安徽合肥市第一中学2026届高三下学期数学素质扩展训练（三）含答案

这是一份安徽合肥市第一中学2026届高三下学期数学素质扩展训练（三）含答案，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={x∣x 是绝对值小于 3 的整数 } ， B={1,3,5} ，则 A∪B 的元素个数为( )
A. 1 B. 3 C. 7 D. 8
2. 命题“ ∃x∈R,ex>lnx+1 ”的否定是( )
A. ∀x∈R,ex≤lnx+1 B. ∃x∈R,ex≤lnx+1
C. ∀x∉R,ex>lnx+1 D. ∃x∉R,ex>lnx+1
3. 已知向量 m=1,2,n=5−2t2,t 满足 m−2n=−5,0 ，则向量 m 与 n 的夹角为( )
A. π6 B. π4 C. 3π4 D. 5π6
4. 已知锐角 α 满足 sinα+βcsα−β+csα+βsinα−β=13 ，则 sinα+csα= ( )
A. 33 B. 22 C. 233 D. 32
5. 已知数列 an,bn 为等差数列,其前 n 项和分别为 Sn,Tn ,且满足 n+1an=2n+1bn+1 ，则 S7T7= ( )
A. 157 B. 158 C. 94 D. 95
6. 已知点 P 是圆 C:x−22+y2=4 上一点,直线 l:kx−y−k+1=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,则 PA+PB 的最大值为 ( )
A. 2+2 B. 2+22 C. 4+2 D. 4+22
7. 函数 y=x2ex−2 的图象大致为( )
A.

B.

C.

D.

8. 如果方程 Fx,y=0 能确定 y 是 x 的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数. 隐函数的求导方法如下: 在方程 Fx,y=0 中,把 y 看成 x 的函数 y=yx ,则方程可看成关于 x 的恒等式 Fx,yx=0 ,在等式两边同时对 x 求导,然后解出 y′x 即可. 例如,求由方程 x2+y2=1 所确定的隐函数的导数 y′ ,将方程 x2+y2=1 的两边同时对 x 求导,则 2x+2y⋅y′=0 y=yx 是中间变量,需要用复合函数的求导法则),得 y′=−xyy≠0 . 那么曲线 xy+lny=2 在点 2,1 处的切线方程为( )
A. x−3y+1=0 B. x+3y−5=0
C. 3x−y−5=0 D. 2x+3y−7=0
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个 选项中, 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 已知 2−x8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8 ,则( )
A. a0=28 B. a1+a2+⋯+a8=1
C. a1+a2+a3+⋯+a8=38 D. a1+2a2+3a3+⋯+8a8=−8
10. 如图,已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2,P 是正方形 ABCD (包括边界) 底面内的一动点, 则下列结论正确的有( )

A. 三棱锥 B1−A1D1P 的体积为定值
B. 存在点 P ,使得 D1P⊥BC1
C. 若 D1P⊥B1D ,则 P 点在正方形 ABCD 内的运动轨迹长度为 22
D. 若点 P 为 AD 的中点，点 Q 为 BB1 的中点，过 P ， Q 作平面 α⊥ 平面 ACC1A1 ，则平面 α 截正方体 ABCD−A1B1C1D1 所得截面的面积为 33
11. 已知椭圆 C:x22+y2=1,F1,F2 分别是椭圆 C 的左右焦点, O 是原点, P 是椭圆 C 上任意一点, 下列说法正确的有( )
A. △F1PF2 的周长是 22+2
B. ∠F1PF2=π3 时, △F1PF2 的面积是 3
C. PF1⋅PF2 的最大值是 2
D. 过 P 作椭圆 C 的切线与 x 轴和 y 轴分别交于 A,B 两点,则 △ABO 面积的最小值为 2
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 圆台母线长为 3，上、下底面半径比为1:2，当圆台体积最大时，以此圆台的上、下底面为截面的球的表面积为_____.
13. 下图是由七个圆和八条线段构成的图形 (该图形不能旋转和翻转), 其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”. 若将 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字分别填入这七个圆中, 且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字, 则符合要求的填法共有_____种.

14. 草坪上有一个带有围栏的边长为 6 m 的正三角形活动区域 ABC ,点 P 在边 BC 上,且 PC=2PB ，小王同学在该区域玩耍，他在 P 处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角(任两条光线的最大夹角)为 60∘ ，则手电筒在 ABC 内部所能照射到的地面的最大面积为 m2
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知 Sn 为数列 an 的前 n 项和,若 S2=6,S6=42 ,且数列 Snn 为等差数列.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若数列 bn 的首项为 2，且 bn+1bn=anan+2 ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
16. 已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有 1 个红球和 3 个白球，乙袋内有 2 个红球和 2 个白球. 根据下列规则进行连续有放回的摸球 (每次只摸 1 个球): 先随机选择一个袋子摸球. 若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球.
(1)按照上述规则摸球 3 次. 当第 1 次选中的是甲袋，求摸到红球的个数 X 的分布列及期望 EX ;
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到 2 次红球则停止摸球. 求 3 次之内(含 3 次)停止摸球的概率.
17. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, E,F 分别为 CD,PA 的中点.

