2027届高三物理一轮复习教案：第二章　第八课时　专题强化：动态平衡和临界、极值问题

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考点一 动态平衡问题
动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。
1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
一个力(F1)恒定，另一个力(F2)方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。
若F1与F2垂直，三力构成直角三角形，如图甲所示，θ增大时，F2、F3都增大。
若F1与F2不垂直，当F3⊥F2时，F3有最小值，F3min=F1sin θ，如图乙所示。
例1 半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN。在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑的均匀小圆柱体Q，整个装置处于平衡状态，如图所示是这个装置的纵截面图。现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，发现P始终保持静止。则在此过程中，下列说法中正确的是( )
A.MN对Q的弹力逐渐减小
B.地面对P的摩擦力逐渐增大
C.P、Q间的弹力先减小后增大
D.Q所受的合力逐渐增大
答案 B
解析 对Q受力分析，F1表示P对Q的弹力，F2表示MN对Q的弹力，F2的方向水平向左保持不变，F1的方向顺时针旋转，如图所示
由平行四边形定则可知，F1与F2都逐渐增大，故A、C错误；对P、Q整体受力分析，由平衡条件得，Ff=F2，由于F2不断增大，故Ff不断增大，故B正确；由于挡板MN缓慢移动，Q处于平衡状态，所受合力为零，故D错误。
2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行，即三力构成的矢量三角形与△ACO相似，则对应边比值相等。基本矢量图，如图所示。基本关系式：mgH=FNR+r=FTL。
例2 (2025·浙江省Z20名校联盟一模)如图甲所示，为杭州亚运会吉祥物琮琮演示的攀岩运动。当琮琮处于平衡状态，且岩钉A位置固定时，分析问题可以将该实际情境进行简化处理，得到如图乙所示模型。下列说法正确的是( )
A.仅缩短主绳长度，绳子对琮琮的拉力不变
B.仅缩短主绳长度，岩壁对琮琮的作用力的大小不变
C.仅增加主绳长度，绳子对琮琮的拉力减小
D.仅增加主绳长度，岩壁对琮琮的作用力增大
答案 B
解析 杆OB为可转动杆，其施加的弹力为沿着杆的支持力，对琮琮受力分析如图所示，因力的三角形与几何三角形相似，有mgh=FNd=FTl，绳子对琮琮的拉力为FT=mglh，仅缩短主绳长度l，则拉力变小；仅增加主绳长度l，绳子对琮琮的拉力变大，故A、C错误；岩壁对琮琮的作用力为FN=mgdh，仅缩短主绳长度，或仅增加主绳长度，可知岩壁对琮琮的作用力的大小不变，故B正确，D错误。
3.“一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变”的动态平衡问题
利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。
例3 (多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α>π2)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小
答案 AD
解析 方法一 辅助圆
以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN绳上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误。
方法二 正弦定理
根据正弦定理mgsin θ3=F1sin θ1=F2sin θ2，mg与sin θ3保持不变，sin θ1变大，F1变大，sin θ2先增大后减小，F2先增大后减小，故选A、D。
分析动态平衡问题的流程
受力分析画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形
考点二 平衡中的临界、极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
(2)绳子恰好伸直，拉力F=0。
(3)刚好离开接触面，支持力FN=0。
