)存在点
(3)或.
【详解】（1）∵，∴，∴抛物线的方程为：.
（2）由题意可知直线的斜率不可能为0，
设直线的方程为：，设点、的坐标为
联立方程为： ；
∴，，
由题意得：直线、的斜率之和为0，设点，
则有：，即
∴，
∴，
∴，
因为上式与无关，
∴ ∴.
所以存在点，满足条件.
（3）解法1：
当直线，的斜率均存在时，直线的方程为：，
联立可得：，
整理得：.
∴，∴，同理，.
又∵，，，四点共圆，
∴，又∵，
∴.即，即.
又由题意可知，，，
∴，
∴
∴，即或.
∵ ∴，即.
当直线，有斜率不存在时，不妨设直线的斜率不存在，此时，.
不妨设，则，.∴，，
∴.又∵，∴当时，.∴，，∴，.
∴，不合题意.
∴.
即 ∴
所以 ∴，
解得：为或.
又∵，∴或.
解法2：设直线、，的倾斜角分别为点、，
所以设的方程为：设，代入抛物线方程
，∴，
∴，∴
同理可得：.
因为、、、四点共圆，所以，
∴ ∴，
∵ ∴ ∴.
即
∴
所以
∴因解得：为或
又∵，∴或.
例2．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为．且椭圆过点，椭圆的下顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点（点在点的上方），与轴交于点（点在点的下方），点为点关于原点的对称点，交轴于点，设的面积分别为．
①若直线l的斜率为2，求的值；
②是否存在直线，使，，，四点共圆？若存在，试判断直线的条数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①，②存在直线，条数为1条.
【详解】（1）因为椭圆的左、右焦点分别为，，
且过点，
，
，，
可得椭圆方程为.
（2）①直线的方程为，设，，
联立，消去，得，
则，，又，，
所以，
②假设存在直线，设直线的方程为，
联立，消去，得，，
所以，，
，
如图，延长交轴于点，若四点共圆，
所以，而，
所以，
，，
又，
所以，
由，，
所以，
，
，即，
由点在点的下方得，即，
记，，
，
所以函数在上单调递增，又，，
所以函数在上只有唯一零点，即存在唯一，
使得成立，
所以存在直线，条数为1条.
例3．（25-26高三上·河南·月考）已知椭圆的长轴长为4，左､右焦点分别为是上一点，且.
(1)求的方程；
(2)过作直线交于两点（在轴上方）.
（i）求面积的最大值；
（ii）若的右顶点为，直线与轴分别交于两点，证明：四点共圆.
【答案】(1)；
(2)（i）3；（ii）证明见解析.
【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，所以，解得.
设，因为，所以，
又，所以，解得，所以，
所以，椭圆的方程为.
（2）（i）由题意知的斜率不为，故可设的方程为，
联立消去并整理得，此时，
由韦达定理，得，
所以，
所以.
令，设，，当时，，故在上单调递增，故，即，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以面积的最大值为3.
（ii）
证明：由题可知，
直线的方程为，令，得，即，
直线的方程为，令，得，即，
，
所以，
所以，即.
，
同理可得，即.
所以在以为直径的圆上，即四点共圆.
变式1．（25-26高三上·四川宜宾·月考）已知椭圆的离心率为，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，且．
(1)试求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线与椭圆交于两点，点在第一象限，求证：四点共圆．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意知，，即，又，解得，
∴椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，根据点在第一象限可知，
因为，，故方程为：，
整理得方程为，
过四点的曲线系方程为：
，
即，
取，
则方程可以转化为①．
此时，
，
而，
故恒成立，
故，
则①为圆的方程，故对， 总四点共圆．
变式2．（2025·上海闵行·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与交于A、B两点．设在点A、B处的切线分别为，，与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P．
(1)设点A横坐标为a，求切线的斜率，并证明；
(2)证明：点P必在直线上；
(3)若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标．
【答案】(1)，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）点A横坐标为a，则，
因为，，所以点A处的切线斜率为a
所以切线的方程为，
切线与x轴的交点为，
因为，所以，
所以，所以，
当时，亦有；
结论得证.
（2）证明：设，，由，得，
所以，
所以直线，直线，
由，得，即两直线的交点，
因为点，，三点共线，
所以，，得，
所以，所以
所以点P在直线上
（3）因为直线，直线，
所以，，由（2）可知，
设的外接圆方程为，
则，
解得，，
所以外接圆方程为
将代入方程，得
又，解得，，
所以点P坐标为
解法二:抛物线的焦点，
由（1）可知，同理可证得，
所以F，M，N，P四点共圆，
所以PF是的外接圆的直径，
因为P、M、N、T四点共圆，所以点在的外接圆上，
所以，
所以，即，得，
所以直线TP方程为，即
又点P在直线上，
则由，得，
所以点P坐标为
变式3．（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知定点，，过点作垂直于轴的直线，过点作斜率大于0的直线与曲线交于点、，其中点在轴上方，点在轴下方.曲线与轴负半轴交于点，直线、与直线分别交于点、，若、、、四点共圆，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由题得：，两边平分并化简得，
所以，曲线的方程为.
