初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）定义、命题、定理优秀导学案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）定义、命题、定理优秀导学案，共5页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，自主学习，情境导入，合作探究，概念归纳，典型例题等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】7.3.1 定义、命题 导学案（仅教学过程）
学科：初中数学 年级：七年级下册 课时：1课时 教学过程（45分钟）
一、情境引入，激发兴趣（5分钟）
教师提问导入：同学们，我们在之前学习相交线、平行线时，经常会用到“对顶角”“邻补角”“平行线”这些名称，大家还记得我们是怎么描述它们的吗？比如，什么是对顶角？什么是平行线？
邀请2-3名学生发言，分享自己对这些概念的理解，教师点评并引导：大家说得都有道理，但数学是一门严谨的学科，对于每一个概念，我们都需要给出明确、准确的描述，避免歧义。像这样对名称和术语的含义加以描述、作出明确规定，就是我们今天要学习的“定义”。除此之外，我们在判断一个结论是否正确时，会说“对顶角相等”“两直线平行，同位角相等”，这些判断性的语句又有什么特点呢？今天我们就一起来学习7.3.1 定义、命题，探究这些数学语句的奥秘。
二、探究新知，突破重点（18分钟）
（一）定义
1. 概念探究：结合学生刚才的发言和之前学过的知识，出示一组实例，引导学生观察总结：
（1）对顶角：有一个公共顶点，两边互为反向延长线的两个角叫作对顶角；
（2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线；
（3）邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线，且和为180°的两个角叫作邻补角。
提问：这些语句有什么共同特点？它们都是对什么进行描述？
师生共同总结：这些语句都是对某个名称或术语的含义作出了明确的规定，这种对名称和术语的含义加以描述、作出明确规定的语句，叫作定义。
2. 巩固练习：让学生结合所学知识，尝试说出1-2个数学中的定义（如直角、锐角、钝角等），教师巡视指导，纠正不规范的表述，强调定义的严谨性——必须明确、准确，不能含糊不清。
（二）命题
1. 概念探究：出示一组语句，让学生分组讨论，判断哪些语句是对事情作出判断的，哪些不是：
（1）对顶角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）画一条线段AB；（4）你喜欢数学吗？（5）∠1和∠2相等吗？（6）同旁内角互补。
小组汇报讨论结果，教师引导分析：语句（1）（2）（6）都是对一件事情作出了明确的判断，要么是“相等”，要么是“互补”；而语句（3）是一个操作指令，没有作出判断；语句（4）（5）是疑问，也没有作出判断。
总结命题的定义：判断一件事情的语句，叫作命题。强调命题的核心特征——必须是“判断句”，要么肯定，要么否定，不能是疑问、祈使、感叹等语气。
2. 命题的组成：结合命题“对顶角相等”“两直线平行，同位角相等”，引导学生分析命题的结构：
提问：“对顶角相等”这句话中，先说明了什么？再判断了什么？
讲解：命题通常由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。通常可以把命题写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论。
举例示范：将“对顶角相等”改写为“如果……，那么……”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。其中，题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”。
引导学生尝试：将“两直线平行，内错角相等”“同旁内角互补”改写为“如果……，那么……”的形式，小组内互相检查，教师巡视指导，纠正改写不规范的地方，强调：有些命题的题设和结论不明显，需要先梳理清楚，再进行改写。
3. 真命题与假命题：提问：所有的命题都是正确的吗？出示语句：（1）两直线平行，同位角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）同旁内角互补。
引导学生判断：语句（1）是正确的，是我们之前学过的平行线的性质；语句（2）是错误的，比如两个直角相等，但它们不一定是对顶角；语句（3）是错误的，只有两直线平行时，同旁内角才互补。
总结：正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题。强调：真命题需要经过推理验证，假命题只需举出一个反例即可证明其错误。
三、例题解析，深化理解（10分钟）
例1：判断下列语句是否是命题，如果是，指出它的题设和结论，并判断是真命题还是假命题。
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）画线段AB=5cm；