(1)证明: EF// 平面 PBC ;
(2)若平面 PAB⊥ 平面 ABCD,PA=PB,AB=2,∠BAD=60∘ ，平面 PAE 与平面 PAB 夹角的余弦值为 43131 ,求点 F 到平面 PBC 的距离.
18. 已知函数 fx=ex−aa∈R .
( 1 )若函数 fx 过原点 0,0 的切线为 y=ex ，求实数 a 的值；
( 2 )若函数 fx 的图象与 ⊙O:x2+y2=r2r>0 相交于两个不同点 A,B ，记直线 AB 的斜率为 k .
(i) 当 r=2 时,求实数 a 取值范围;
(ii) 当 r=23 时,证明: k2025 成立时, n 的最小值.
1. C
A 是绝对值小于 3 的整数,即满足 xlnx+1 ”的否定为“ ∀x∈R,ex≤lnx+1 ”,
故选: A.
3. B
因为 m−2n=1,2−25−2t2,t=4t2−9,2−2t=−5,0 ,
所以 4t2−9=−52−2t=0 ,解得 t=1 ,
所以 n=3,1 ,
所以 cs⟨m,n⟩=m⋅nmn=3+21+49+1=22 ,又 0≤⟨m,n⟩≤π ,
所以向量 m 与 n 的夹角为 π4 ,
故选: B
4. C
由 sinα+βcsα−β+csα+βsinα−β=sinα+β+α−β=sin2α , 可得 sin2α=13,α 为锐角,
可得 sinα+csα=sinα+csα2=1+sin2α=1+13=233 .
故选: C.
5. C
等差数列前 n 项和 Sn=na1+an2,Tn=nb1+bn2 ,
所以 S7T7=7a1+a727b1+b72=a1+a7b1+b7 ,
由等差数列性质知 a1+a7=2a4,b1+b7=2b4 ,
所以 S7T7=a1+a7b1+b7=2a42b4=a4b4 .
又 n+1an=2n+1bn+1 ,
当 n=2 时， 2+1a2=2×2+1b2+1 ，即 3a2=5b3 ，
当 n=3 时， 3+1a3=2×3+1b3+1 ，即 4a3=7b4 ，
当 n=4 时， 4+1a4=2×4+1b4+1 ，即 5a4=9b5 ，
令等差数列 an 的公差为 d1 ,等差数列 bn 的公差为 d2 ,
则 3a4−2d1=5b4−d2 ①， 4a4−d1=7b4 ②， 5a4=9b4+d2 ③，
由②得, d1=4a4−7b44 ,由③得, d2=5a4−9b49 ,
代入①中，整理得， 4a4=9b4 ，所以 a4b4=94 ，故 S7T7=a4b4=94 .
故选: C.
6. D
依题意,直线 l:kx−y−k+1=0 可化为 kx−1−y−1=0 ,所以直线 l 过定点 D1,1 ; 圆 C:x−22+y2=4 的圆心为 C2,0 ,半径为 r=2 ,所以 CD=2ln2 时, ex>2,ex−2>0,x2ex−2>0,fx>0 ,排除 A ,
所以选项 D 正确.
8. B
由给定定义得,对 xy+lny=2 左右两侧同时求导,
可得 y+xy′+1y×y′=0 ,将点 2,1 代入,得 1+2y′+y′=0 ,
解得 y′=−13 ,故切线斜率为 −13 ,得到切线方程为 y−1=−13x−2 ,
化简得方程为 x+3y−5=0 ,故 B 正确.
故选: B
9. AD
由 2−x8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8 ,
令 x=0 得 a0=28 , A 选项正确.
令 x=1 得 a0+a1+a2+⋯+a8=1,a1+a2+⋯+a8=1−28 , B 选项错误.
二项式 2−x8 展开式的通项公式为 C8r⋅28−r⋅−xr=−1r⋅28−r⋅C8r⋅xr ,
由此可知 a1,a3,a5,a7 是负数, a2,a4,a6,a8 为正数,
所以令 x=−1 得 a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6−a7+a8=38 ,
−a1+a2−a3+a4−a5+a6−a7+a8=38−28,
即 a1+a2+a3+⋯+a8=38−28 , C 选项错误
由 2−x8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8 ,
两边求导得 −82−x7=a1+2a2x+3a3x2+⋯+8a8x7 ,
令 x=1 得 a1+2a2+3a3+⋯+8a8=−8 ,所以 D 选项正确.
故选: AD
10. ACD
对于 A ,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,平面 ABCD// 平面 A1B1C1D1 ,
则点 P 到平面 A1B1C1D1 距离为定值, △A1B1D1 的面积为定值, VB1−A1D1P=VP−A1D1B1 为定值, A 正确;
对于 B ,建立如图所示的空间直角坐标系,则 B2,2,0,C10,2,2,D10,0,2 ,