（2）解：设点、，设直线的方程为，
直线的方程与椭圆的方程联立，
消去得.
则，可得，
由韦达定理：，.

由条件，直线的方程为，直线的方程为，
于是可得，.
因为、、、四点共圆，由相交弦定理可得,
则，化简得，
又，，代入整理得：.
将韦达定理代入化简得：，即.
考点二 向量问题
例1．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知焦点在轴的双曲线，实轴长为2，焦距为4，、分别为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线交于、两点.
(1)求双曲线方程：
(2)若直线的斜率为1，求的面积；
(3)记左顶点为，直线、分别交直线于、两点，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)
(3)详见解析
【详解】（1）因为，所以，
又因为，所以，，
所以双曲线的方程为：；
（2）由（1）知，则直线方程为，
与双曲线方程联立，消去y得，
由韦达定理得，
则弦长，
，
左焦点到直线的距离为，
所以；
（3）如图所示：
当直线的斜率不存在时，，则，
所以，则；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
与双曲线方程联立，，消去y得，
由韦达定理得，
设，令，得则，
同理，
所以，
则，
，
，
，
.
综上：为定值0.
例2．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知点为椭圆：上一点，、分别为椭圆的左、右焦点.
(1)若点不在轴上，求的周长；
(2)过右焦点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过，求的方程；
(3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得（）成立?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)或
(3)存在，
【详解】（1）由题可得.
当不在轴上，由椭圆定义可得：，
则；
（2）由题可得直线斜率不为0，因，设，
将直线方程与椭圆方程联立，得，
消去得：，判别式为：.
设，由韦达定理，.
因以为直径的圆经过，则.
又，则.
则，
即
.
则或；
（3）设，，由题可得直线斜率不为0，且也经过.
设，由（2）中分析，可得.
又由椭圆对称性，可得与关于轴对称，则.
从而，，
因，则
.
又，则，
结合，，
则，
则，.
即存在满足题意.
例3．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线过右焦点，设，，求的值；
(3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）依题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）可得椭圆的右焦点，
设， ，，由题意知直线的斜率存在，
设直线的方程为，代入方程，
并整理得，
∴，，
又，，，，
而，，
即，，
∴，，
∴
.
（3）依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，由（1）可得，，
设，，
由，消去并整理得，
∴，， 则，
又直线的方程为，直线的方程为，
所以，即，
即，
所以，所以，即，
所以
，
所以点在定直线上.
变式1．（25-26高二上·湖南·期末）已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点．
(1)点在椭圆上，若，求的面积；
(2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)在轴上存在定点，使得为定值．
【详解】（1）设，又，则，
由得，∴解得，
故．
（2）由（1）知，左焦点．
因为直线斜率不为0，可设直线的方程为，
联立直线的方程与椭圆方程，得．
设，则，
．
设定点，则，
代入得：，
令此式与无关，则，则，
此时，
因此，在轴上存在定点，使得为定值．
变式2．（25-26高二上·天津西青·期末）已知椭圆方程为，椭圆的一个顶点为，离心率，过椭圆的右焦点的直线与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是线段（为坐标原点）上一个动点，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）易知椭圆的焦点在轴上.
由椭圆C的一个顶点为，得，所以.
设椭圆的焦距为，由，解得：.
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由（1）得，所以椭圆的右焦点为.
设直线交椭圆于点，直线的方程为
联立：
将直线代入椭圆方程，消去可得：
恒成立.
则
由是线段（为坐标原点）上一个动点可得.
∵
∴
∴
∴
∴，
∴，解得：，符合.
故实数的取值范围为.
变式3．（25-26高二上·山东德州·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点在第一象限，点的纵坐标是.当轴时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)直线，设是抛物线上异于的一点，且在第一象限，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围；
(3)若，为坐标原点，过的直线与抛物线交于，且直线交轴于点，直线交轴于点，若，求证：为定值.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当轴时，，此时点横坐标即为焦点的横坐标，
所以，得，
故抛物线方程为.
（2）设，根据，则，
所以直线方程为.
令，则，又，
所以，化简得①，
对任意的恒成立.
因此，结合，所以，
当时，因为，即，此时①也成立.
综上所述：.
（3）证明：因为，所以.
设过的直线方程为，
联立，消去，得.
因此，即，
则，所以直线的方程为，
令，故.
同理可得.
因为，所以.
则有.
故.
故为定值2.
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