人教版（2024）八年级下册（2024）第二十二章 函数22.1 函数的概念第3课时教案

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1. 内容
本节课是在学习了函数概念的基础上，进一步讨论函数自变量的取值范围，用解析法表示函数关系，初步体会用函数描述和分析运动变化规律。
2. 内容分析
本节课是函数概念学习的延伸与应用，在学生理解函数、自变量、函数值等核心概念的基础上，聚焦解析法表示函数和确定自变量取值范围两大核心内容，是连接函数概念与函数实际应用的关键环节。解析法作为函数最常用的表示方法，能精准刻画变量间的数量关系，而自变量取值范围的确定，既需要考虑数学式子本身的取值要求，又要结合实际问题的背景，体现了数学的严谨性与应用性。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：用解析法表示函数关系。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）了解并使用解析法表示简单实际问题中的函数关系，发展抽象能力。
（2）会初步分析简单实际问题中的函数关系，能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值，发展应用意识。
2. 目标解析
（1）学生能结合实际问题的数量关系，写出函数解析式，理解解析式是表示函数关系的数学化形式，能准确识别解析式中的自变量和函数，发展数学抽象和建模能力，能根据自变量的值熟练求对应的函数值。
（2）学生能掌握确定自变量取值范围的两种依据 ——数学式子的意义和实际问题的背景，能分别确定纯数学解析式和实际问题中自变量的取值范围，能结合函数解析式解决简单的实际应用问题，发展数学应用意识和逻辑分析能力。
三、教学问题诊断分析
存在问题：
1. 学生在确定自变量取值范围时，容易忽略实际问题的背景限制，仅从数学解析式本身判断，导致取值范围不符合实际意义；对纯数学解析式的取值要求理解不透彻。
2. 学生在根据实际问题列函数解析式时，难以快速梳理数量之间的依存关系，容易混淆自变量和函数，或因数量关系分析错误导致解析式列写失误。
应对策略：
采用对比教学，分别呈现“仅考虑数学式子”和“结合实际意义”的自变量取值范围判断案例，让学生直观感受两者的区别，总结出“先看式子，再结合实际”的判断步骤；通过典型例题梳理分式、二次根式等纯数学解析式的取值规则。
2. 引导学生先分析实际问题中的变量依存关系，明确“谁随谁变”，确定自变量和函数，再梳理不变量与变量之间的数量关系，通过“文字描述→数量关系→数学式子”的三步法列写函数解析式，降低列写难度。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：确定简单实际问题的自变量取值范围。
四、教学过程设计
（一）复习引入
设计意图：通过回顾函数和函数值的核心概念，唤醒学生前两课时的知识储备，为本节课学习函数的解析式表示和自变量取值范围做好知识铺垫。
（二）合作探究
例2 汽车油箱中有汽油50 L．如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，已知平均耗油量为0.1 L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子；
解：行驶路程x是自变量，油箱中剩余的油量y是x的函数，它们的关系为y=50−0.1x.
（2）指出自变量x的取值范围；
自变量的取值范围：
函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有意义；超出这个范围，函数没有意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫作函数的自变量取值范围．
分析 不考虑实际意义：自变量的取值范围是x取全体实数.
考虑实际意义：x表示的实际意义是行驶路程，所以x≥0，
0.1x表示的实际意义是汽车行驶xkm时的耗油量，所以0.1x≤50，即x≤500.
综上所述：自变量的取值范围是0≤x≤500.
解：仅从式子y=50−0.1x看，x可以取任意实数.但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数.行驶中的耗油量为0.1x L，它不能超过油箱中现有汽油量50 L，即
0.1x≤50.
因此，自变量x的取值范围是
0≤x≤500.
总结 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且要注意问题的实际意义.
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？
解：汽车行驶200 km时，油箱中剩余的汽油量是函数y=50−0.1x在x=200时的函数值.将x=200代入y=50−0.1x，得y=50−0.1×200=30.
因此，汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油.
函数的解析式的概念
像y=50−0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.
设计意图：选取汽车油箱剩油量这一贴近生活的典型实例，分三步层层递进展开探究，先列写函数解析式，再确定自变量取值范围，最后求函数值，符合学生的认知规律。通过分析“仅考虑式子”和“结合实际意义”的取值范围差异，让学生自主总结出确定自变量取值范围的双重依据，突破教学难点。
（三）典例分析
例 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数，并写出函数解析式.
(1)水箱中原有水10 L，漏水速度为0.05 L/h，水箱中剩余的水量V(单位：L)随时间t(单位：h)的变化而变化；
(2)绿水村的耕地面积是106 m2，这个村的人均耕地面积y(单位：m2)随人数n的变化而变化.
解：(1)是函数关系，t是自变量，V是t的函数，函数解析式：V=10−0.05t.
(2)是函数关系，n是自变量，y是n的函数，函数解析式：y= 106n.
设计意图：选取两个不同类型的实际问题，紧扣“判断函数关系→确定自变量与函数→列写解析式”的核心步骤，进行规范解题示范。两个例题分别涉及一次式和分式解析式，兼顾不同形式，让学生掌握不同背景下函数解析式的列写方法，进一步强化“梳理数量关系→列写数学式子”的建模思路。
（四）巩固练习
1.梯形的上底长为2 cm，高为3 cm，下底长x(单位：cm)大于上底长但不超过5 cm，写出梯形面积S(单位：cm2)关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围.
解：函数解析式：S= 3(2+x)2，即S= 32x +3，自变量x的取值范围：2