2.极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3.解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡的临界点和极值点。
(2)数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
例4 (2024·浙江金华市三模)如图所示，甲、乙两柱体的截面分别为半径均为R的圆和半圆，甲的右侧顶着一块竖直的挡板。若甲和乙的质量相等，柱体的曲面和挡板可视为光滑，开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向，将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止，那么半圆柱乙与水平地面间动摩擦因数的最小值为( )
A.32B.12C.34D.22
答案 A
解析 分析可知，只要摩擦力最大时刚好不滑动，此时对应的动摩擦因数最小。整体分析有FN=2mg，Ff=F板，设O1O2与水平地面的夹角θ，对甲，由平衡条件得F板=mgtanθ
联立解得Ff=mgtanθ
可知θ角越小，Ff越大，故甲柱体刚接触地面时Ff最大，此时乙与水平地面间的动摩擦因数最小，由几何关系得sin θ=R2R=12，即θ最小为30°。则Ff=mgtan30°=μFN=μ·2mg
解得μ=32，故选A。
例5 如图所示，质量m=5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ=0.2，g取10 m/s2。求所需拉力F的最小值。
答案 226 N
解析 方法一 三角函数法
设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcs θ=μ(mg-Fsin θ)，整理得F=μmgcsθ+μsinθ=μmg1+μ2sin(β+θ)(其中sin β=11+μ2)，当θ=π2-β时F最小，故所需拉力F的最小值Fmin=μmg1+μ2=226 N。
方法二 利用“摩擦角”法
设FN与Ff的合力与FN方向的夹角为α，则tan α=FfFN=μ①
再设FN与Ff的合力为F'。
如图所示，当拉力F与F'垂直时有最小值
即Fmin=mgsin α②
联立①②得Fmin=226 N。
在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α=FfFN=μ，则Fmin=mgsin α，此时θ=α。
课时精练
[分值：37分]
[1~7题，每题3分]
1.(2024·山东卷·2)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于( )
A.12B.33C.22D.32
答案 B
解析 根据题意可知机器人“天工”可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有mgsin 30°≤μmgcs 30°
可得μ≥tan 30°=33
故选B。
2.(2025·河北卷·4)如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为( )
A.12GB.22GC.GD.2G
答案 B
解析 对小球进行受力分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时，此时拉力F最大，根据平衡条件有2Fmcs 45°=G，解得Fm=22G，故选B。
3.(2024·浙江宁波市二模)如图所示，质量为m的小球用一轻绳竖直悬吊于O点。现用一光滑的金属挂钩向右缓慢拉动轻绳至虚线位置，已知重力加速度为g，在此过程中，下列说法正确的是( )
A.钩子对绳的作用力始终不变
B.挂钩与O点间的绳子拉力先变大后变小
C.绳子对挂钩的作用力方向始终水平向左
D.钩子对绳的作用力大小不可能等于1.5mg
答案 D
解析 由于缓慢拉动，所以对于小球来说处于平衡状态，即绳子上的拉力与小球的重力大小相等，由于是同一根绳子所以绳子在金属挂钩两侧的拉力相等，都为mg，用一光滑的金属挂钩向右缓慢拉动轻绳至虚线位置，绳子两侧的夹角减小，由平行四边形定则可知，合力变大，且绳子对钩子的作用力的合力方向为左下方，即绳对钩子的作用逐渐增大，由牛顿第三定律可知，钩子对绳的作用力变大，故A、B、C错误；钩子两侧轻绳之间的夹角的最小值为90°，因此此时两根绳子的合力最大为2mg，即钩子对绳的作用力大小不可能等于1.5mg，故D项正确。
4.(2025·浙江省名校联盟联考)如图所示，现有一只虫子沿圆管的圆弧曲线从A点缓慢爬到B点，关于虫子爬过去的过程中，下列说法中正确的是( )
