安徽省合肥市第一中学2025届高三下学期数学素质拓展试卷（四）（含答案解析）

这是一份安徽省合肥市第一中学2025届高三下学期数学素质拓展试卷（四）（含答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 已知平面向量满足，且，则（ ）
3. 四参数方程的拟合函数表达式为，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如），还可以是一条S形曲线，当，，，时，该拟合函数图象是（ ）
4. 已知，且，则（ ）
5. 在棱长为a的正方体．中，P为AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点P到平面的距离（ ）
6. 建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是（ ）
7. 已知直线与圆交于两点，若成等差数列，则的最小值为（ ）
8. 设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列说法中，正确的命题是（ ）
10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（ ）
11. 我们常用的数是十进制数，如，计算机用的是二进制数，只需两个数码.如二进制数：.将十进制正整数表示为二进制数，其各位数字之和记为，即：，其中，且，则，如.则以下关于数列的结论正确的有（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知复数，则的虚部为__________．
13. 已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为__________.
14. 从球外一点作球表面的三条不同的切线，切点分别为，，，，若，则球的表面积为______.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有m个白球，m个黑球，2个黑白相间的球，且从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为．
(1)从盒子中随机摸出1个球，求在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率；
(2)从盒子中1次随机取出1个球，取出后不放回，共取2次，设取出的黑球数量为X，求X的分布列与期望．
16. 已知在中，.
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，点D在AB边上，且.若，求的面积.
17. 如图，在四棱锥中，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.
(1)若，平面与平面是否互相垂直？如果垂直,请证明；如果不垂直，请说明理由.
(2)若底面为正方形，当平面与平面夹角为时，求的值.
18. 设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上单调递增，求的取值范围；
(3)当时，，求的取值范围．
19. 已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)设椭圆．若过的直线交于另一点交于两点，且在轴上方．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）为坐标原点．为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
安徽省合肥市第一中学2025届高三下学期数学素质拓展试卷（四）
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、平面向量、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、平面解析几何、等式与不等式、算法与框图、数列、复数
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．2
B．
C．
D．1
A．类似递增的双曲线
B．类似递增的对数曲线
C．类似递减的指数曲线
D．是一条S形曲线
A．
B．
C．
D．
A．和点E，F的位置有关
B．和EF的长度有关
C．和点P的位置有关
D．等于
A．7
B．8
C．12
D．13
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数 越大，则样本的线性相关性越强
B．在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程 中， ，则
C．在回归分析中，决定系数 的值越大，说明残差平方和越小
D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ，将其变换后得到线性方程 ，则 的值分别是和0.3
A．若，则直线的斜率为
B．
C．（为坐标原点）
D．当取最小值时，
A．若，则的最大值为
B．
C．
D．
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
5
适中
10
较难
3
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；由对数函数的单调性解不等式
2
0.85
数量积的运算律；垂直关系的向量表示
3
0.85
函数图象的变换；根据解析式直接判断函数的单调性；函数新定义
4
0.65
用和、差角的正弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式
5
0.65
求点面距离；证明线面平行；证明线面垂直
6
0.85
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算；计算几个数据的极差、方差、标准差
7
0.15
直线过定点问题；由直线与圆的位置关系求参数
8
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数研究不等式恒成立问题；由导数求函数的最值（不含参）
二、多选题
9
0.65
非线性回归；根据样本中心点求参数；相关系数的意义及辨析
10
0.65
基本不等式求和的最小值；与抛物线焦点弦有关的几何性质；抛物线定义的理解；直线与抛物线交点相关问题
11
0.65
不同进制数的互化；数列新定义
三、填空题
12
0.85
求复数的实部与虚部；复数的除法运算；共轭复数的概念及计算
13
0.65
定点到圆上点的最值（范围）；利用定义求双曲线中线段和、差的最值
14
0.4
球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
四、解答题
15
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；计算条件概率；根据古典概型的概率求参数；求离散型随机变量的均值
16
0.65
正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形
17
0.65
证明面面垂直；面面角的向量求法；线面垂直证明线线垂直
18
0.4
由函数在区间上的单调性求参数；利用导数研究不等式恒成立问题；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；函数单调性、极值与最值的综合应用
19
0.4
根据a、b、c求椭圆标准方程；椭圆中三角形（四边形）的面积；根据韦达定理求参数
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
1,3,8,18
3
平面向量
2
4
三角函数与解三角形
4,16
5
空间向量与立体几何
5,14,17
6
计数原理与概率统计
6,9,15
7
平面解析几何
7,10,13,19
8
等式与不等式
10
9
算法与框图
11
10
数列
11
11
复数
12