圆锥曲线：定点问题、定值问题、面积问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

这是一份圆锥曲线：定点问题、定值问题、面积问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习，共13页。
(1)求抛物线的方程；
(2)设点A，B是抛物线上异于点P的两个动点，且满足直线与的斜率之和为2.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）因为抛物线：经过点，
所以，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）设，直线的方程为，
所以，
联立，消去并化简得：，
所以，，
所以，
即，所以，
即，所以，
所以，所以，
所以直线的方程为，
所以直线过定点，该点坐标为，

例2．（2025·云南昭通·模拟预测）已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为，短轴长为．
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)不重合的两直线，过点且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，，不与坐标轴平行或重合，并满足．
①试判断两直线，的斜率关系并写出证明过程；
②若两直线，的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点．
【答案】(1)；
(2)①斜率之积为1或 ，证明见解析；②证明见解析.
【详解】（1）由题意得，短轴长为，所以，解得，
，所以，则，
所以椭圆Γ的标准方程为；
（2）与斜率存在且不为零，不妨设的方程为，
联立，消去y，可得，
设，，分别为的斜率，则，
，
所以，
在的表达式中用“”代换“”可得，
所以，则，
所以，得，
所以或．
（ⅱ）由（ⅰ），M是AB中点，则，
，即，
将代换为，则，
法1：直线MN为，
即，则直线MN恒过定点得证．
法2：记定点为点T，则，MN过定点得证.
例3．（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆的离心率为，点在C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
由题意可得，
解得， ，则，
所以椭圆的标准方程为．
（2）
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
代入椭圆的方程，可得，
设，，则，，
设，则
，
若为定值，则，解得，
此时，
点的坐标为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
代入，得，
不妨设，若，
则，
，
综上所述，在轴上存在点，使得为定值.
例4．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆的上顶点，为左焦点，为椭圆上的两点，点关于轴的对称点为为的平分线，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）双曲线方程为，转化为标准形式：，因为，所以焦点坐标为，
因为椭圆与双曲线有相同的焦点，故可设其方程为且椭圆的焦点坐标为，椭圆的离心率为，
所以，故，故，所以椭圆的方程为.
（2）
设直线、的倾斜角分别为和，则直线的倾斜角为，
由题设知和均不等于，又直线的斜率为，故其倾斜角为，
从而有，即，
则，即，
又，故，
设直线、的斜率分别为、，则，
设直线、的方程分别为、，设，
联立，得，解得，
则，故点，
同理可得，
由题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，
代入点坐标得，化简得，
同理有，
故、是方程的两个根，
故，解得，
故直线方程为，过定点；
变式1．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知椭圆的左顶点为A，离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点的直线交C于两点，过M且平行于y轴的直线与线段交于点T，点Q满足，问：是否存在x轴上的定点K，使得直线始终经过点K．
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）由已知得，
解得，
故的方程为；
（2）依题意可得过的直线的斜率存在，设
联立，得，
，即，即.
由韦达定理可知，
由可得线段，
点Q满足为的中点，
联立，可得．故有，
下面证明定点K为．
下面证明，
则只需证明：
即：，
代入
只需证：
即
将代入，只需证明：…
展开可得
显然成立．
由于x轴上不可能存在第二个定点，否则直线即为x轴，可知为唯一定点，故直线过定点．
变式2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左右焦点分别是，上顶点，右顶点为，的外接圆半径为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)动圆的圆心坐标，过点作圆的两条切线分别交椭圆于和两点，记直线的斜率分别为和．求证：；
(3)设直线与椭圆交于两点（不是左右顶点），若以为直径的圆经过点，求证：直线恒过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）因为右顶点为，所以 ，，
所以 ，设的外接圆的半径为，
则 ，所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设过点与圆的切线的直线为，动圆的半径为，
由已知，，化简得，
当时，过点的两条切线的方程分别为，，与条件矛盾，
当时，和是方程的两根，
由韦达定理知，.

