圆锥曲线综合：轨迹方程问题、离心率问题、中点弦问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设点，因为是的中点，且轴，则有，如图：
又在圆上，将代入其中可得
，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A.
例2．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义.
则，，又，所以，
所以点的轨迹方程为.
故选：B.
例3．（25-26高三上·江西·月考）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，是上不重合的两点，若存在，使得时，点满足，则点的轨迹方程为________．
【答案】
【详解】设，，则，
因为，且，所以，，
设，则，由，，所以，
因为不重合，所以，
设，由，可得，，
所以点的轨迹方程为．
故答案为：．
例4．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知平面上的动点与点，满足，则点的轨迹方程为_____.
【答案】
【详解】由点，，可得，
因为，即，可得点三点共线，
且点的轨迹方程为.
故答案为：
变式1．（25-26高三上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，，记一点到直线的距离为，已知，记的轨迹为，则下列命题错误的为（）
A．当时，是两条直线
B．当时，是圆
C．当时，是抛物线
D．当时，不存在
【答案】C
【详解】平面上，点到直线的距离为，
到点的距离为，
轨迹方程：.
A.当，方程为，即，解得或，
轨迹是两条直线和，A选项正确；
B.当，方程为，即，
平方得，轨迹是圆心，半径的圆，B选项正确，
C.当，方程为，
令，，则，
且，
由，得：
展开化简得：
分两种情况：
当时，，，
即，且由，
又由得，即，结合，得定义域：，
这是抛物线的一段弧；
当时，，，
即，且由，
由得，即，结合，得定义域：，
这是抛物线的一段弧；
轨迹由两段不同的抛物线弧组成，不是完整的抛物线，C选项错误；
D.当
方程为，
即，
要求，即或，
若，则，方程为，
平方得，化简得，
当时，，无实数解，
若，则，方程为，
平方得，化简得，
当时，，无实数解，
因此轨迹不存在，D选项正确.
故选：C
变式2．（25-26高二上·河南许昌·期末）法国数学家加斯帕尔•蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆，且的离心率为，则的“蒙日圆”的方程为（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】C
【详解】对于椭圆，其两条互相垂直的切线的交点为，由题干信息，可得在椭圆“蒙日圆”上，又“蒙日圆”圆心在，则“蒙日圆”半径为，
即椭圆的“蒙日圆”方程为：.
对于椭圆，若焦点在轴上，由题可得
，，，则“蒙日圆”方程为：；
对于椭圆，若焦点在轴上，由题可得
，，，则“蒙日圆”方程为：.
故选：C
变式3．（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）已知抛物线，过动点作抛物线的两条切线，记两条切线的斜率分别为，若，则动点的轨迹方程为__________．
【答案】
【详解】设，切线方程为，
与联立得，
由，整理得，则方程的两个根为和，
则，，由，即，
得，即，所以动点的轨迹方程为.
故答案为：
变式4．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）在平面直角坐标系中，动点N到定点的距离比它到y轴的距离大1，则动点N的轨迹方程为_________.
【答案】或
【详解】设为轨迹上任意点，则两边平方，
得，
所以动点N的轨迹方程为或.
故答案为：或.
考点二 离心率问题
例1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作与x轴不垂直的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，若是周长为的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设，
两点位于双曲线C的右支上，根据双曲线的定义得，即，
，即，
又是等腰三角形，，即，，
又的周长为，，，即，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又和互补，，
即，化简得，
，又，.
故选：B.
例2．（2026·浙江·模拟预测）已知曲线分别是曲线的左､右焦点，点是曲线与在第一象限的交点，点在上的投影是点.若，则曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为点在上的投影是点，所以，
因为，所以，
设，则（*）
又由，得，
代入（*）式得，得，
故曲线的离心率是.
故选：B
例3．（2026·湖南常德·一模）已知双曲线：左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支相交于点，若，且，则双曲线的离心率为________.
【答案】
【详解】由题知，，，，
则，，
又，设，
则，解得，
所以.