（3）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3；
（4）内错角相等。
解析：（1）是命题。题设：两条直线都与第三条直线平行；结论：这两条直线也互相平行。是真命题，符合平行线的基本事实。
（2）不是命题，因为它是一个操作指令，没有对事情作出判断。
（3）是命题。题设：∠1=∠2，∠2=∠3；结论：∠1=∠3。是真命题，符合等量代换的规律。
（4）是命题。题设：两个角是内错角；结论：这两个角相等。是假命题，反例：两直线不平行时，内错角不相等。
例2：将下列命题改写为“如果……，那么……”的形式，并判断真假。
（1）邻补角互补；（2）直角都相等；（3）同位角相等。
解析：（1）如果两个角是邻补角，那么这两个角互补。真命题，符合邻补角的性质。
（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等。真命题，所有直角都是90°。
（3）如果两个角是同位角，那么这两个角相等。假命题，反例：两直线不平行时，同位角不相等。
四、课堂练习，夯实基础（10分钟）
1. 基础题：判断下列语句是否是命题，若是，指出题设和结论，判断真假：
（1）对顶角不相等；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）你吃饭了吗？（4）钝角大于90°。
2. 提升题：将下列命题改写为“如果……，那么……”的形式，并说明是真命题还是假命题，若是假命题，举出反例：
（1）内错角相等，两直线平行；（2）相等的两个角是直角；（3）平行于同一条直线的两条直线平行。
3. 拓展题：结合本节课所学，尝试自己写出2个真命题和1个假命题，并与同桌互相判断。
学生独立完成，小组内核对答案，教师巡视指导，针对共性错误（如改写命题不规范、判断假命题不会举反例）进行重点讲解，强化对定义、命题相关概念的理解和应用。
五、课堂小结，梳理收获（2分钟）
师生共同梳理本节课核心知识：1. 定义：对名称和术语的含义作出明确规定的语句；2. 命题：判断一件事情的语句，由题设和结论两部分组成，可改写为“如果……，那么……”的形式；3. 命题分为真命题和假命题，真命题需验证，假命题需举反例。
引导学生反思：本节课你学会了什么？还有哪些不懂的地方？快速提问反馈，及时解决遗留疑问，强调定义和命题是后续学习推理证明的基础，要准确掌握概念，规范表述。
1. 掌握定义、命题的概念，并能分清命题的组成.
2. 通过讨论、探究、交流等形式，让学生在辩论中获得知识体验.
3. 在学习过程中培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质.
【学习重点】掌握定义、命题的概念.
【学习难点】分清命题的组成，能判断一个命题是真命题还是假命题.
【自主学习】
比比谁能答得又快又准.
对顶角的性质：
平行公理的推论：
平行线的判定方法：
平行线的性质：
【情境导入】
刘徽与 “正负数” 定义
在中国古代数学的发展历程中，刘徽有着举足轻重的地位. 在《九章算术》的注释中，他对正负数给出了清晰的定义和解释.
刘徽是这样定义正负数的：“今两算得失相反，要令正负以名之.” 意思是当两种数量具有相反的意义时，就分别用正数和负数来命名它们.他还规定了用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数（或者用正放的算筹表示正数，斜放的算筹表示负数）. 在方程术的应用中，正负数的定义更是发挥了关键作用.
【合作探究】
探究点一、定义
以前我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述.
例如：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
讨论：你能举出其他类似的例子吗?
(1) 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
(2) 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；
(3) 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线， 叫作这个角的平分线；
(4) 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
思考：我们举出的这些例子，有些什么特征?
【概念归纳】
我们举例的一些描述称为数学对象的定义，一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断.
例如，“数轴”指的是一条直线，而且这条直线上有规定的原点、正方向和单位长度；
根据方程的解的定义，可以判断 x = 3/2是方程 2x = 3 的解.
探究点二、命题
讨论：我们一起来看一些可以判断正确与否的陈述.
1. 对顶角相等；
2. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行；
3. 同位角相等，两直线平行；
4. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
思考：上述这些语句有什么特征?