（3）若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，消可得，
方程的判别式如下，
为，
设，，
则是方程的两个根，
所以，，
因为以为直径的圆经过点，所以，
又，，
所以 ，①
又 ，
所以，
将，，代入①式，
可得 ，解得 或，
当时，直线的方程为，直线过定点，
当时，直线的方程为，直线过定点，矛盾，
所以直线恒过定点.
变式3．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点为．
(1)当切线的长度为时，求点的坐标；
(2)若的外接圆为圆，试问：当在直线上运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)或
(2)圆过定点，．
【详解】（1）由题意知，圆的半径，，设，
是圆的一条切线，，
，解得，，
或．
（2）设，，经过三点的圆以为直径，
其方程为，
即，
由，解得或，
∴圆过定点，．
变式4．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）在平面直角坐标系 中，已知动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 2， 记动点 的轨迹为 .
(1)求轨迹 的标准方程；
(2)已知圆： ，圆的切线交曲线于 、两点.
（i）当 时，若 ，且切点在第二象限，求切线的斜率；
（ii）当 时，已知是关于轴对称的两点，是否存在，使得 的外接圆过定点； 若过定点，求出定点坐标； 若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）或；（ii）存在，定点
【详解】（1）设，由题意可得，
即，
平方化简可得：
（2）（i）当时，圆方程为：，
设切线方程为：，，
所以，平方可得：，
联立，得，
，
所以，
所以
即，
化简可得：，
解得：或，又，
所以或；
（ii）当切线斜率存在时，设切线方程为：，
所以，平方可得，
联立，得，
，，
所以，
所以中点，
所以的中垂线方程为：，
所以，
因为关于轴对称，则的外接圆圆心在轴上，设圆心坐标为，半径为，
则外接圆方程为 ，
若将切点上下对称，则由对称性，若外接圆过定点，则定点在轴上，
所以的中垂线交轴于，即为圆心，
所以，
所以，
所以圆的方程为，
令，得：，
将代入化简可得：，
若要和斜率无关，则，即，此时定点为原点，
若斜率不存在时，此时切线方程为或，（）与双曲线无交点，故舍去，
所以定点为原点.
考点二 定值问题
例1．（2026·广西柳州·二模）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点的坐标为，且为的中点.

(1)求椭圆的方程；
(2)斜率不为0的动直线过点交椭圆于，两点，直线，交于点，直线AD，BC交于点.
（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值；
（ii）以为直径的圆被轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）是定值，
【详解】（1）因为点的坐标为，且为的中点，
所以，即.
又离心率，所以，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）因为直线过点，可设直线的方程为，，
由消去得.
所以，.
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，
所以.，
将，代入得
，
即为定值.
（ii）是定值.
因为，由两点式可得直线的方程为；
因为，，由两点式可得直线的方程为.
因为直线，交于点，所以，
将代入得，
整理得.
由得，
所以.
同理，直线的方程为，直线的方程为，
联立可解得，
因此，所以直线垂直于轴，
以为直径的圆的圆心为，半径，
所以圆的方程为，
令，可得.
将代入直线的方程得，
同理得.
则.
将代入得，
所以，解得，
故弦长为，是定值，
即以为直径的圆被轴所截得的弦长是定值，为.
例2．（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，动点E满足直线与的斜率之积为，记E的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过点的直线交C于P，Q两点，
（i）求的最小值；
（ii）过点P作直线的垂线，垂足为G，过点O作，垂足为M.证明：存在定点N，使得为定值.
【答案】(1)，曲线为椭圆除去这两个点；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【详解】（1）设动点，直线与的斜率之积为，
，，，
，，
，，，，
的方程为，曲线为椭圆除去这两个点.

（2）（i）过点的直线交C于P，Q两点，
①当直线不存在斜率时，直线的方程为，将代入，
解得，则，解得，
②当直线存在斜率时，设直线的方程为，
联立，消去，得到关于的一元二次方程，
整理得到，即，
过点的直线交C于P，Q两点，，
，，，
设，
过点的直线交C于P，Q两点，
的解为，，
，
，
，，，，
，，
综合①②，，.
（ii）过点的直线交C于P，Q两点，的方程为，
与轴不重合，设的直线方程为，
联立，消去，得到关于的一元二次方程，
整理得到，
设，
过点的直线交C于P，Q两点，
是的两个根，
，，
，
过点P作直线的垂线，垂足为，，
是：上的点，，，
，，
，，
直线的方程为，整理得到，
直线恒过定点，
，为直角三角形，
取的中点，则，
故为定值，综上可知，存在定点N，使得为定值.

