安徽安庆市桐城市杨公中学等校2026年“徽聚百强”高三年级学科综合评价数学试题含答案

这是一份安徽安庆市桐城市杨公中学等校2026年“徽聚百强”高三年级学科综合评价数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了 已知椭圆 C等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息, 将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答, 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑, 非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答，字体工整，笔迹清楚.
4. 考试结束后, 请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合 A=x∣−150 , 若 M,A,B,C 四点共面，则 4x+1y 的最小值为( )
A. 4 B. 5
C. 92 D. 9
5. 将1,1,2,2,3,3六张数字牌按顺序进行排列,其中相同的数字牌不相邻的排法总数为( )
A. 12 B. 30 C. 60 D. 90
6. 已知 a>0 ,若函数 fx=x−a3ln3x+1−ax 恰有 1 个零点,则 a= ( )
A. e B. 13 C. 1 D. 3
7. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,过 F1 的直线与椭圆 C 交于 M、N 两点,若 S△MNF2=3S△MF1F2 ,且 ∠F2F1N=∠F2NF1 ,则椭圆 C 的离心率为 ( )
A. 13 B. 33 C. 23 D. 64
8. A 系列纸张是生活中最常用规格的纸, A 系列纸张命名规则: ① 一张 Ai 型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张 Ai+1 型号纸张; ②一张 A0 型号的纸张面积是 1 平方米；③所有 Ai 型号的纸的长宽比相等. 现从 A0 到 A9，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为( ) (单位:米)
A. 4422+121−2210 B. 2422+121−1210
C. 2422+121−2210 D. 2422+121−2211
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 fx=tanωx+π6ω>0 的最小正周期为 π3 ，则 fx 图象的对称中心的坐标可能为( )
A. −π9,0 B. −π18,0 C. π6,0 D. π9,0
10. 某地区 2025 年 2 月至 10 月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下 (条形图为月累计值, 折线图为与上年同月累计值的环比增长率):

☐累计 --同比增长
根据图表, 下列说法正确的是 ( )
A. 该地区 2025 年每月的地方一般公共预算收入一直递增
B. 2025 年 8 月该地区的地方一般公共预算收入超过 22 亿元
C. 2025 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入比 2024 年 9 月高
D. 2024 年前 9 个月, 该地区地方一般公共预算收入平均数高于 20 亿元
11. 已知定义域为 R 的函数 fx ,对任意实数 x,y 都有 fx+y+fx−y=2fxfy ,
且 f1=−1 ，则以下结论一定正确的有( )
A. f0=1
B. fx 是偶函数
C. fx 的图象关于点 0,1 中心对称
D. f1+f2+⋯+f2026=0
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 △ABC 的面积为 23 ， C=120∘ ， AB⋅BC+BC⋅CA+CA⋅AB=−16 ，则 AB= _____.
13. 设随机变量 X∼N1,σ2 ,且 PX−1≤2=0.9544 ,则 PX≤3=
14. 动直线 l1:x+2ky−2k=0 与动直线 l2:2kx−y+k+1=0 相交于点 Ca,b ,则 2a+b−1a−2 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 如图,在平面四边形 ABCD 中, ∠ABC+∠ADC=180∘,∠BAC=∠DAC .

(1)证明: CB=CD ；
(2)已知 AC=2,△ABC 的外接圆半径为 2 ，求 △BCD 面积的最大值.
16. 如图, AC,BD 是圆柱 OO1 下底面圆的两条直径,点 E 是该圆柱上底面圆周上一点, AE 的中点为 M .

