人教版（2024）八年级下册（2024）19.3 二次根式的加法与减法第2课时教案

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）19.3 二次根式的加法与减法第2课时教案，共6页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
1. 内容
本节课是在上一节课的基础上，结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算。
2. 内容分析
本节课承接二次根式的化简、加减、乘除运算，核心是将实数运算律（交换律、结合律、分配律）和多项式乘法公式迁移应用到二次根式的混合运算中。其本质是让学生体会“二次根式运算与整式运算的一致性”——二次根式的混合运算顺序与整式混合运算完全相同，即先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内的；多项式乘法公式（平方差公式、完全平方公式）也可直接用于含二次根式的代数式运算。这一内容不仅是对前序知识的整合与巩固，更是培养学生代数运算素养的关键环节，为后续解决实际问题和更复杂的代数运算奠定基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：综合运用运算法则和运算律进行二次根式的运算。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）能根据运算律和相关法则进行二次根式的四则运算，发展运算能力。
（2）会说出二次根式四则运算的依据并用这些依据评估运算的正确性。
2. 目标解析
（1）聚焦技能的综合运用，要求学生将二次根式的化简、加减、乘除运算融合，按照正确的运算顺序，借助运算律简化计算过程。能熟练完成二次根式的化简，准确判断同类二次根式，在混合运算中避免“漏乘”“符号错误”“化简不彻底”等问题；能合理运用交换律、结合律整合同类二次根式，利用分配律简化展开运算，针对能用乘法公式的题型，选择简便方法计算；能处理含多层括号、多种运算的复杂题型，实现二次根式与整式运算方法的互通，提升综合运算素养。
（2）聚焦算理的理解，强调学生不仅要“会算”，更要“知其所以然”，从“操作层面”上升到“逻辑层面”，培养严谨的数学思维。能准确说出每一步运算的依据，进一步理解“实数运算律和公式对二次根式同样适用”的核心思想，构建完整的代数运算知识体系。
三、教学问题诊断分析
1.运算顺序混乱
学生对二次根式混合运算顺序的认知模糊，未将整式混合运算顺序迁移过来，同时存在运算粗心、步骤跳跃的问题，缺乏“分步运算”的习惯。
应对策略：教学中强调“二次根式混合运算顺序与整式一致”，帮助学生建立知识关联；要求学生在解题时标注运算顺序，如用箭头标出“先算乘除”的部分，养成分步书写的习惯；设计含易错运算顺序的对比题，让学生辨析不同解法的正误，强化顺序意识。
2.乘法公式误用
学生对乘法公式的结构特征理解不透彻，仅机械记忆公式形式，未掌握“公式适用的前提是两项和与两项差相乘、两项和或差的平方”，同时对二次根式参与公式运算的形式不熟悉。
应对策略：帮助学生理解公式结构，整理“公式结构对比表”，明确平方差公式和完全平方公式的特征，标注公式中的“a”“b”可代表二次根式；设计“公式匹配题”，让学生判断哪些题型能使用乘法公式，强化公式适用条件的认知。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：根据运算律和相关法则进行二次根式的四则运算。
四、教学过程设计
（一）复习引入
1.同类二次根式：被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式.
2.二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
前面我们学习了二次根式的乘除与加减运算，接下来研究怎样进行二次根式的混合运算.
设计意图：直接梳理“同类二次根式”的概念和“二次根式加减”的步骤，快速唤醒学生的已有知识，为新内容（混合运算）铺垫必要的基础技能。
（二）合作探究
例4 计算：
（1）(8+3)×6； （2）(42-36)÷22．
思考 (1)中，先计算什么？后计算什么，最后的目标是什么？(2)呢？
与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．
解：(1)(8+3)×6
=8×6+3×6 乘法分配律或多项式乘单项式
=48+18 二次根式的乘法法则
=43+32. 二次根式的化简
解：
（2）(42-36)÷22．
=42÷22-36÷22 多项式除以单项式
=2-323. 二次根式的除法法则
例5 计算：
（1）(2+3)×(2-5)； （2）(5+3)(5-3).
解：(1)(2+3)×(2-5)
=(2)2+32-52-15 多项式乘以多项式
=2-22-15 二次根式的性质和运算
=-13-22. 合并同类项
(2)(5+3)(5-3)
=(5)2-(3)2 平方差公式
=5-3 二次根式的性质
=2. 合并同类项
设计意图：迁移运算逻辑：通过类比实数的运算顺序（先乘除后加减），让学生快速掌握二次根式混合运算的基本顺序，降低新知的陌生感。强化法则应用：每一步标注对应的法则（如乘法分配律、平方差公式），帮学生建立“操作→依据”的关联，理解运算的合理性。
（三）典例分析
例1 计算：
（1）2(3+5) ； （2）(80+40)÷5 ；
（3）(5+3)(5+2) ； （4）(6+2)(6-2).
解：(1)2(3+5)=2×3+2×5=6+10.
(2)(80+40)÷5=80÷5+40÷5=16+8=4+22.
(3)(5+3)(5+2)=(5)2+25+35+6=5+55+6=11+55.
(4)(6+2)(6-2)=(6)2-(2)2=6-2=4.
例2 计算：
（1）(4+7)(4-7) ； （2）(a+b)(a-b) ；
（3）(3+2)2 ； （4）(25-2)2.
解：(1)(4+7)(4-7)=42-(7)2=16-7=9.
(2)(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2=a-b.
(3)(3+2)2=(3)2+2×3×2+22=3+43+4=7+43.
(4)(25-2)2=(25)2-2×25×2+(2)2=20-410+2=22-410.
设计意图：全面覆盖运算类型：通过例1、例2涵盖二次根式混合运算的核心形式，让学生系统练习不同场景下的运算方法。强化公式迁移：重点突出平方差公式、完全平方公式在二次根式运算中的应用，让学生明确整式运算公式可直接迁移到二次根式中，降低复杂运算的难度。
（四）巩固练习
1．下列计算正确的是（ B ）
A．3+3=33B．8÷2=2
C．3×5=8D．35-5=3
2．计算：2+12-1=（ A ）
A．1 B．2C．-1D．3
3．计算5-12的结果是 6-25 ．
4．计算：3+23-22= 3-2 ．
5．计算：22-3+6= 2 ．
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
归纳总结

（六）感受中考
1．（2025年河北）计算：(10+6)(10-6)=（ B ）
A．2 B．4C．6D．8
2．（2023年辽宁大连）下列计算正确的是（ D ）
A．20=2 B．23+33=56
C．8=42 D．323-2=6-23
3．（2023年湖北荆州）已知k=25+3⋅5-3，则与k最接近的整数为（ B ）
A．2 B．3C．4D．5
4．（2025年江苏南京）计算3+212-8的结果是 2 ．
5．（2023年内蒙古）先化简，再求值：(2x+y)2+x-yx+y-5xx-y，其中x=6-1，y=6+1．
解：原式=4x2+4xy+y2+x2-y2-5x2+5xy
=9xy．
当x=6-1，y=6+1时
原式=96-16+1=9×6-1=45．
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题19.3 第3，5题.
2.探究性作业：习题19.3 第6，8题.
五、教学反思