例3．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知椭圆（）的离心率为，且过点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，．求证：为定值；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意知：，，，
∴椭圆的方程为，把点代入方程得：，
，，，所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知椭圆的方程为，则右焦点，
易知过点的直线的斜率存在，
设，，的方程为，
代入椭圆方程，得，
则，
，，

，
为定值.
例4．（25-26高二上·山东·月考）如图，椭圆，且过，离心率．圆，点P为直线上一个动点．
(1)求椭圆W的标准方程；
(2)过点P作椭圆W的两条切线，切点分别为，证明：直线过定点；（参考公式：若为椭圆上的点，则椭圆在Q处的切线方程为）
(3)若直线与圆O相切于点M，且交椭圆W于两点，证明：为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由题意，得，解得，所以椭圆W的标准方程为．
（2）设点，
则切线的方程分别为．
将代入，得到，
点的坐标满足方程，则直线的方程为．
对于任意实数t，当时，恒有，即直线过定点，
所以直线过定点．
（3）圆，圆心为，半径为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由直线与圆O相切于点M，得，
圆心到直线的距离，
又因为，，所以，解得．
由，整理得．
则，
，
所以
．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，
联立解得，
所以，所以．
所以为定值．
变式1．（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为．
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点．
①若直线，求的面积；
②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，
【详解】（1）设双曲线的半焦距为．
因为点在双曲线上，得．
因为离心率为，所以，
又，解得，
所以双曲线的渐近线方程为．
（2）由（1）知双曲线．
①直线斜率为，，故直线的方程为，
代入双曲线得，
，，
所以．
又点到的距离为，
故的面积为．
②设，
当直线斜率存在且不为0时，设，
代入双曲线得，
，，，
所以
，
若为常数，则为常数，
设，为常数，则对任意的实数恒成立，，
所以，所以，此时．
当直线斜率为0时，，，对于，
则，
直线斜率不存在时，，
则，对于，
则，
所以在轴上存在定点，使得为定值．
变式2．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知直线交y轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B．
(1)当时，求切线长；
(2)求证：直线恒过定点；
(3)记直线与交于点C，，是否为定值？若是，求其值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)为定值
【详解】（1）圆的圆心，半径，
当时，，则，
因为为圆的切线，所以，
所以；
（2）因为，，且，
所以四点共圆，且为直径，
所以该圆圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，
因为是该圆和圆的相交弦，
所以直线的方程为两圆方程相减，
即，
化简可得，
所以直线经过定点；
（3）因为，所以，
因为在直线上，所以，
即点C在以为直径的圆上，因为，，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，圆心为，
因为点C在该圆上，所以为定值．
变式3．（25-26高二上·黑龙江·期末）已知椭圆：的离心率为，焦点与短轴端点围成的四边形的面积为.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)定点，定值为，理由详见解析.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以.
焦点与短轴端点围成的四边形为菱形，其面积为，即，
又，
联立解得，，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，左焦点.
设直线方程为，，，.
则，.
联立，整理得.
，
所以，.
.
要使为定值，即与无关，
所以，解得，即，
此时.
所以定点，定值为.
变式4．（25-26高二上·湖北荆州·月考）已知椭圆过点，左焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于两点，线段的中点为，点在椭圆上，满足（为坐标原点），求证：的面积为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定值为
【详解】（1）由题意知：，解得：，，
椭圆的方程为：.
（2）
设，，，
由得：，
，，，
，，即；
，，
在椭圆上，，；
，
原点到直线的距离，
，
的面积为定值，定值为.
考点三 面积问题
例1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于，两点，求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）依题意且，可得，则；
（2）依题意，设直线方程为，则，
消去并整理得，
，
设，则，
则面积，
令，则，且，
，而在上单调递增，其值域为，
所以时，面积的最大值为.

例2．（25-26高三上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知，平面内一动点满足,成等差数列，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于A，B两点.
①若点的坐标为，求线段AB的长；
②若的面积是面积的3倍，求直线的方程.
【答案】(1)
(2);直线：
【详解】（1）设动点，已知：，，且,,成等差数列，
由等差数列性质得：,
易得：,所以，
根据椭圆定义：，，
中心在原点，焦点在轴上，
故曲线方程为：.
（2）①直线过点,，故直线方程为：，
联立：，代入消元并通分得：，
解得：，，所以点,
,
故线段.
②当斜率不存在时，即，此时四点共线，不构成三角形，不符合题意.
当斜率存在时，设直线为：，，.
联立：，展开通分得：，
三角形和三角形是同底的，要使三角形的面积是三角形的3倍，
即，
，，
观察发现：，即同号，不妨设：，
代入和与积：
，
，
代入得：，
化简得：，
故方程为：.
综上：（1）曲线方程：.
（2）①线段.②直线方程：.
例3．（25-26高二上·上海闵行·期末）如图，设是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于两点，与轴交于点.

