2026届高三数学二轮复习--圆锥曲线四点共圆专项训练30题含解析（word版）

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1. 已知椭圆 x24+y2=1 的左右焦点分别为 F1,F2 ，上下顶点分别为 B1,B2 ，左顶点为 A1,P,Q 是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点， 则下列四点可能共圆的是 ( )
A. P,Q,F1,F2 B. P,Q,B1,B2
C. P,Q,F1,B1 D. P,Q,A1,B1
2. 若函数 fx 的图象上存在四点共圆，则满足条件的 fx 可以是( )
A. fx=x2 B. fx=x
C. fx=sinx D. fx=ex
3. 已知 O 为坐标原点，椭圆 C:x2a2+y28=1a>22 . 过点 M2,1 作斜率分别为 22 和 −22 的两条直线 l1,l2 ，其中 l1 与 C 交于 P,Q 两点， l2 与 C 交于 S,T 两点，且 OP=2OM ，则( )
A. C 的离心率为 22 B. ST=6
C. 1MP+1MQ=1MS+1MT D. P,Q,S,T 四点共圆
二、解答题
4. 如图，从椭圆 x24+y23=1 上一点 P (异于椭圆的左、右顶点) 射出的光线照射到椭圆的右焦点 F2 上，经 x 轴反射， 反射光线过椭圆上的另一点 Q .
(1)写出 F2 的坐标；
(2)证明:直线 PQ 过定点；
(3) O 、 F2 、 P 、 Q 四点能否共圆？请说明理由.
5. 双曲线 C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0 的焦距为 27 ，点 A0,−2 在 C 上，直线 l:y=67 交 y 轴于点 P ，过 P 作直线 GH 交 C 于 G,H 两点，且 GH 的斜率存在，直线 AG,AH 交 l 分别于 M,N 两点.
(1)求 C 的方程；
(2)求 AG 与 AH 的斜率之积；
(3)证明: A,O,M,N 共圆.
6. 设 A、B 是双曲线 x2−y23=1 上的两点，点 M1,3 是线段 AB 的中点.
(1)求直线 AB 的方程；
(2)若线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C 、 D 两点，则 A 、 B 、 C 、 D 四点是否共圆？判断并说明理由.
7. 已知点 F 是椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点，椭圆 E 的离心率为 12 ，点 −1,32 在椭圆 E 上.
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)过点 F 的直线交椭圆 E 于 P,Q 两点，设椭圆 E 的左顶点为 A ，记直线 PA,QA 的斜率分别为 k1,k2 .
① 求 k1⋅k2 的值;
②过 P 作垂直于 PA 的直线 l 交 x 轴于点 M . 则 A,P,M,Q 四点是否共圆? 若共圆，求出该圆的方程; 若不共圆， 请说明理由.
8. 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ，以 F1,F2 及椭圆的一个短轴端点为顶点的三角形是等边三角形， 椭圆的右顶点到右焦点的距离为 1 .
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)如图，直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 M ，且交 y 轴于点 P ，过点 M 作垂直于 l 的直线交 y 轴于点 Q ，求证: F1,Q,F2,M,P 五点共圆.
9. 设经过点 1,22 的椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ，离心率为 e1 ，双曲线 x2−y2=n(n≠ 0)的离心率为 e2 ，若 e1⋅e2=1 .
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)直线 x=my+1 与椭圆 E 交于 A,B 两点.
(i) P 是椭圆上位于直线 AB 右侧的点，设点 P 到直线 AB 的距离的最大值为 d ，求 d 的最小值;
(ii) 设线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 M ，与直线 x=2 交于点 Q ，求证: 点 A,M,B,Q 在同一个圆上.
10. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ，准线为 l,O 为坐标原点， G 是 C 上一点，且 G 到 l 的距离为 4p,△OFG 的面积为 7 .
(1)求 C 的方程；
(2)已知过点 F 且不与坐标轴垂直的直线与 C 交于 A,B 两点.
(i) 设直线 OA,OB 分别与 l 交于点 M,N ，证明: AN∥BM ;
(ii) 设 l 与 x 轴的交点为 K ，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于 Q 点，则 A,Q,B,K 四点是否在同一个圆上? 并说明理由.
11. 圆幂定理是平面几何中关于圆的一个重要定理， 其中相交弦定理是其中重要的内容: 圆内的两条相交弦， 被交点分成的两条线段长的积相等. 其逆定理可作为证明四边形是四点共圆的依据. 该定理不仅可以在圆中得到应用， 在其他圆锥曲线中也大有妙用.