(1)证明: CE// 平面 BDM ；
(2) CF 是该圆柱的母线，若四边形 CDEF 是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线 BM 与平面 ACE 所成角的正弦值.
17. 设 Sn 为数列 an 的前 n 项和,已知 a1=1 ,且 2Snn+n=2an+1 .
(1)求数列 an 的通项公式:
(2)设数列 bn 满足 bn=1n32−Snn ，证明: limn→∞bn=−12 ，并求 bn 的最大项.
18. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的焦距为 26 ，点 P6,3 在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程；
(2)点 Qm,n 是椭圆 C 上一点,过点 O0,0 作圆 Q:x−m2+y−n2=4 的两条切线分别交椭圆 C 于 M,N 两点,若直线 OM,ON 的斜率都存在,且分别记为 kOM,kON .
① 求 kOM⋅kON 的值:
②试问: △OW 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
19. 已知函数 fx=x+aex+1ax2 .
(1)证明: fx>−1e ；
(2)证明: fx 存在唯一极值点；
(3)记(2)中的极值点为 x0 ，证明: x0fx0+1a0,y>0
由共面定理可得, x+y+−1=1 ,即 x+y=2 ,
所以 4x+1y=124x+1yx+y=125+4yx+xy≥125+24yx⋅xy=92 ,
当且仅当 4yx=xy ,即 x=2y ,即 x=43,y=23 时,等号成立.
故选: C.
5. B
总排列数: 6!2!×2!×2!=7208=90 ,
两个 1 相邻的排列数: 5!2!×2!=1204=30 ,
两个 2 相邻的排列数: 5!2!×2!=1204=30 ,
两个 3 相邻的排列数: 5!2!×2!=1204=30 ,
两个 1 相邻且两个 2 相邻的排列数: 4!2!=242=12 ,
两个 1 相邻且两个 3 相邻的排列数: 4!2!=242=12 ,
两个 2 相邻且两个 3 相邻的排列数: 4!2!=242=12 ,
两个 1,两个 2,两个 3 都相邻的排列数: 3!=6 ,
由容斥原理得:两个 1 相连或两个 2 相连或两个 3 相邻的排列数为:
30+30+30−12−12−12+6=60.
所以相同的数字牌不相邻的排法总数为 90−60=30 .
6. B
由 fx=x−a3ln3x+1−ax ,可得 x=a 恒为 fx 的一个零点,
令 gx=3ln3x+1−ax ,则 fx 恰有 1 个零点,
等价于 gx 的唯一零点是 x=a ,或 gx 无零点.
因为 g′x=3x+ax2=3x+ax2 ,且 a>0,x>0 ,
所以 g′x>0 恒成立, gx 在 0,+∞ 上单调递增.
又 x→0+ 时 gx→−∞,x→+∞ 时 gx→+∞ ,因此 gx 必然存在唯一零点.
当 gx 的零点是 x=a 时,可得 ga=3ln3a+1−aa=3ln3a=0
即 ln3a=0 ,解得 3a=1,a=13 .
7. A