(1)若，求的值；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为直线与轴交于点，所以.
设，由知为的中点，所以.
由方程组，消去得，
则，即，且,
将代入得，消去得，
因为，所以解得.
（2）因为是椭圆的下焦点，所以，
到直线的距离.
由弦长公式知，
将代入得
，
所以，
令，则，
所以，当且仅当，即，即时等号成立，
所以面积的最大值为.
例4．（2026·河南鹤壁·一模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为和是上除顶点外的两个动点．
(1)若直线的斜率成等差数列，证明：直线过定点；
(2)若直线的斜率成等比数列，求面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【详解】（1）由题意得，所以．
若直线的斜率成等差数列，则．
设．
当直线的斜率存在时，设，由题意可知．
由
得，
则．（*）
所以
将（*）代入，得，化简得，当时，满足．
所以，可知该直线恒过点．
当直线的斜率不存在时，，
所以，得，不符合条件．
综上，直线过定点；
（2）若直线的斜率成等比数列，则．
记，由可得．
用替换，可得，因此关于轴对称．
因此的面积为．
可以看作关于的函数，故只需考虑的情况．
法一：①当时，．
考虑，
再令，则，
于是，
当且仅当时，等号成立，此时，解得，符合题意．
②当时，，此时，只需令，计算过程与前面相同．
综上，面积的最大值为1．
法二：对求导，得
,
当，，单调递增，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取极小值为，
当时，取极大值为，
而当时，，而，
则的最大值为1，即面积的最大值为1．

变式1．（25-26高二上·山东聊城·期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)已知点P是抛物线的准线上任意一点，过点（1，0）的直线交于两点A，B直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）如图所示，显然直线，与相切，且相互垂直，

则它们的交点在蒙日圆上，
则由题意得，解得，，
．
（2）设直线AB的方程为，由,得，，，
从而，
又由得，
，，
从而，
（当且仅当时，等号成立），
令，则，
由对勾函数的图像性质可知在上单调递增，
所以，所以取值范围为．
变式2．（25-26高二上·湖南郑州·月考）如图分别是的左、右焦点，点在椭圆上，当最大时，且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与椭圆的另一交点为，过作直线的垂线与圆交于两点，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当最大时，点与椭圆的上顶点或下顶点重合，
不妨设①，②，
由①②得，于是，
所以椭圆的标准方程是.
（2）当直线的斜率不存在时，容易求得，
则四边形的面积是.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
将与联立并消去，
整理得，则，
则，
由于直线与直线垂直，且经过点，
所以直线的方程为，
所以点到直线的距离为，
则四边形的面积为
，
令，而在上为增函数，
所以，于是 (当时取得最大值).
综上可知，四边形的面积为.
变式3．（25-26高二上·山东潍坊·月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，R，分别为线段，上的动点（不含端点），满足.已知直线与直线的交点在椭圆上.
(1)求的方程；
(2)若，为上两点，直线不平行于轴，为的左顶点，直线与的斜率之积为，且.
（i）证明：点到原点的距离为定值；
（ii）求面积的最大值，并求出此时，的值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）面积的最大值为，此时.
【详解】（1）设，，因为，所以，
所以.
设，由题意，
所以，
得，即为点所在的椭圆的方程.
（2）（i）设，.
因为在椭圆上，所以，
同理：.
又因为.
因为，
得：，
得：.
所以.
而.
所以.
所以点到原点的距离为定值1.
（ii）如图：
因为直线与轴不平行，所以可设直线的方程为，代入得：，
整理得：.
由.
因为，，
所以.
所以.
又，
所以，
所以.
所以.
所以.
由或.
所以当时，取得最大值，为.
此时，，，
所以，.
此时由.
变式4．（25-26高二上·湖北孝感·月考）已知椭圆（）的离心率为，且过点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，．
①求证：为定值；
②求的面积S的最大值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）由题意知：，，，
∴椭圆的方程为，把点代入方程得：，
，，，所以椭圆的方程为．
（2）①由（1）可得右焦点，易知直线的斜率存在，
设的方程为．
代入椭圆方程得．
设，，
则，.
，
为定值．
②．
由判别式，解得．
，，
点到直线：，
即的距离为，
则，
．
令，（），
则，
所以当，即时，有最大值为．
考点目录
定点问题
定值问题
面积问题