(1)已知椭圆 C:x24+y23=1,M,N 是椭圆 C 上任意两点，若直线 MN 与坐标轴不垂直，点 H 为线段 MN 中点，直线 OH ( O 为坐标原点)与 C 交于 R,E 两点，已知 R,E,M,N 四点共圆，求直线 MN 的斜率;
(2)已知抛物线 B:y=x2 ，过 G1,2 的直线与抛物线 B 交于 U,J 两点，设抛物线 B 在这两点处的切线分别为 l1,l2 ，已知 l1,l2 分别与 x 轴交于点 F,K,l1,l2 相交于点 A ，若 A,F,K,G 四点共圆，求点 A 的坐标;
(3)已知点 Tt,0t>1 是 x 轴上一动点，过 T 的动直线 l 交双曲线 Γ:x2−y2=1 右支于 P,Q ，过 T 作 l 的垂线分别交曲线于 M,NM,N分别在第一、二象限 ，直线 MOO 为坐标原点 ) 交双曲线于点 S ，求证: P,Q,S,N 四点共圆.
12. 已知 O 为坐标原点，椭圆 Γ:x2a2+y2=1a>1 的右焦点为 F ，过 F 且斜率大于 0 的直线 l 交 Γ 于 A ， B 两点， P 是 Γ 上一动点，且 △OPF 的面积最大值为 12 .
(1)求椭圆 Γ 的标准方程；
(2)若C是 Γ 上的另一点，满足四边形 OACB 为平行四边形.
(i) 求 AB ;
(ii) 设 C 关于 O 的对称点为 D ，求证: A,B,C,D 四点共圆.
13. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ，过点 F 的直线 l1 与 C 交于 A,B 两点，且 OA⋅OB=−3,O 为坐标原点.
(1)求 C 的方程；
(2)若直线 l1 与 C 的准线交于点 P ，过点 P 作直线 l2 交 C 于 M ， N 两点，且直线 l1 与 l2 的倾斜角互补.
(i) 求直线 l2 所过定点的坐标;
(ii) 证明: A,B,M,N 四点共圆.
14. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的长轴长为 4，左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上一点，且 PF1⊥
F1F2 ， cs∠PF2F1=45 .
(1)求 C 的方程；
(2)过 F1 作直线 l 交 C 于 A ， B 两点( A 在 x 轴上方).
(i) 求 △ABF2 面积的最大值;
(ii) 若 C 的右顶点为 Q ，直线 AQ,BQ 与 y 轴分别交于 M,N 两点，证明: M,N,F1,F2 四点共圆.
15. 已知抛物线 y=x2 与直线 y=mx+2 相交于 P,Q 两点 P在Q 左侧 ) ，给定点 A−1,1、B2,4 在抛物线上. (1) 用 m 表示 xP+xQ ；
(2)若 P ， A ， B ， Q 四点共圆，求实数 m 的值；
(3)在(2)的条件下，求过 P ， A ， B ， Q 四点的圆的方程.
16. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的两条渐近线为 y=±3x ，且经过点 2,3 .
(1)求双曲线 C 的方程；
(2) F1 ， F2 分别是双曲线 C 的左右焦点，过双曲线 C 上一点 Px0,y0 作双曲线的切线 l ( l 的方程为 x0xa2−y0yb2=1 )交 y 轴于点 Q ;
(i) 证明: F1,F2,P,Q 四点共圆;
(ii) 当 x0>0 时，过点 P 作 l 的垂线与 ∠PF1F2 的角平分线交于点 M ，求点 M 的轨迹方程.
17. 已知 A0,3,B0,5,C1,4,D−1,4 ，
(1)求证: A,B,C,D 四点共圆；
(2) A,B,C,D 所在圆记为 ⊙M ，点 P 是 x−y=0 上一点，从点 P 向 ⊙M 作切线 PE,PF ，切点为 E,F .
①若 cs∠EPF=34 ，求点 P 坐标并求此时切线 PE ， PF 的直线方程；
②求证:经过 E ， P ， M 三点的圆必经过定点，并求出所有定点坐标.
18. 设 A 、 B 是椭圆 3x2+y2=λ 上的两点，点 N1,3 是线段 AB 的中点，线段 AB 的中垂线与椭圆交于 C ， D 两点； (1)求 AB 的方程，并确定 λ 的取值范围:
(2)判断是否存在 λ ，使 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆，若存在，则写出圆的标准方程；若不存在，请说明原因.
19. 如图所示，已知椭圆 C:x2+y22=1 ， F0,1 ，过 F 且斜率为 −2 的直线 l 与 C 交于 A 、 B 两点，点 P 满足 OA+OB+OP= 0 ，延长 PO 交椭圆于点 Q . 求证: A、P、B、Q 四点共圆.

20. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ，左顶点为 A−2,0 ，点 M 为双曲线上一动点， 且 MF12+MF22 的最小值为 18,O 为坐标原点.
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)如图，已知直线 l:x=m 与 x 轴的正半轴交于点 T ，过点 T 的直线交双曲线 C 右支于点 B,D ，直线 AB,AD 分别交直线 l 于点 P,Q ，若 O,A,P,Q 四点共圆，求实数 m 的值.
