安徽省合肥市第一中学2025届高三下学期数学素质拓展试卷（四）（含答案）

这是一份安徽省合肥市第一中学2025届高三下学期数学素质拓展试卷（四）（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=xlg2x0，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增(或递减)的类似指数或对数曲线，或双曲线(如y=x−1)，还可以是一条S形曲线，当a=4，b=−1，c=1，d=1时，该拟合函数图象是( )
A. 类似递增的双曲线B. 类似递增的对数曲线
C. 类似递减的指数曲线D. 是一条S形曲线
4.已知sinα−β=−13，且sinαcsβ=16，则cs2α+2β=( )
A. 59B. −19C. 19D. 49
5.在棱长为a的正方体．ABCD−A1B1C1D1中，P为AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点P到平面A1EF的距离( )
A. 和点E，F的位置有关B. 和EF的长度有关
C. 和点P的位置有关D. 等于 22a
6.建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是( )
A. 7B. 8C. 12D. 13
7.已知直线l:mx+ny+t=0m2+n2≠0与圆C:x2+(y+3)2=8交于A,B两点，若m,n,t成等差数列，则∠ACB的最小值为( )
A. π3B. π2C. 2π3D. 5π6
8.设实数λ>0，若对任意x∈1,+∞，不等式eλx−λ+1x+lnx≥0恒成立，则λ的取值范围是( )
A. 00，所以csC=0，所以C=π2，
所以▵ABC为直角三角形；
(2)因为∠A=π6，▵ABC为以C为直角的直角三角形，所以B=π3，
设AB=2x，则AC= 3x，BC=x，所以AD=13AB=2x3，
所以在▵ACD中，由余弦定理可得CD2=AD2+AC2−2AD⋅ACcsA，
即4=2x32+ 3x2−2×2x3× 3x× 32，解得x2=3613，
所以S▵ACD=12AD⋅AC⋅sinA=12×2x3× 3x×12= 36x2=6 313．

17.解：(1)平面AEF⊥平面PBC，证明如下：
因PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，故PA⊥BC，
又BC⊥AB，AB∩PA=A，AB,PA⊂平面PAB，故BC⊥平面PAB，
因AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE，
因PA=AB，E为线段PB的中点，故AE⊥PB，
因BC∩PB=B，BC,PB⊂平面PBC，
故AE⊥平面PBC，又AE⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC．
(2)
如图建立空间直角坐标系，设BC=2，BF=t，则t∈0,2，
则A0,0,0,E1,0,1,F2,t,0,P0,0,2,C2,2,0,D0,2,0，
则AE=1,0,1,AF=2,t,0,PC=2,2,−2,PD=0,2,−2，
设平面AEF的一个法向量为i=x1,y1,z1，
则AE⋅i=x1+z1=0AF⋅i=2x1+ty1=0，令x1=t，则y1=−2，z1=−t，则i=t,−2,−t，
s设平面PCD的一个法向量为j=x2,y2,z2，
则PC⋅j=2x2+2y2−2z2=0PD⋅j=2y2−2z2=0，令y2=1，则z2=1,x2=0，则j=0,1,1，
由题意i⋅ji⋅j=−2−t t2+−22+−t2 12+12=csπ6= 32，
解得t=1∈0,2，故BFBC=12．

18.解：(1)当k=0时，fx=ex+1−x2，则f′x=ex+1−2x，
则曲线y=fx在点−1,f−1处的切线斜率为f′−1=3，
又f−1=0，
所以曲线y=fx在点−1,f−1处的切线方程为y=3x+3．
(2)f′x=ex+1−2x−k，
由题意得，x∈−1,+∞,f′x≥0恒成立．
令Fx=f′x，则F′x=ex+1−2，且F′x在−1,+∞单调递增，
令F′x=0，解得x=ln2−1>−1，
所以当x∈−1,ln2−1时，F′x0，故Fx单调递增；
所以F(x)min=Fln2−1=4−2ln2−k，
又f′x≥0，当且仅当F(x)min≥0，故k≤4−2ln2．
(3)解法一：因为f−1=k，所以题意等价于当x>−1时，fx≥k．
即∀x∈−1,+∞,ex+1−x2−kx≥k，
整理，得ex+1−x2≥kx+1，
因为x>−1，所以x+1>0，故题意等价于ex+1−x2x+1≥k．
设Gx=ex+1−x2x+1,x∈−1,+∞，
Gx的导函数G′x=ex+1−2xx+1−ex+1−x2(x+1)2，
化简得G′x=x(x+1)2ex+1−x−2，
考察函数gx=ex−x−1,x∈−∞,+∞，其导函数为g′x=ex−1，
当x0,gx单调递增；
故在x=0时，gx取到最小值，即gx≥g0=0，
即ex≥x+1，
所以ex+1≥x+2⇔ex+1−x−2≥0，
所以当x∈−1,0,G′x0,Gx单调递增；
所以Gx的最小值为G0=e，
故k≤e．
解法二：先考察f′x=ex+1−2x，由(2)分析可得f′(x)min=f′x0，
情况1：当f′(x)min≥0，即k≤4−2ln2，
此时fx在区间−1,+∞单调递增，
故f(x)min=f−1，即fx≥f−1，符合题意；
情况2：若k>4−2ln2，则f′(x)min=f′x0