数学八年级上册（2024）2.6 直角三角形同步测试题

这是一份数学八年级上册（2024）2.6 直角三角形同步测试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1. 如图有一块菜地，经人工测得菜地的四周分别为AB=13，BC=3，CD=4，AD=12，∠C=90°，则这块菜地的面积为 （ ）
A . 24 B . 30 C . 32 D . 36
2.图中字母A所代表的正方形的面积是（ ）．
A . 175 B . 225 C . 400 D . 625
3.利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（ ）
A . 已知斜边和一锐角
B . 已知一直角边和一锐角
C . 已知斜边和一直角边
D . 已知两个锐角
4.下列结论正确的是（ ）
A . 有两个锐角相等的两个直角三角形全等
B . 两个等边三角形全等
C . 一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
D . 顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
5.下面关于两个直角三角形全等的判定，不正确的是（ ）
A . 斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B . 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C . 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
D . 两个面积相等的直角三角形全等
6.下列三边的长不能成为直角三角形三边的是（ ）
A . 3，4，5 B . 5，12，13 C . 6，8，10 D . 3，3，5
二、填空题
1.七巧板被誉为“东方魔板”．小明利用七巧板（如图1）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形，则该凸六边形（如图2）的周长是 ________ ．
2.如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角 60°得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对 (a,b)为点P的斜坐标．若点P的斜坐标为 (1,4) ， 点G的斜坐标为 (7,−4) ， 连接 PG ， 则线段 PG的长度为 ________ ．

3.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，最早是由中国西周数学家商高发现并证明的，早于西方五百到六百年．关于勾股定理的证明方法有很多，以下是出自于古代的一种证法．过正方形对角线交点做两条互相垂直的线段，将正方形分成四块四边形，如图1，然后将其拼成一个大正方形 ABCD ， 如图2，若阴影部分图形面积为16， EGFG=52 ， 则 GH的长为 ________ ．
4.一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了 24km ， 然后向正北方向航行了 10km ， 这时他离出发点 ________ km ．
5.一门框的尺寸如图所示，一块长 3m ， 宽 2.3m的薄木板 ________ 从门框内通过．（填“能”或“不能”，参考数据 3≈1.732 ， 5≈2.236）
6.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 45°方向，距离灯塔 502海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东 30°方向上的B处，这时B处与灯塔P的距离为 ________ 海里．
7.如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b） 2的值为 ________
三、作图题
1.如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5， 17的三角形，请你帮助小华作出来．
2.如图：某通信公司在 A区 要修建一座信号发射塔 M ， 要求发射塔到两城镇 P、 Q的距离相等，同时到两条高速公路 l 1、 l 2的距离也相等．请用直尺和圆规在图中作出发射塔 M的位置．（不写作法，保留作图痕迹 ）
3.如图，所给方格图中每个小正方形的边长均为1.
（1） 在图①中画出 ΔABC关于直线MN对称的 △A1B1C1；
（2） 如图②，AC是直线MN同侧固定的两个点：
(i)请直接写出线段AC的长度；
(ii)请在直线MN上画一点B，使 AB+BC的值最小
4.如图是一个 12×12的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系 xOy ， 已知点 A坐标为 −5,−3 ， 点 B坐标为 1,−5 ．
（1） 作出线段 AB关于 x轴对称的线段 A1B1；
（2） 在正方形网格中作以 A1B1为斜边的等腰直角三角形 A1B1C ， 并求出 △A1B1C的面积．
5.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点.
（1） 在图1中以格点为顶点画一条线段MN，使长MN= 10 .
（2） 在图2中以格点为顶点画△ABC，使AB= 5 ，AC= 20 ，BC=5.并判断它是否是直角三角形.
四、综合题
1.如图，四边形草坪ABCD中，∠B=90°，AB=24m，BC=7m，CD=15m，AD=20m.
（1） 判断∠ADC是否是直角，并说明理由；
（2） 试求四边形草坪ABCD的面积.
2. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 12 ， 我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”.例如：在△ ABC中，如果∠ A=80°，∠ B=40°，那么∠ A与∠ B互为“友爱角”，△ ABC为“友爱三角形”.
（1） 如图1，△ ABC是“友爱三角形”，且∠ A与∠ B互为“友爱角”（∠ A＞∠ B），∠ ACB=90°.
①求∠ A、∠ B的度数.
②若 CD是△ ABC中 AB边上的高，则△ ACD、△ BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？
（2） 如图2，在△ ABC中，∠ ACB=70°，∠ A=66°， D是边 AB上一点（不与点 A ， B重合），连接 CD ， 若△ ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ ACD的度数.
3.定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1） 已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.
（2） 已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长.
4.已知在等腰直角△ ABC中，∠ BAC＝90°，点 D从点 B出发沿射线 BC方向移动．在 AD右侧以 AD为腰作等腰直角△ ADE ， ∠ DAE＝90°．连接 CE ．

（1） 求证：△ ACE≌△ ABD；
（2） 点 D在移动过程中，请猜想 CE ， CD ， DE之间的数量关系，并说明理由；
（3） 若 AC＝ 2 ，当 CD＝1时，结合图形，请直接写出 DE的长 ________ ．
5.如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1） 求修建的公路CD的长；
（2） 若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
五、解答题
1.八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝到地面的高度 CE ， 他们进行了如下操作：
①测得放风筝的小明到 CE的距离 BD的长度为24米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC的长为30米；
③牵线放风筝的小明身高 AB为1.68米．
（1） 求风筝的高度 CE；
（2） 若小亮让风筝沿 CD方向下降了8米到点 M（即 CM=8米），求 BM的长度．
2.“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段 MN上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路 MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知 ∠CBN=60° ， BC=200米， AC=1006米．
（1） 请求出观测点C到公路 MN的距离；
（2） 此车超速了吗？请说明理由．（参考数据： 2≈1.41 ， 3≈1.73）
3.直线 MN⊥PQ ， 垂足为点O，点A、B分别在射线 OQ、 OM上运动，点A、B均不与点O重合．
（1） 如图1， AI平分 ∠BAO ， BI平分 ∠ABO ， 若 ∠BAO=40° ， 求 ∠AIB的度数；
（2） 如图2， AI平分 ∠BAO ， BC平分 ∠ABM ， BC的反向延长线交射线 AI于点D．在A、B两点运动的过程中， ∠D的度数是否发生变化?若不变，试求 ∠D的度数；若变化，请说明变化规律．
（3） 如图3，已知点E在 BA的延长线上， ∠BAO的角平分线 AI、 ∠OAE的角平分线 AG与 ∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于的点F、G，在 △AFG中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出 ∠ABO的度数．
4.如图是屋架设计图的一部分，其中等腰△ABC（AB=BC）的顶角∠ABC为120°，DE垂直平分斜梁AB于D，交横梁AC于E.DE＝2m，
（1） 求∠EBC的度数
（2） 求BE的长
（3） 求横梁AC的长
六、阅读理解
1.[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；
[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；
[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
[知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明 a+bc＜ 2 ， 其证明步骤如下：
∵BC=a+b，AD= ________ ，
又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即 ，
∴ a+bc＜ 2 ．
2.阅读下列内容，设a， b， c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a， b， c三边长间的关系来判断这个三角形的形状；
①若 a2=b2+c2 则该三角形是直角三角形②若 a2>b2+c2 ，则该三角形是钝角三角形；③ a2