圆锥曲线与数列综合、圆锥曲线新定义问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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例1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线，关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比.
(1)已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程；
(2)射线的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆，分别交于两点，，且，求椭圆的方程；
(3)对抛物线，伸缩变换，得抛物线；对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，…，若，，若，是数列前项和，求.（注：.）
例2．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知抛物线，点在上，为常数，，按照如下方式依次得到不同的点及：过点作斜率为的直线与交于点，过点作斜率为的直线与交于点．设直线交轴于点，直线交轴于点，记点的横坐标为．
(1)若，求；
(2)求证：数列为等差数列；
(3)记的面积为，令求证：当时，．
例3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）数列、构成点列，点列均在直线上，O为坐标原点．椭圆，且．
(1)求数列、的通项公式；
(2)若点、在椭圆上，求椭圆C的离心率；
(3)若直线与椭圆交于、两点且，椭圆离心率为，证明：．
例4．（24-25高二下·贵州·期中）已知抛物线C：上的一点，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一点，且关于y轴的对称点为，记的坐标为．
(1)求抛物线在点处的切线方程；
(2)求证：数列是等差数列，并求，的表达式；
(3)求的面积．
变式1．（24-25高三下·河北承德·月考）在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.
(1)若曲线的方程为.
（i）求经过伸缩变换后所得到曲线的标准方程；
（ii）设曲线的左、右顶点分别为A，B，过点的直线与曲线交于M，N两点，直线与交于点T，证明：点T在一条定直线上；
(2)已知，抛物线经过伸缩变换，得到抛物线，设，，.求数列的前n项和.
变式2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的准线与圆相切．
(1)求抛物线E的方程；
(2)依次构造点列，，，．设，，，过点作斜率为的直线与曲线E分别交于点，，直线与曲线E交于另一点，直线与曲线E交于另一点，直线与x轴交于点．

（ⅰ）求数列和的通项公式；
（ⅱ）记的面积为，当时，求证：．
变式3．（2025·河北承德·模拟预测）已知椭圆的离心率.
(1)若椭圆过点，求椭圆的标准方程.
(2)若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设.
①求；
②记，求数列的前项和.
变式4．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为.
(1)求点，的坐标；
(2)记，证明：数列为等比数列；
(3)为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值.
考点二 圆锥曲线新定义问题
例1．（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知椭圆可由椭圆绕原点逆时针旋转得到.经过（）变换：可将椭圆的方程转化为的方程.
(1)若上的点经过（*）变换后得到上的对应点的坐标为，求的值；
(2)设椭圆的焦点为（其中在第一象限）.
（i）求的坐标；
（ii）过在第一象限内的顶点作切线，过作轴的垂线，在上且在外的一点作的两条切线，切点分别为，直线和分别交直线于两点.证明：直线和的交点在定直线上.
例2．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”．
(1)证明曲线是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式．
(2)证明：“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”．
(3)若存在双曲线是“反比例曲线”，过原点的直线交该双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足．在中，设底边上的高为，求．
例3．（23-24高二上·云南曲靖·月考）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆：.
(1)若椭圆：，试判断与是否相似?如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；
(2)写出与椭圆相似且短半轴长为b，焦点在x轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求实数的取值范围.
例4．（25-26高三上·北京昌平·月考）在平面上，我们把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，为该曲线的两个焦点．已知曲线是一条伯努利双纽线．
(1)求曲线的焦点的坐标；
(2)判断曲线上是否存在两个不同的点、（异于坐标原点），使得以为直径的圆过坐标原点．如果存在，求点、坐标；如果不存在，请说明理由．
变式1．（25-26高三上·福建莆田·月考）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
(1)设椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，M是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为6，求椭圆的方程；
(2)如图，已知“盾圆”D的方程为设“盾圆”D上的任意一点M到的距离为，M到直线：的距离为，求证：为定值．
变式2．（25-26高三上·山东青岛·月考）中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线. 在平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线是一条伯努利双纽线.
(1)求曲线C的焦点，的坐标；
(2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由.
变式3．（25-26高三上·浙江温州·月考）定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆．已知椭圆，椭圆（且）是椭圆的相似椭圆，点为椭圆上异于其左、右顶点的任意一点．
(1)当时，若与椭圆有且只有一个公共点的直线恰好相交于点，直线的斜率分别为，求的值；
(2)当（e为椭圆的离心率）时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值．
变式4．（25-26高三上·湖南株洲·月考）已知曲线，当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“椭圆群”．
(1)求“2-1椭圆群”中椭圆的离心率；
(2)若“椭圆群”中的两个椭圆、对应的t分别为、，且，则称、为“和谐椭圆对”．已知、为“和谐椭圆对”，P是上的任意一点，过点P作的切线交于A、B两点，Q为上异于A、B的任意一点，且满足，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；否则，说明理由．考点目录
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圆锥曲线新定义问题