故答案为：
例4．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，且是抛物线的焦点，记与的一个交点为，若直线与只有一个公共点，则的离心率为__________．
【答案】
【详解】设，则，对求导得，所以，
又，所以，即，
所以，所以，所以轴．
在中，，在中，，
所以，所以，
所以，解得．
故答案为：
变式1．（25-26高三上·广东汕尾·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且满足，若线段的中垂线过原点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且满足，如图，
，由定义可知，
将代入到中，可得，
即，解得，那么．
线段的中垂线过原点，，又因为，
，那么是以为直角顶点的直角三角形．
在中，根据勾股定理可得，其中，
将代入，可得，即，
化简可得，即．
椭圆的离心率，且，．
故选：A．
变式2．（25-26高二上·江苏南通·期末）设是椭圆：和双曲线：的公共焦点，是它们在第一象限的公共点，与双曲线的右支交于另一个点，若以为直径的圆过点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，若以为直径的圆过点，则满足，
所以，可得，
所以，化简得出，
又因为，所以，
所以，即得，
所以，代入，可得，
则椭圆的离心率.
故选：D.
变式3．（25-26高二上·广东梅州·期末）设分别为双曲线C的左、右焦点，过点作斜率为的直线l，分别与双曲线C的左、右支交于点，直线与以为直径的圆在第一象限的交点为D，若D恰为的中点，则双曲线C的离心率为______．
【答案】/
【详解】由题可知，，
又D恰为的中点，所以，，
由双曲线定义得，
，即，
， 即，
直线l斜率为，则，即,
又，
解得，
在中，，
即，则，
故双曲线C的离心率．
故答案为：．
变式4．（25-26高二上·贵州毕节·期末）设是坐标原点，是椭圆的左焦点，椭圆上的点关于点的对称点是，若，，则该椭圆的离心率是_____．
【答案】
【详解】如图：
由题意，点关于点的对称点是，所以点是线段的中点，
根据椭圆的对称性知，点是线段（为椭圆的右焦点）的中点，
则四边形为平行四边形；
由，得，则，
在平行四边形中，由，得，
所以，即，
在中，由余弦定理得，
所以，
由题意，，
又，所以，
则，即，得，所以离心率.
故答案为：.
考点三 中点弦问题
例1．（25-26高二上·陕西西安·期末）若斜率为的直线l与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则C的短轴长为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【详解】设，，则，，
两式相减得，即，
因为线段AB的中点为，所以，，又，
代入，解得，则有，所以椭圆C的短轴长为．
故选：C.
例2．（25-26高二上·湖南常德·期末）椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以点在椭圆内，
又不在坐标轴上，故以为中点的弦所在的直线斜率存在，
设以点为中点的弦的两端的坐标分别为，
则，由，两式相减，
得，则，
设以点为中点的弦所在直线斜率为，则，
所以所求直线方程为：，即.
故选：C
例3．（2026·新疆·一模）在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________．
【答案】
【详解】由双曲线的方程可知,设，
则，两式相减可得，即，
所以，
因为直线的斜率为，所以,所以，
直线的方程为，即，经检验符合题意.
故答案为：
例4．（25-26高二上·天津河西·期末）已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是__________．
【答案】
【详解】设，，则，，，
因为两点在双曲线上，所以，
两式相减得，则，
，故双曲线的渐近线方程是，经验证此时直线与双曲线有两个交点.
故答案为：.
变式1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）椭圆上存在两点、关于直线对称，则弦中点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设点、，则线段的中点为，
因为、关于直线对称，且直线的斜率为，
故，
因为，这两个等式作差得，
即，故①，
又因为点在直线上，故②，
联立①②可得，，
因此线段中点的横坐标为.
故选：D.
变式2．（25-26高二上·天津和平·期末）过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则（ ）
A．2B．4C．12D．16
【答案】B
【详解】设直线与椭圆相交于两点，
因为为线段的中点，故，
由在椭圆上，得，
两式相减并因式分解，
代入中点坐标化简得：
直线斜率，代入上式得
故选：B.
变式3．（25-26高二上·福建三明·期末）若直线：被双曲线截得的线段中点的横坐标为-4，则双曲线的一条渐近线方程为______.
【答案】
【详解】设直线与双曲线交点为，中点为，原点为，
因，则.
又，两式相减并化简可得.即，
则双曲线渐近线方程为：.
故答案为：.
变式4．（25-26高二上·河北张家口·期末）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在直线的方程为______.
【答案】
【详解】设弦所在直线与双曲线的交点分别为，，显然，
则，即，
因为，两式作差得，
可得，可知弦所在的直线的斜率为，
故所求直线为，整理得，
联立方程，消去y可得，
则，符合题意.
故答案为：.考点目录
轨迹方程问题
离心率问题
中点弦问题