归纳小结：
像这样可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述句，叫作______.被判断为正确(或真)的命题叫作________，被判断为错误(或假)的命题叫作________.
注意：只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.
不是命题的形式，如：
① 疑问句；如：你喜欢数学吗？
② 感叹句；如：今天天气很好啊！
③ 祈使句；如：作线段 AB = CD.
【典型例题】例1观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
与同伴交流.
(1) 如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形的周长相等；
(2) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
(3) 如果一个数的平方等于 9，那么这个数是 3.
思考：上面这些命题，哪些是真命题? 哪些是假命题? 你对命题的结构理解了吗?
数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
题设:________________.结论:________________.
例2 请将下列命题改写成“如果······那么······”的形式，并指出条件和结论.
(1) 垂直于同一直线的两条直线互相垂直.
(2) 过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
【合作探究】指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是正确的，哪些错误的? 你是如何判断的? 与同伴进行交流.
(1) 如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；
(2) 如果两个角互补，那么它们是邻补角.
归纳小结：判断命题的真假：正确的命题就是真命题；错误的命题就是假命题.
真命题——可以用推理的方法，假命题——可以举反例来说明.
反例：指具备命题的条件，而不具备命题的结论的例子.
【练一练】1. 判断下列命题的真假.
(1) 同旁内角互补 ( )
(2) 一个角的补角大于这个角 ( )
(3) 相等的两个角是对顶角 ( )
(4) 两点可以确定一条直线 ( )
(5) 两点之间线段最短 ( )
(6) 同角的余角相等 ( )
课堂检测
1.下列语句中，不是命题的是( )
A. 两点之间线段最短
B. 对顶角相等
C. 不是对顶角不相等
D. 过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的垂线
2. 有下列句子：① -2 的相反数是 2；② x = 1是 2x + 3 = 5 的解吗? ③过点 A，B 画直线 AB；④已知a + b = 1；⑤两个单项式可以合并同类项；⑥互余的两个角不一定相等. 其中，是命题的有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
3. 把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果······那么······”的形式
为____________________________________________________________________，
它是_______命题.
4. 写一个学过的定义的例子____________________________________________________.
5. 下面有 3 个命题：① 同位角相等；② 内错角相等，两直线平行；③平方后等于 4 的数一定是 2. 其中____________是真命题(填序号).
6.举反例说明下列命题是假命题.
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab = 0，则 a + b = 0.
7. 已知：三条不同的直线 a，b，c 在同一平面内：
① a∥b；② a⊥c；③ b⊥c；④ a⊥b. 请你用 ①②③④ 所给出的其中两个事项作为条件，其中一个事项作为结论(用如果······那么······的形式，写出命题，例如：如果 a⊥c，b丄c，那么 a∥b).
(1)写出一个真命题，并证明它的正确性；
(2)写出一个假命题，并举出反例.
参考答案
【合作探究】
探究点一、定义
思考 都是“……叫作……”的形式.
探究点二、命题
思考 都是在对一件事进行判断.
归纳小结 命题 真命题 假命题
【典型例题】例1 （1）是真命题 （2）（3）是假命题.
已知事项 已知事项推出的事项
【典型例题】例2 如果两条直线垂直于同一直线，那么这两条直线互相垂直.
如果过一点向已知直线做平行线，那么这种直线有且只有一条.
合作探究 （1）命题正确 （2）命题错误
【练一练】1. （1）× （2）× （3）× （4）√ （5） √（6） √ （7）√
课堂检测
1.D 2.C 3.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 真
4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离(答案不唯一)
5.②
6.解：(1) 两条平行直线被第三条直线所截形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等.(2)当 a = 5，b = 0 时，ab = 0，但 a + b ≠ 0.
7.解：(1) 如果 a丄c，b丄c，那么 a∥b.
证明如下：如图，∵ a丄c，b⊥c，
∴∠1 = 90°，∠2 = 90°. ∴∠1 = ∠2. ∴a∥b.
(2)如果 a丄c，b丄c，那么 a丄b.
反例：如图，如果a丄c，b丄c，那么a∥b.