人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形同步测试题

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形同步测试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.一等腰三角形两边长分别为3，4．则这个等腰三角形的周长为（ ）
A . 7 B . 11 C . 7或10 D . 10或11
2.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，若∠D=110°，∠ACD=30°，则∠BAC等于（ ）
A . 80° B . 90° C . 100° D . 110°
3.已知等腰三角形中一个角等于100°，则这个等腰三角形的底角等于（ ）
A . 100° B . 40° C . 50° D . 100°或40°
4.如图是由8个全等的小长方形组成的大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，如果点P是某个小长方形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（ ）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
5.如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°其中完全正确的是（ ）
A . ①②③④ B . ②③④⑤ C . ①③④⑤ D . ①②③⑤
二、填空题
1.三角形在几何学中有着举足轻重的地位，其研究历史可以追溯到古代，人们为了测量天体位置制定天文历法，在农业生产上为了丈量土地大小，发展了最初解决三角形问题的理论和方法．请根据所学知识解决下面问题：如图，在 △ABC中， ∠C=45°,2∠A=∠C,AB=5 ， 则 △ABC的面积为 ________ ．
2.已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为 ________ ．
3.平行四边形两邻边分别为6、8，其夹角为 60° ， 这个平行四边形的面积是 ________ ．
4.直线y＝x+3与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有 ________ 个.
5.上午8时，一艘轮船从A处出发，以 15海里/时的速度向正北航行，上午 10时到达B处，从A，B处测得灯塔C在A的北偏西 42° ， 在B的北偏西 84° ， 则B距灯塔C ________ 海里．
6.在等腰直角三角形 ABC中， ∠ACB=90° ， CD⊥AB于点 D ， 点 E是平面内任意一点，连接 DE ， 如图1，当点 E在边 BC上时，过点 D作 DF⊥DE交 AC于点 F ．
（1）线段 AF ， DE ， BE之间满足的数量关系是 ________ ．
（2）如图2，当点 E在 △BDC内部时，连接 AE ， CE ， 若 DB=5 ， DE=32 ， ∠AED=45° ， 求线段 CE的长为 ________ ．
7.已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB= ________ （度）
三、作图题
1.如图所示的 6×6方格纸上每个小正方形的边长都为1．在方格纸上按要求画图．

（1） 在图1中以点 A为顶点，画边长为 2 ， 5 ， 5的 △ABC；
（2） 在图2中以 AB为一边，画菱形 ABCD ．
2.定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段 BD将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了两个等腰三角形，则线段 BD是 △ABC的“双等腰线”；线段 BD ， CE将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了三个等腰三角形，则线段 BD,CE是 △ABC的“三等腰线”．
（1） 请在图2中，作出 △ABC的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数：
① ∠A=20∘ ， ∠B=40∘；
② ∠A=67.5∘,∠C=90∘ ．
（2） 请在图3中，画出顶角为 45∘的等腰三角形 ABC的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；
（3） 画图和计算：在 △ABC中， ∠C=25.5∘ ， 点 D在 BC边上，点 E在 AB边上， AD和 DE是 △ABC的“三等腰线”，且 AD=CD,BE=DE ， 请试画出示意图，并求 ∠B的度数．
3.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
4.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段DE，点A、B、D、E均在小正方形的顶点上。
（1） 在方格纸中画出以AB为斜边的Rt△ABC，点C在小正方形的顶点上，且在直线AB的下面；
（2） 在方格纸中画出以DE为一边的等腰△DEF，点F在小正方形的顶点上，且△DEF的面积为 152 ， 连接CF，直接写出CF的长.
5.在如图所示的4×4方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上。以其中三个点为顶点，能构成多少个等腰三角形?
四、综合题
1.如果两个角的差等于 30° ， 就称这两个角互为“兄弟角”．其中一个角叫做另一个角的“兄弟角”．例如 α=70° ， β=40° ， α-β=30° ， 则a和β互为“兄弟角”，即a是β的“兄弟角”，β也是α的“兄弟角”．

