初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）22.2 函数的表示第3课时教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）22.2 函数的表示第3课时教学设计，共6页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
1. 内容
本节课是在学习函数概念和函数表示法的基础上，进一步体会函数的三种表示方法的特点，学习综合运用三种表示方法表示函数关系。
2. 内容分析
本节课是函数表示法的综合应用课，在学生掌握解析式法、列表法、图象法各自表示函数的基础上，聚焦三种表示法的特点对比与综合运用，实现从“单一表示”到“综合选择与转化”的能力提升。函数的三种表示法是刻画变量关系的不同形式，各有优劣且可以相互转化，综合运用三种表示法能更全面、多角度地理解函数关系，是数形结合思想的综合体现。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：综合运用三种表示法表示函数关系。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）了解函数的三种表示法及其优缺点，能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。
（2）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。
2. 目标解析
（1）学生能清晰阐述解析法、列表法、图象法表示函数的优缺点，能根据实际问题的需求选择合适的表示法刻画变量关系，能实现三种表示法之间的相互转化。
（2）学生能结合三种表示法对函数的变量变化情况进行系统分析，从数值、图象、式子不同角度判断变量的变化趋势，能利用函数的不同表示法解决实际问题中的预测、计算等问题，发展数学应用意识和综合分析能力，在综合运用三种表示法的过程中，进一步深化数形结合思想，体会不同表示法在刻画函数关系中的价值，培养灵活运用数学方法解决问题的能力。
三、教学问题诊断分析
存在问题：
1. 学生能单独使用三种表示法，但难以根据实际问题的特点选择合适的表示法，缺乏对表示法选择的判断依据，容易出现“一概而论”的选择误区。
2. 学生对三种表示法之间的转化技巧掌握不熟练，尤其是由列表法抽象出解析式、由图象法转化为解析式时，难以从数据或图象特征中提炼出变量间的数量关系。
应对策略：
梳理“表示法选择依据表”，结合具体实例明确“精准计算选解析法、快速查值选列表法、直观分析变化趋势选图象法”，通过对比练习让学生掌握选择技巧。
2. 针对表示法转化，分类型讲解转化方法：解析式转列表 / 图象（取值计算→描点连线）、列表转解析式（找数量规律→验证关系式）、列表转图象（描点→连线），通过典型例题强化转化步骤。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：综合运用三种表示法表示函数关系。
四、教学过程设计
（一）情境引入
问题 如图，要做一个面积为12 m2的长方形花坛，该花坛的一边长为 x m，周长为 y m．
（1）变量 y 是变量 x 的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围；
（2）能求出这个问题的函数解析式吗？
（3）当 x 的值分别为1，2，3，4，5，6 时，请列表表示变量之间的对应关系；
（4）能画出函数的图象吗？
解：（1）变量 y 是变量 x 的函数，自变量的取值范围是：x>0.
（2）函数解析式为： y=2(x+ 12x ).
（3）列表如下：
（4）函数的图象如图所示：
设计意图：以长方形花坛的周长与边长的函数关系为切入点，设计四个层层递进的问题，让学生依次判断函数关系、写解析式、列表、画图象，自然引出函数的三种表示法，唤醒学生对单一表示法的知识储备。同时让学生在解决问题的过程中初步感受三种表示法可以刻画同一函数关系，为后续的对比辨析和综合运用做好铺垫，激发学生的探究兴趣。
（二）合作探究
总结 由上面的内容可知，写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可以表示具体的函数.这三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法.
思考 从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点?
（1）对于每一个大于0 的自变量的值，想准确确定对应的函数值，用什么表示法较好？——解析法
（2）对于x 的值分别为1，2，3，4，5，6 时，想知道其对应的函数值，用什么表示方法较好？——列表法
（3）想知道当x 的值增大时，函数值y 怎样变化，用什么表示方法较好？——图象法
注意 有时为全面地认识问题，需要同时使用多种表示法.
