初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）两条直线垂直学案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）两条直线垂直学案，文件包含712两条直线垂直导学案解析版初中数学人教版2024七年级下册docx、712两条直线垂直导学案原卷版初中数学人教版2024七年级下册docx等2份学案配套教学资源，其中学案共10页， 欢迎下载使用。
(1)能准确理解垂线、垂足、垂线段的概念，掌握垂线的符号表示，能在图形中识别垂线关系。
(2)会用三角板或量角器过直线上或直线外一点画已知直线的垂线，掌握“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实，理解“垂线段最短”的性质及点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。
(3)经历观察、操作、猜想、验证的探究过程，体会“从一般到特殊”的数学思想，发展几何直观和逻辑推理能力，能运用所学知识解决简单的实际问题，增强应用意识。
难点:“点到直线的距离”概念的理解与应用；运用垂直性质进行简单的推理计算。
重点：垂直概念的双重理解（定义与推理）、垂线的两个基本性质（唯一性与垂线段最短）。

第一环节 自主学习
温故知新：
问题：“两条直线相交时，所成的角有什么关系？若其中一个角是35°，其他三个角分别是多少度？”.复习巩固邻补角互补、对顶角相等的性质。
如果其中一个角是90°，其他三个角是多少度？此时两条直线的位置关系有什么特殊性？

【学法指导】
新知自研：自研课本第4-6页的内容
【学法指导】自研课本P4-6页内容，
(一)垂直定义
情境展示：展示生活中的垂线实例（墙角的两条边、旗杆与地面、十字路口的道路），提问“这些图形中两条直线的相交有什么共同特点？”。
归纳定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。如直线AB与CD垂直，记作“AB⊥CD”，垂足为Ｏ，一般在垂足处标注字母和符号“┐”。

问题1：垂直是两条直线的位置关系，如果a是b的垂线，那么b也是a 的垂线吗？
（b也是a 的垂线）
问题2：“当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直”，反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOD 是多少度?你能写出这个推理过程吗？
（∠AOD ＝90〫，因为AB⊥CD，所以∠AOD ＝90〫）
辨析概念：“两条线段或射线垂直，是指它们本身垂直吗？”
（线段、射线垂直即它们所在直线垂直）
（二）过一点画直线的垂线
总结归纳：无论点在直线上还是直线外，都只能画出一条垂线
基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
难点解析：拆解“有且只有”的含义——“有”表示存在性（能画出），“只有”表示唯一性（仅一条）。
（三）垂线段最短
动手测量：在直线外取一点P，画PO⊥于O，再在上取不同点A、B、C，连接PA、PB、PC，测量PO、PA、PB、PC的长度，比较大小。

总结归纳：“垂线段最短”（过直线外一点作直线的垂线，这点与垂足之间的线段）。
距离定义：点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。
问题1：你发现指出点P到直线的距离是什么吗？
（线段PO的长度）
问题2：距离是数量还图形？
（距离是数量，不是图形）
问题3：点到直线的距离是怎样转化的？
（点到直线的距离是转化为两点间的距离，即点和垂足间的距离）
【自研自探】
自研课本P4-6页内容
典型例题
例1.如图，AB⊥CD，垂足为O，∠AOC=90°，求∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD的度数。

【详解】解:因为AB⊥CD，垂足为O，根据垂直定义，得∠AOC=∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°.
例2.如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线.

【详解】解:如图所示：

第二环节 合作探究
1.讨论垂直的定义？怎样表示？
2.讨论垂直是两条直线的位置关系，如果a是b的垂线，那么b也是a 的垂线吗？
3.讨论“当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直”，反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOD 是多少度?怎样写出这个推理过程？
4.讨论两条线段或射线垂直，指的是什么？”
5.讨论同一平面内，过一点有几条直线与已知直线垂直？“有且只有”的含义是什么？
6.讨论垂直线段有什么的性质？什么是点到直线的距离？距离是数量还图形？点到直线的距离是怎样转化的？
拓展提升：
1．如图，要从水渠引水到村庄A，在水渠的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．

【详解】解：如图，线段即为所求．

理由：垂线段最短．
2．如图，分别过点P作的两边的垂线．

【详解】解：如图所示，即为所求．



课堂练习：
1.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系?为什么?
2.如图，分别过点P画直线AB，CD的业线，并量出点P到直线AB的距离.
3.如图，在三角形ABC中、∠C-90°.
(1)分别指出点A到直线CB，点B到直线AC的距离是哪些线段的长度1
(2)三条边AB，AC，CB中哪条边最长?为什么?

参考答案：1.这两条直线互相垂直.因为它们相交所成的四个角都等于 90°. 2.略.
3.(1) 点A 到直线CB，点B 到直线AC的距离分别是线段AC，BC的长度;
(2)根据“垂线段最短”，可知线段AB最长.

1．（2025蒙城检测）如图，于点，于点，其中长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有 条．

【详解】∵，，
∴线段是点B到直线距离的线段；
线段是点A到直线距离的线段；
线段是点C到直线距离的线段；
线段是点A到直线距离的线段；
线段是点B到直线距离的线段；
故答案为：5．
2.（2025淮安检测）直线与直线相交于C，画图：过点P作，垂足为R，交于N．

【详解】解：如图所示，即为所求．

3．（2025包河校检测）如图，直线相交于点O，，垂足为O．若，求的度数．

【详解】解：，
，
，
，
.

知识总结：（1）当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。如直线AB与CD垂直，记作“AB⊥CD”，垂足为Ｏ，一般在垂足处标注字母和符号“┐”。
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（3）“垂线段最短”（过直线外一点作直线的垂线，这点与垂足之间的线段）。
（4）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。
2. 方法总结：从相交线的一般情况到直角相交的特殊情况，通过操作验证得出性质.
3. 易错提醒：“有且只有”的含义——“有”表示存在性（能画出），“只有”表示唯一性（仅一条）；
区分垂线段与点到直线的距离，画图时三角板的正确摆放方法。