（1） 已知 ∠1和 ∠2互为“兄弟角”． ∠1＞∠2 ， 且 ∠1和 ∠2互补，求 ∠1的度数．
（2） 在 △ABC中， ∠ACB=90° ， AE是 ∠BAC的角平分线，
①如图1，点P在射线 AC上， CN平分 ∠BCP ， 与射线 AE交于点N，若 ∠ANC与 ∠B互为“兄弟角”，求 ∠B的度数．
②如图2，若 CP∥AB ， 射线 CN平分 ∠BCP且与射线 AE交于点N，若 ∠ANC与 ∠ABC互为“兄弟角”，则 ∠ABC的度数为 ．
③如图3，若 CP⊥AB于点P， AE、 CP相交于点F，若 ∠FCE与 ∠CEF互为“兄弟角”，直接写出 ∠ABC的度数．
2.如图，点E为平行四边形ABCD的边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于F.
（1） 求证：AD＝CF；
（2） 若AB＝2BC，∠B＝70°，求∠F的度数.
3.数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片 ABCD（ AB＞ BC）折叠，点 C落在 BA边上的点 F处，折痕为 BE ， 连接 EF ， 然后将纸片展开.
（1） 四边形 BFEC的形状为 ________ ；
（2） 如图2，点 G是 BC上一点，且 CG= AF ， 连接 AG ， AM平分∠ GAB交 BE于点 M ， 连接 AE ， 猜想 AE和 ME的数量关系并加以证明；
（3） 在（2）的条件下，如图3，过点 M作 MN⊥ AG ， 垂足为点 N.
①求 BC−MNAG的值；
②若AN=21，GN=4，请直接写出AD的长度.
4.如图1，已知点C的坐标是（4 2 ， 4 2），过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点B、点D，点E是线段OD上一点（不与点O、D重合），连接BE，作点O关于直线BE的对称点O'，连接CO'，点P为CO'的中点，连接BP，延长CO'与BE的延长线交于点F，连接DF.
（1） 求证：∠PBF=45°；
（2） 如图2，连接BD，当点O'刚好落在线段BD上时，求直线BF的解析式；
（3） 在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得以M、O、O'、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
五、解答题
1.一次函数 y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点 Aa,0 ， 点 B0,b ． 过B点作垂直于直线 AB的直线交x轴于点C，过A点的直线交线段 OB于点D，交直线 BC于点E．其中实数a、b满足 a+2+b2+8b+16=0 ．
（1） 求直线 AB解析式；
（2） 如图1，当 BE=DE时，求E点坐标；
（3） 如图2，当 BD=DE时，F为直线 BC上一点，且位于E点右侧，过点F作平行于y轴的直线交直线 AD于点G，点H为直线 AB上的动点，当 △FGH为等腰直角三角形时，求点H坐标．
2.在 RtΔABC中， ∠ACB=90° ， 点 D为边 AB上的动点，连接 CD ， 将 ΔACD沿直线 CD翻折，得到对应的△ A'CD ， CA'与 AB所在的直线交于点 E ．
（1） 如图1，当 A'D⊥AD时，求证： CE=CB；
（2） 若 ∠A=30° ， BC=2 ．
①如图2，当 E与 B重合时，求 AD的长；
②连接 A'B ， 当△ A'BD是以 BD为直角边的直角三角形时，求 AD的长．
3.“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段 MN上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路 MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知 ∠CBN=60° ， BC=200米， AC=1006米．
（1） 请求出观测点C到公路 MN的距离；
（2） 此车超速了吗？请说明理由．（参考数据： 2≈1.41 ， 3≈1.73）
4.若代数式 2m−x−3n+3x+nx2的值与 x无关，且等腰三角形的两边长为 m、 n ．
（1） 求 m、 n的值；
（2） 求该等腰三角形的周长．
六、阅读理解
1.先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式 am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出 a ， 再把它的后两项分成一组，并提出 b ， 从而得 am+an+bm+bn=am+n+bm+n ． 这时，由于 am+n+bm+n中又有公因式 m+n ， 于是可提公因式 m+n ， 从而得到 m+na+b ， 因此有 am+an+bm+bn=am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b ．
这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．
（1） 请用上面材料中提供的方法分解因式：
① ab−ac+bc−b2；② x2y2−2x2y−4y+8 ．
（2） 已知 △ABC的三边长为 a ， b ， c ， 并且 a2+b2+c2−ab−bc−ca=0 ， 试判断此三角形的形状．
2.先阅读理解，
（1） 再解答：如图（1），对于矩形（即：有一个角是直角的平行四边形） ABCD ， 对角线相交于点 E ， 因其有“对角线相等”，“对角线互相平分”，“四个角都是直角”的性质，所以我们可以得出一个结论：“直角三角形斜边上的中线等于 ________ 的一半”．用数学符号表示为：如图（2），在 RtΔABD中， ∠BAD=90° ， 点 E是斜边 BD上的中点，则 AE= ________ = ________ = ________ ．
（2） 如下图，在 ΔABC中， ∠A=60° ， BE⊥AC ， 垂足为 E ， CF⊥AB ， 垂足为 F ， 点 D是 BC的中点，BE， CF交于点 G ．
①如图1， ΔABC是直角三角形，即若 ∠ACB=90° ， 求证： ΔDEF是等边三角形；
②如图2，3， ΔABC分别是锐角三角形和钝角三角形，试猜想 ΔDEF是不是等边三角形？如果 ΔDEF是等边三角形，请加以证明：如果 ΔDEF不是等边三角形，请说明理由（请选择其中一种情形进行解答）；
（3） 在图2，3中，如果 CG=4 ， FG=6 ， 分别求 BE的长度．
3.阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 ， 试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：
（1） 上述解题过程，从哪一步开始出现不符合题意？请写出该步的代号： ________ ；
（2） 错误的原因为： ________ ；
（3） 本题正确的结论为： ________ ．