A.圆管对虫子的弹力可能不变
B.圆管对虫子的摩擦力先减小后变大
C.圆管对虫子的摩擦力一直减小
D.圆管对虫子的作用力一定改变
答案 B
解析 对虫子受力分析，受重力、圆管对其的支持力和摩擦力，设虫子在圆管上某点时过该点的切线与水平方向夹角为θ，由平衡条件，可得FN=mgcs θ，虫子从A点向B点缓慢爬行，θ角先减小后增大，圆管对虫子的弹力先增大后减小，故A错误；由平衡条件，有Ff=mgsin θ，当虫子从A点向B点缓慢爬行的过程中，θ角先减小后增大，所以圆管对虫子的摩擦力先减小后变大，故B正确，C错误；圆管对虫子的作用力是支持力与摩擦力的合力，等于虫子所受重力，所以应保持不变，故D错误。
5.两金属小球A、B用一轻质弹簧连接，球A用轻绳悬挂于O点，在水平拉力F的作用下，两小球处于如图所示的位置，此时轻绳与竖直方向的夹角为30°。现将力F逆时针缓慢转动30°，在此过程中，轻绳与竖直方向的夹角不变。下列说法正确的是( )
A.轻绳的拉力先减小后增大
B.A、B两小球间的距离增大
C.力F先减小后增大
D.弹簧与竖直方向的夹角增大
答案 D
解析 对A、B整体受力分析，如图甲所示，绳与竖直方向夹角不变，则轻绳拉力FT方向不变，现将力F逆时针缓慢转动30°(此时力F与轻绳拉力FT垂直)，则此过程中，轻绳拉力FT减小，力F减小至最小，故A、C错误；对B小球受力分析可知，在F转动过程中，弹簧与轻绳的夹角始终大于90°，对A小球受力分析，如图乙所示，其受轻绳拉力FT方向不变，而拉力FT变小，A小球处于动态平衡，则可知F弹在逐渐减小且与竖直方向夹角增大，即弹簧与竖直方向的夹角增大，根据胡克定律F弹=kx可知，弹簧伸长量x减小，即A、B两小球间的距离减小，故B错误，D正确。
6.(多选)如图，一斜面粗糙的斜面体置于粗糙地面上，斜面顶端装有一光滑轻质定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，M与滑轮间细绳与斜面平行，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°角。已知M与斜面体始终保持静止，则在此过程中( )
A.水平拉力的大小可能保持不变
B.M所受细绳的拉力大小一定一直增大
C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增大
D.斜面体所受地面的摩擦力一定增大
答案 BD
解析 方法一 图解法
对N进行受力分析，在力的矢量三角形中(如图甲所示)可以看出水平拉力的大小逐渐增大，细绳的拉力也一直增大，选项A错误，B正确；M的质量与N的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为θ，若mNg≥mMgsin θ，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大，若mNgGMsin θ时，有FT=GMsin θ+Ff，随着FT的增大，Ff将增大，所以沿斜面的摩擦力Ff可能先减小后增大，C错误；对整体受力分析，可知斜面体所受地面摩擦力等于水平拉力F，一定增大，选项D正确。
7.(2025·浙江省新阵地教育联盟联考)如图所示，质量为m的物体由两根轻绳吊起悬在空中处于静止状态，右侧绳子的另一端固定在高墙处的A点且与竖直方向的夹角为α，左侧绳子由人拉着且与竖直方向的夹角为β，现人站立不动而把手中的长绳缓慢释放，物体在接触墙前的过程，下列说法正确的是( )
A.两根绳子对物体拉力的合力变大
B.两绳子的拉力都变大
C.地面对人的摩擦力变小
D.地面对人的支持力变小
答案 C
解析 人站立不动而把手中的长绳缓慢释放，物体处于平衡状态，两根绳子对物体拉力的合力始终与物体重力等大反向，A错误；对物体受力分析，由相似三角形得GAC=FTAO=FOC，当人站立不动而缓慢释放绳子，则AC增大，AO不变，OC减小，可知FT减小，F减小，B错误；对人和物体整体有FTsin α=Ff，FT减小，α减小，则Ff减小，C正确；对人由平衡条件得Fcs β+FN=Mg，F减小，β增大，则FN增大，D错误。
[8~10题，每题4分]
8.(2025·浙江省强基联盟联考)在吊运表面平整的重型板材(混凝土预制板、厚钢板)时，如因吊绳无处钩挂而遇到困难，可用一根钢丝绳将板拦腰捆起(不必捆的很紧)，用两个吊钩钩住绳圈长边的中点起吊(如图所示)，钢丝绳与水平方向的夹角为α，若钢丝绳与板材之间的动摩擦因数为μ，为了满足安全起吊(不考虑钢丝绳断裂)，需要满足的条件是( )
A.tan α>μB.tan αμD.sin αFTsin α
化简可得tan α