设 Px,y,0x,y∈0,2,D1P=x,y,−2,BC1=−2,0,2,D1P⋅BC1=−2x−4≤−4 , D1P,BC1 不垂直,因此不存在点 P ,使 D1P⊥AD1 , B 错误;
对于 C ,连接 DB,BB1⊥ 平面 ABCD,AC⊂ 平面 ABCD ,则 AC⊥BB1 ,而 AC⊥DB , 又 DB∩BB1=B,DB,BB1⊂ 平面 DBB1 ，则 AC⊥ 平面 DBB1 ，又 DB1⊂ 平面 DBB1 ，则 AC⊥DB1 .
同理得 AD1⊥DB1 ,又 AD1∩AC=A,AD1,AC⊂ 平面 D1AC ,则 B1D⊥ 平面 D1AC , 由 D1P⊥B1D ,得 D1P⊂ 平面 D1AC ,又 P∈ 平面 ABCD ,因此点 P 轨迹为平面 D1AC 与底面 ABCD 交线,即为线段 AC ,又 AC=22 , C 正确;

对于 D ,取 AB 中点为 P1 ,连接 PP1,DB⊥AC,AA1⊥ 平面 ABCD ,
由 PP1 平行于 DB,PP1⊂ 平面 ABCD ,得 PP1⊥AC,PP1⊥AA1 ,又 AC∩AA1=A ,则 PP1⊥ 平面 ACC1A1 ,
又取 DD1 中点为 Q1 ,则 QQ1//DB//PP1 ,有 P,P1,Q,Q1 四点共面,则平面 PP1QQ1⊥ 平面 ACC1A1 .
平面 PP1QQ1 即为平面 α ,设平面 α 分别与 D1C1,B1C1 交于 R,R1 ,
由平面 ADD1A1// 平面 BCC1B1 ,平面 ADD1A1∩α=PQ1 ,平面 BCC1B1∩α=QR1 ,
则 PQ1//QR1 ,又 P,Q,Q1 都是中点,则 R1 是 B1C1 中点,同理 R 是 D1C1 中点,
于是平面 α 截正方体 ABCD−A1B1C1D1 所得截面为正六边形,又正方体棱长为 2,则 PP1=2 ,
所以截面面积为 6×34×22=33 ，D 正确.

故选: ACD
11. ACD
对于 A ,由椭圆 C:x22+y2=1 知椭圆焦点在 x 轴上,且 a=2,b=1,c=1 ,
则 ΔF1PF2 的周长是 PF1+PF2+F1F2=2a+2c=22+2 ,故 A 正确;
对于 B ,由椭圆的定义得 PF1+PF2=2a=22,F1F2=2c=2 ,
由余弦定理得, PF12+PF22−2PF1PF2⋅cs∠F1PF2=F1F22 ,
则 PF1+PF22−3PF1PF2=4 ,即 8−3PF1PF2=4 ,则 PF1PF2=43 ,
所以 △F1PF2 的面积为 12PF1PF2⋅sin∠F1PF2=12×43×32=33 ,故 B 错误;
对于 C ,由 PF1+PF2=22 ,则 PF1⋅PF2≤PF1+PF222=2 ,
当且仅当 PF1=PF2=2 时等号成立,故 C 正确;
对于 D ,先证明: 椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上的一点 x0,y0 处的切线方程为 x⋅x0a2+y⋅y0b2=1.
联立 x2a2+y2b2=1x⋅x0a2+y⋅y0b2=1 ,得 a2y0​2+b2x0​2x2−2a2b2x0x+b2a4−a4y0​2=0 ,
∵ 点 x0,y0 在椭圆上, ∴x0​2a2+y0​2b2=1a>b>0⇒b2x0​2+a2y0​2=a2b2 ,
∴a2b2x2−2a2b2xx0+a2b2x02​2=0 ,即 a2b2x2−2xx0+x0​2=0 ,
∴a2b2x−x02=0 ,得 x=x0 ,故直线和椭圆仅有一个公共点,
则椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上的一点 x0,y0 处的切线方程为 x⋅x0a2+y⋅y0b2=1 .
设 Px0,y0 ,由题意知 C:x22+y2=1 的切线斜率存在,则切线方程为 x0x2+y0y=1 ,
令 x=0 ,得 y=1y0 ,令 y=0 ,得 x=2x0 ,即 A2x0,0,B0,1y0 ,
又 x022+y02=1 ,则 1=x022+y02≥2⋅x02⋅y0 ,
即 x0y0≤22 ,当且仅当 x02=y0=22 时等号成立,
则 △ABO 面积为 12⋅2x0⋅1y0=1x0y0≥2 ，
即 △ABO 的面积的最小值为 2 ，故 D 正确.

12. 171π
设圆台上底半径为 r ,则其下底半径为 2r ,高 h=9−r2 ,
此圆台的体积 V=π3r2+r⋅2r+4r2h=7π39−h2h,0