初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形优秀ppt课件

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我们知道有两边相等的三角形是等腰三角形。
如图,在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来，将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开.找出其中重合的线段和角.
【思考】由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
已知：△ABC中，AB=AC,
【思考】如何构造两个全等的三角形？
猜想:等腰三角形的两个底角相等.
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.求证： ∠B= ∠C.
作底边的中线AD， 则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △ABD≌ △ACD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△ABD和△ACD中,
方法一：作底边上的中线.
作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △ABD ≌ △ACD (SAS).
方法二：作顶角的平分线
由△ABD≌ △ACD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△ABD≌ △ACD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高 .
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等边对等角).
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(三线合一）.
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，∴BD=CD, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, BD=CD (已知)，∴∠1=∠2, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，∴BD=CD, ∠1=∠2.（等腰三角形三线合一）
数学语言：如图, 在△ABC中,
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
【思考】为什么不一样？
（1）等腰三角形的顶角一定是锐角.（2）等腰三角形的底角可能是锐角，也可能是直角、钝角.（3）钝角三角形不可能是等腰三角形. （4）等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.（5）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.（6）等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
分析：（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠C=∠BDC=∠ABC；
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（4）设∠A=x ,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °.
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° .解得x=36 ° .∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
解：∵AB=AD=DC， ∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC.设 ∠C=x，则 ∠DAC=x，∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x，在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得 2x+x+26°+x=180°， 解得x=38.5°.∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
例2 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)A．65°或50° B．80°或40°C．65°或80° D．50°或80°
方法点拨：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 _______；等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________；等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________.
70°,40°或55°,55°
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于点G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG.∴BG–DG＝CG–EG.∴BD＝CE.(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF.∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其底边上的中线、底边上的高、顶角平分线是常见的辅助线．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；(2)求证：EF＝ED.
2.若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为_____．
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　）A．40° B．30° C．70° D．50°
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ 　）A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°
3.(1)等腰三角形一个底角为45°,它的另外两个角为_______；(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为________.
72°,72°或36°,108°
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
1.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数.
解：∵AB=AC，
∴ ∠C= ∠B=30°.∵BD = CD，∴AD⊥BC.∴∠ADB=∠ADC = 90°.
∴∠ BAD =90°– ∠B = 60°.
2.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F. ∴EC∥DF.
证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线，∴
A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
分别以A、B、C为顶角顶点来分类讨论！
注意是指同一个三角形中
注意是指底边上的中线、高及顶角平分线才有这一性质.而腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质
（1）求等腰三角形角的度数时，如果没有明确是底角还是顶角必须分类讨论（2）等腰三角形“三线合一”定理，角平分线指的是“顶角平分线”
P80 2、3题