人教版（2024）八年级下册（2024）19.3 二次根式的加法与减法第1课时教学设计

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）19.3 二次根式的加法与减法第1课时教学设计，共3页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。

教师备课 素材示例
●情景导入 现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？
根据题意，得 eq \r(8)＋ eq \r(18).怎样计算这个算式呢？今天我们用二次根式的加减来解决这个问题．
【教学与建议】教学：通过实际情景，激发学生的学习兴趣和求知欲望．建议：教学中采用分组讨论、自主探究的方式来解决问题，提高学生自主学习的能力．
●复习导入 1.合并同类项：
(1)3a＋4a；(2)4a2－3a2＋2a2.
解：(1)原式＝7a；(2)原式＝3a2.
这几道题你是运用什么知识做的？__加减法则__．
2．化简：
(1) eq \r(\f(5,3))；(2) eq \r(48)；(3) eq \r(72m3).
解：(1)原式＝ eq \f(\r(15),3)；(2)原式＝4 eq \r(3)；(3)原式＝6m eq \r(2m).
3．二次根式的乘除法，是通过几个被开方数相乘或者相除，然后化简得出结果．那么，二次根式的加减法能通过几个被开方数相加或相减得出结果吗？
提问： eq \r(7)－ eq \r(5)＝ eq \r(2)正确吗？
在我们学习了本节课之后你就会明白上面的计算是否正确．
【教学与建议】教学：复习合并同类项，化简二次根式为二次根式加减打下基础．建议：将课堂留给学生，让学生自主学习，自主发现问题，自主解决问题．
命题角度1 二次根式可以合并的条件
只有被开方数相同的二次根式才能合并；结合最简二次根式的概念列出方程组，即可求出未知字母的值．
【例1】下列各组二次根式中，化简后能合并的是(C)
A． eq \r(12)与 eq \r(\f(1,2)) B． eq \r(18)与 eq \r(27) C． eq \r(3)与 eq \r(\f(1,3)) D． eq \r(45)与 eq \r(54)
【例2】若最简二次根式 eq \r(2x＋1)与 eq \r(4x－3)能合并，则x的值是(B)
A．3 B．2 C．－2 D．－ eq \f(1,2)
命题角度2 二次根式的加减运算
二次根式加减运算的步骤：(1)化简：将二次根式化成最简二次根式；(2)判别：找出被开方数相同的二次根式；(3)合并：将被开方数相同的二次根式合并．
【例3】下列计算正确的是(A)
A． eq \r(27)－ eq \r(3)＝2 eq \r(3) B． eq \r(2)＋ eq \r(3)＝ eq \r(5)
C．4 eq \r(3)－3 eq \r(3)＝1 D．3＋2 eq \r(2)＝5 eq \r(2)
【例4】计算3 eq \r(5)－ eq \r(20)的结果是__ eq \r(5)__．
命题角度3 二次根式加减运算的应用
根据题意列出二次根式，再利用二次根式的加减运算解决问题．
【例5】三角形的三边长分别为 eq \r(20) cm， eq \r(40) cm， eq \r(45) cm，则这个三角形的周长为__(5 eq \r(5)＋2 eq \r(10))__cm.
【例6】已知等腰三角形的两边长分别为2 eq \r(7)和5 eq \r(5)，则此等腰三角形的周长为__2 eq \r(7)＋10 eq \r(5)__.
高效课堂 教学设计
1．能够熟练地将二次根式化为最简二次根式，并进行合并．
2．会进行二次根式的加减运算．
▲重点
二次根式的加减运算．
▲难点
将二次根式化简为最简二次根式，并会进行二次根式的加减运算．
◆活动1 新课导入
1．把下列二次根式化为最简二次根式．
(1) eq \r(8)；(2) eq \r(18)；(3) eq \r(\f(1,2))；(4) eq \r(27)；(5) eq \r(\f(1,3))；(6) eq \r(\f(27,4)).
2．计算：
(1)2x＋3x＝__5x__；(2)2x2－3x2＋5x2＝__4x2__；
(3)x＋2x＋3y＝__3x＋3y__；(4)3a2－2a2＋a3＝__a2＋a3__．
3．类比计算：
(1) eq \r(2)＋2 eq \r(2)＝__3 eq \r(2)__；(2)3 eq \r(8)－2 eq \r(8)＋4 eq \r(8)＝__5 eq \r(8)__＝__10 eq \r(2)__．
今天我们一起学习二次根式的加减．
◆活动2 探究新知
教材P13 思考．
提出问题：
(1)你能完成思考中的计算吗？
(2)在横线上填上每一步计算的依据；
eq \r(27)＋ eq \r(12)
＝3 eq \r(3)＋2 eq \r(3) __化成最简二次根式__
＝(3＋2) eq \r(3) __利用分配律合并__
＝5 eq \r(3).
(3)由此你能得出二次根式的加减运算法则吗？
(4)在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内成立吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
二次根式加减时，先将二次根式化成__最简二次根式__，再将__被开方数相同__的二次根式合并．
强调：
1．二次根式的加减与整式的加减之间的联系与区别：二次根式的加减是被开方数相同的最简二次根式进行合并，不能合并的保留到结果；整式的加减是合并同类项，不能合并的保留到结果．
2． eq \r(5)与 eq \r(7)不能合并，因为被开方数不同．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P13 例1.
例2 教材P13 例2.
例3 计算：(1) eq \r(\f(1,5))＋2 eq \r(20)－4 eq \r(\f(4,5))－ eq \f(\r(5),5)；
解：原式＝ eq \f(\r(5),5)＋4 eq \r(5)－ eq \f(8\r(5),5)－ eq \f(\r(5),5)＝ eq \f(12\r(5),5)；
(2) eq \r(18)－ eq \r(\f(9,2))－ eq \f(\r(3)＋\r(6),\r(3))＋( eq \r(3)－2)0＋ eq \r((1－\r(2))2).
解：原式＝3 eq \r(2)－ eq \f(3\r(2),2)－1－ eq \r(2)＋1＋ eq \r(2)－1＝ eq \f(3\r(2),2)－1.
例4 已知m＝2＋ eq \r(3)，求 eq \f(m2－1,m－1)－ eq \f(\r(m2－2m＋1),m－m2)的值．
解：原式＝ eq \f((m＋1)(m－1),m－1)－ eq \f(|m－1|,m(1－m)).∵m－1＝2＋ eq \r(3)－1＝1＋ eq \r(3)>0，∴原式＝m＋1＋ eq \f(1,m).将m＝2＋ eq \r(3)代入，得原式＝2＋ eq \r(3)＋1＋ eq \f(1,2＋\r(3))＝5.