21. 已知抛物线 C1:y2=3x 及抛物线 C2:y2=2pxp>0 ，过 C2 的焦点 F 的直线与 C1 交于 A,B 两点， O 为坐标原点， OA⊥OB . 过 F 的两条直线 MN ， PQ 与 C2 交于 M ， N ， P ， Q 四点，其中 M ， P 在第一象限，若直线 MP 与 x 轴的交点为 Tt,0 .
(1)求 C2 的方程；
(2)若 t=−2 ，求直线 NQ 与 x 轴的交点的坐标；
(3)是否存在点 T ，使得 M,N,P,Q 四点共圆? 若存在，求出 t 的值; 若不存在，请说明理由.
22. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0,C 的上顶点为 B ，左、右顶点分别为 A1、A2 ，左焦点为 F1 ，离心率为 12 . 过 F1 作垂直于 x 轴的直线与 C 交于 D ， E 两点，且 DE=3 .
(1)求 C 的方程；
(2)若 M,N 是 C 上任意两点，
①若点 M1,32 ，点 N 位于 x 轴下方，直线 MN 交 x 轴于点 G ，设 △MA1G 和 ΔNA2G 的面积分别为 S1,S2 ，若 2S1−2S2=3 ， 求线段 MN 的长度;
②若直线 MN 与坐标轴不垂直， H 为线段 MN 的中点，直线 OH 与 C 交于 P ， Q 两点，已知 P ， Q ， M ， N 四点共圆， 求 MN 的最大值.
23. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的长轴长为 4，离心率为 22 ，直线 l 交 E 于 A,B 两点.
(1)求 E 的方程；
(2)若直线 l 过 E 的右焦点，当 △OAB 面积最大时，求 AB ；
(3)若直线 l 不过原点， M 为线段 AB 的中点，直线 OM 与 E 交于 P,Q 两点，已知 P,Q,A,B 四点共圆，证明: ABb>0 ，过一点 Px0,y0∉E 作两直线 l1,l2 交椭圆分别于 A,B 和 C,D ，若 l1,l2 的斜率存在且不为 0，证明: A,B,C,D 四点共圆的充要条件为倾斜角互补.
25. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点为 F1−c,0,F2c,0 ，直线 l1:x=c 与双曲线 C 相交于 M,N ， 且 MN=263 . 双曲线 C 上任意一点 P 到 F2 的距离与到 l2:x=a2c 的距离的比为 233 .
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)斜率存在且不为 0 的直线 l 与双曲线 C 相切.
①若l与 l1 相交于 A 点，与 l2 相交于 B 点证明: F2AF2B 为定值；
②若 l 与直线 x=a 和 x=−a 分别相交于 S,T ，证明: S,T,F1,F2 四点共圆.
26. 已知双曲线 C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0 的上焦点为 0,6 ，下顶点为 A ，渐近线方程是 y=±2x ，过 B0,23 点的直线交双曲线上支于 P,Q 两点， AP,AQ 分别交直线 y=23 于 M,N 两点， O 为坐标原点.
(1)求 C 的方程；
(2)求证: M,N,O,A 四点共圆；
(3)求(2)中的圆的半径 r 的取值范围.
27. 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32 ，右顶点为 A ，设点 O 为坐标原点，点 B 为椭圆 E 上异于左右顶点的动点， △OAB 的面积最大值为 1 .
(1)求椭圆 E 的标准方程；
(2)设直线 l:x=m 交 x 轴于 P ，其中 m>a ，直线 PB 交椭圆 E 于另一点 C ，直线 BA 和 CA 分别交直线 l 于点 M 和 N ，是否存在实数 m 使得 O,A,M,N 四点共圆，若存在，求出 m 的值; 若不存在，说明理由.
28. 已知双曲线 C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0 的两个焦点是 F1,F2 ，顶点 A0,−2 ，点 M 是双曲线 C 上一个动点，且 MF12−MF22 的最小值是 85 .
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)设点 P 是 y 轴上异于 C 的顶点和坐标原点 O 的一个定点，直线 l 过点 P 且平行于 x 轴，直线 m 过点 P 且与双曲线 C 交于 B,D 两点，直线 AB,AD 分别与直线 l 交于 G,H 两点.若 O,A,G,H 四点共圆，求点 P 的坐标.
29. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右顶点为 A ，过右焦点 F 的直线与 C 交于 P,Q 两点. 当 PQ⊥x 轴时， PA= 10,△PAQ 的面积为 3 .
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)过点 Tt,0−10 的离心率为 12 ，右顶点为 A ，设点 O 为坐标原点，点 B 为椭圆 E 上异于左、右顶点的动点， △OAB 面积的最大值为 3 .
(1)求椭圆 E 的标准方程；
(2)设直线 l:x=t 交 x 轴于点 P ，其中 t>a ，直线 PB 交椭圆 E 于另一点 C ，直线 BA 和 CA 分别交直线 l 于点 M 和 N ，若 O、A、M、N 四点共圆，求 t 的值.