如图,因为 S△MNF2=3S△MF1F2 ,所以 S△NF1F2=S△MNF2−S△MF1F2=2S△MF1F2 ,
所以 NF1=2MF1 .
因为 ∠F2F1N=∠F2NF1 ,所以 △NF1F2 是等腰三角形,则 NF2=2c
又因为 F1N+F2N=2a ,所以 NF1=2a−2c ,所以 MF1=a−c ,则 MF2=a+c
过 F2 作 F2H⊥NF1 其中 H 为垂足,则 H 为 NF1 中点,所以 cs∠F2F1N=F1HF1F2=a−c2c .
在 △MF1F2 中,由余弦定理得 cs∠F2F1M=a−c2+2c2−a+c22⋅a−c⋅2c=−cs∠F2F1N=−a−c2c , 整理得 a=3c ,所以离心率为 13 .
8. C
设 Aii=0,1,2,⋯,9 纸的宽和长分别为 ai,bii=0,1,2,⋯,9 ,
则 a1=12b0,b1=a0 .
因为 b1a1=a012b0=2a0b0 ,又 b1a1=b0a0 ,所以 2a0b0=b0a0 ,解得 b0a0=2
又 a0b0=1 ，所以 a0=2−14,b0=214 .
根据题意, ai+1=12bi,bi+1=ai ,又 biai=b0a0=2 ,即 bi=2ai ,
所以 ai+1=12bi=22ai ,则 ai+1ai=22 ,
所以 ai 是首项为 a0=2−14 ,公比为 22 的等比数列,通项公式为 ai=2−1+2i4 , 同理, bi=2ai=21−2i4,bi 是首项为 b0=214 ,公比为 22 的等比数列.
因此 i=09ai=2−14×1−2−12101−2−12,i=09bi=214×1−2−12101−2−12 ,
故所有纸张的周长之和为 C=2i=09ai+bi=2422+121−2210 .
9. BD
由题意可得 πω=π3 ,解得 ω=3 (负值舍去),则 fx=tan3x+π6 ,
令 3x+π6=kπ2k∈Z ,则 x=kπ6−π18k∈Z ,
当 k=0 时, x=−π18 ,当 k=1 时, x=π9 ,故 −π18,0、π9,0 都是 fx 图象的对称中心, 故 B、D 正确;
令 kπ6−π18=−π9 ,解得 k=−13 ,由 k∈Z 不符,故 −π9,0 不是 fx 图象的对称中心, 令 kπ6−π18=π6 ,解得 k=43 ,由 k∈Z 不符,故 π6,0 不是 fx 图象的对称中心,故 A、C 错误.
10. CD
对于 A，由图表可知，3 月的地方一般公共预算收入为 66.57−43.88=22.69 (亿元),
4 月的地方一般公共预算收入为 83.96−66.57=17.39 (亿元),故 A 错误;
对于 B，8 月该地区的地方一般公共预算收入为 161.05−150.09=10.96 (亿元)，故 B 错误； 对于 C，由图表可知，2025 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入为 191.67−161.05=30.62 (亿元),
而 2025 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长 4.2%,
所以 2024 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入累计为 191.67 ÷ (1 + 4.2%) = 183.94 (亿元),
2025 年 8 月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长 -0.3%,
所以 2024 年 8 月该地区的地方一般公共预算收入累计为 161.05÷1−0.3%=161.53 (亿元),
所以 2024 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入为 183.94−161.53=22.41 (亿元),比 2025 年 9 月少，故 C 正确；
对于 D，由 C 选项可知，2024 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入累计为 183.94(亿元),
所以 2024 年前 9 个月,该地区地方一般公共预算收入平均数为 183.94÷9≈20.44 (亿元), 故 D 正确.
11. ABD
对于 A ,令 x=1,y=0 ,则 f1+f1=2f1f0 ,又 f1=−1 ,
所以 −1+−1=2×−1×f0=−2f0 ,解得: f0=1 ,故 A 正确;
对于 B ,令 x=0 ,则 fy+f−y=2f0fy ,
即 fy+f−y=2fy⇒f−y=fy ,
又函数 fx 的定义域为 R 关于原点对称,所以 fx 是偶函数,故 B 正确;
对于 C ,若 fx 的图象关于点 0,1 中心对称,则 fx+f−x=2 ,
由 f1+f−1=f1+f1=−1+−1=−2 ,不符合题意,故 C 错误;
对于 D ,令 y=1 ,则 fx+1+fx−1=2fxf1=−2fx ,
即 fx+1+fx=−fx+fx−1 ,
所以 f2+f1=−f1+f0=−−1+1=0 ,
f3+f2=−f2+f1=0,
f4+f3=−f3+f2=0,
,
f2026+f2025=−f2025+f2024=0
所以 f1+f2+⋯+f2026
=f1+f2+⋯+f2025+f2026 =−1+1+⋯+−1+1=1013×0=0 ,故 D 正确.
12. 25

如图所示,过 C 作 CM⊥AB 交 AB 于点 M .
则有 AB=c,AC=b,BC=a ,
AM=ACcsA=bcsA, BM=BCcsB=acs​​B.
因为 △ABC 的面积为 23,C=120∘ ,
所以 S△ABC=12absin120∘=12ab×32=23 ，解得 ab=8 .
所以 AB⋅BC+BC⋅CA+CA⋅AB
=ABBCcsπ−B+BCCAcsπ−C+CAABcsπ−A
=−accsB−abcsC−bccsA=−cacsB+bcsA−8×−12
=−cBM+AM+4=−c⋅AB+4=−c2+4=−16 .
解得 c2=20,c=25 ,即 AB=25 .
13. 0.9772
由 PX−1≤2=0.9544 ,得 P−1≤X≤3=0.9544 ,
根据 X∼N1,σ2 ,得 PX0 ,即 Δ>0 ,
S△OMN=12OG⋅y1−y2=12ty1−y2=12t86s2−t2+12t232=12t72t2=32.
综上 S△OMN=32
19.(1) 易得 a>0 ,此时 fx=x+aex+1ax2=xex+aex+1ax2>xex .
设函数 gx=xex,g′x=x+1ex ,
则 x∈−∞,−1 时, g′x0,gx 单调递增.
于是 fx>gx≥g−1=−1e ,故原不等式成立.
(2) f′x=x+a+1ex+2ax ，定义域为 R ，
显然当 x≥0 时, f′x≥a+1>0 ;
当 x≤−a−1 时, f′x≤0+2a−a−11 ,
故 h′x>−a−1+a+2ex+2a=ex+2a>0 ,
所以 hx 即 f′x 在区间 −a−1,0 上单调递增,而 f′0⋅f′−a−1−ex0, 又 x0∈−a−1,0 ,故 x0