练习
1．教材P14 练习第1，2，3题．
2．小明同学在作业本上做了以下4道题：① eq \r(7)－ eq \r(4)＝ eq \r(3)；②3 eq \r(3)－ eq \r(3)＝3；③2＋3 eq \r(5)＝5 eq \r(5)；④ eq \r(6x)－ eq \r(5x)＝ eq \r(x).其中做对的题目的个数是( A )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列二次根式中，化简后不能与 eq \r(3)合并的是__②⑤__．(填序号)
① eq \r(48)；②－ eq \r(125)；③ eq \r(1\f(1,3))；④ eq \f(\r(3),2)；⑤ eq \r(18).
4．计算：
(1) eq \r(18)＋ eq \r(12)－ eq \r(8)－ eq \r(27)＋3 eq \r(\f(1,3))；
解：原式＝3 eq \r(2)＋2 eq \r(3)－2 eq \r(2)－3 eq \r(3)＋ eq \r(3)
＝ eq \r(2)；
(2) eq \f(\r(200),10)－2 eq \r(0.08)－4 eq \r(0.5)＋ eq \f(2\r(72),5)；
解：原式＝ eq \r(2)－ eq \f(2\r(2),5)－2 eq \r(2)＋ eq \f(12\r(2),5)
＝ eq \r(2)；
(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(0.5)－5\r(\f(1,3))))－(2 eq \r(0.125)－ eq \r(20))－2 eq \r(\f(1,2)).
解：原式＝ eq \f(3\r(2),2)－ eq \f(5\r(3),3)－ eq \f(\r(2),2)＋2 eq \r(5)－ eq \r(2)
＝2 eq \r(5)－ eq \f(5\r(3),3).
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．二次根式的合并．
2．二次根式的加减运算．
1．作业布置
(1)教材P16 习题19.3第1，2，4题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
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