设计意图：先明确解析法、列表法、图象法的定义，再通过三个针对性问题引导学生自主探究三种表示法的优点，让学生结合具体需求体会“解析法适合精准计算、列表法适合快速查值、图象法适合分析变化趋势”的特点。通过“有时需要同时使用多种表示法”的提示，让学生形成综合运用的意识，突出教学重点。
（三）典例分析
例3 一个水库的水位在最近5 h内持续上涨.下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度.
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？
（2）水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象，这个函数能表示水位的变化规律吗？
（3）如果这种上涨规律还会持续2 h，那么2 h后水位高度将为多少米?
解：（1）如图，描出表中数据对应的点.可以看出，这6个点在一条直线上.再结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3 m.由此猜想，如果画出这5 h内其他时刻(如t=2.5 h等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的.
（2）由于水位在最近5 h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y都有唯一的值与其对应，所以y是t的函数.开始时水位高度为3 m，以后每小时水位上升0.3 m.函数y=0.3t+3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数，它表示经过t h水位高度y为(0.3t+3)m.其图象是图中点A(0，3)和点B(5，4.5)之间的线段AB.如果在这5 h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3 m/h，那么函数y=0.3t+3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律. 即使在这5 h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3 m是确定的，所以这个函数也可以近似地表示水位的变化规律.
（3）如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2 h，即t=5+2=7(h)时，水位高度y=0.3×7+3=5.1(m).把图中的函数图象（线段AB）向右延伸到t=7所对应的位置，得到右图，从它也能看出这时的水位高度约为5.1 m.
总结 由例3可以看出，有些函数的不同表示法之间可以转化.
设计意图：选取水库水位上涨的实际问题，该问题以列表法为切入点，层层递进设计描点画图、判断函数关系并写解析式、利用解析式预测水位三个问题，实现列表法→图象法→解析式法的逐步转化，让学生掌握不同表示法之间的转化技巧。同时，通过分析图象特征发现水位匀速上涨的规律，利用解析式进行精准预测，让学生体会三种表示法结合解决问题的优势，提升学生的综合应用能力。
（四）巩固练习
1.用列表法与解析法表示n边形的内角和m(单位：度)关于边数n的函数.
解：列表法：
解析法： m=180(n−2)，n≥3且n为整数.
2.用解析法与图象法表示等边三角形的周长C关于边长a的函数.
解：解析法： C=3a (a>0).
图象法：
3.一条小船沿直线向码头匀速前进.在0 min，2 min，4 min，6 min时，测得小船与码头的距离分别为200 m，150m，100 m，50m.小船与码头的距离s是时间t的函数吗?如果是，写出函数解析式，画出函数图象，并计算小船到达码头用了多长时间.
解：s是t的函数，解析式：s=200−25t(0≤t≤8)，
函数图象如右图所示.
当200−25t=0时，t=8，
∴小船到码头用了8 min.
设计意图：设计分层、多类型的练习，兼顾基础巩固和能力提升。整个练习环节紧扣教学重点和难点，让学生在练习中熟练掌握表示法的转化和综合运用技巧，提升数学应用能力。
归纳总结

感受中考
1．（2025年湖北武汉）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度y（单位：cm）随漏水时间t（单位：h）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从48cm变化到42cm所用的时间是（ A ）
A．3h
B．4h
C．6h
D．12h
2．（2025年广西）生态学家通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（ B ）
A．第5天的种群数量为300个
B．前3天种群数量持续增长
C．第3天的种群数量达到最大
D．每天增加的种群数量相同
3．（2025年河南）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速vkmh之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ C ）
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B．当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h
D．若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
4．（2025年江苏南京）如图，在长方形电子屏ABCD中，AB=8m，AD=5m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边AB，BC以2m/s的速度向点C运动，随着DP的移动，画面逐渐展开．
(1)写出展开的画面面积S（单位：m2）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式；
(2)当展开的画面面积达到电子屏面积的14时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时展开的画面面积．
解：（1）如图1，当0≤t≤4时，S=S△APD=12AP×AD=12×2t×5=5t，
如图2，当4