数学人教版（2024）15.3.1 等腰三角形优秀随堂练习题

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1．（2024秋•黄埔区期末）在等边△ABC中，D为射线BC上一点，CE是∠ACB外角的平分线，∠ADE＝60°，EF⊥BC于F．
（1）如图1，求证：CE∥AB；
（2）如图1，若点D在线段BC上（不与B，C点重合），求证：BC＝DC+2CF；
（3）如图2，若点D在线段BC的延长线上，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【思路引领】（1）由△ABC为等边三角形，∠B＝∠BCA＝60°，推出∠ACF＝120°，由CE为角平分线，推出∠ECF＝∠B＝60°即可得出结论．
（2）过点D作DG∥AC交AB延长线于G，证得△AGD≌△DCE，得出AD＝DE，进一步利用GD＝CE，BD＝CE得出结论．
（3）证明方法同（1）得出（2）不成立．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠BCA＝60°，
∴∠ACF＝120°，
∵CE为角平分线，
∴∠ECF＝∠B＝60°，
∴CE∥AB；
（2）解：如图，过点D作DG∥AC交AB于G，
∵△ABC是等边三角形，AB＝BC，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠BGD＝60°，∠AGD＝120°，
∴△BDG是等边三角形，
∴BG＝BD，
∴AG＝DC，
∵CE是∠ACB外角平分线，
∴∠ACE=12∠ACF=60°，
∴∠DCE＝∠AGD＝120°
∵∠ADB+∠EDC＝120°＝∠ADB+∠DAG，
∴∠EDC＝∠DAG，
在△AGD和△DCE中，
∠AGD=∠DCEAG=DC∠EDC=∠DAG
∴△AGD≌△DCE（SAS），
∴GD＝CE，
∴BD＝CE，
∴BC＝CE+DC＝DC+2CF；
（3）解：不成立，此时BC＝2CF﹣CD，理由如下：如图，
∵△AGD≌△DCE，
∴GD＝CE，
∴BD＝CE，
∴BC＝BD﹣CD＝CE﹣DC＝2CF﹣CD．
【总结提升】本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定，利用边角关系及等量代换求得结论．
2．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，点P为边AB上一点（不与点A、点B重合），PM⊥BC，垂足为M，交BD于点N．
（1）请猜想PN与BM之间的数量关系，并证明；
（2）若点P为边AB延长线上一点，PM⊥BC，垂足为M，交DB延长线于点N，请在图2中画出图形，并判断（1）中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想并证明．
【思路引领】（1）结论：PN＝2BM．如图1中，作PF∥AC交BC于F，交BD于E．只要证明△PEN≌△BEF（ASA）即可解决问题；
（2）结论不变，证明方法类似（1）；
【解答】解：（1）结论：PN＝2BM．
理由：如图1中，作PF∥AC交BC于F，交BD于E．
∵BD⊥AC，PF∥AC，
∴PF⊥BD，∠BPE＝∠A＝45°，
∴∠BEP＝90°，
∴∠BPE＝∠PBE＝45°，
∴BE＝PE，
∵PM⊥BC，
∴∠PMB＝∠PEN＝90°，
∵∠BNM＝∠PNE，
∴∠NPE＝∠EBF，
∵∠PEN＝∠BEF＝90°，
∴△PEN≌△BEF（ASA），
∴PN＝BF，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠PFB＝∠C，
∴PB＝PF，
∵PM⊥BF，
∴BM＝MF，
∴PN＝2BM．
（2）结论不变．
理由：如图2中，作PF∥AC交CB的延长线于E，交DB的延长线于F．
∵∠ABD＝∠PBF＝∠BPF＝45°，
∴BF＝PF，
∵∠EBF＝∠EPM，∠EFB＝∠EMP，BF＝PF，
∴△BFE≌△PFN（ASA），
∴PN＝BE，
∵∠E＝∠C＝∠ABC＝∠PBE，
∴PE＝PB，
∵PM⊥EB，
∴EM＝BM，
∴PN＝2BM．
【总结提升】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
类型二 利用“角平分线+平行线”的模型构造等腰三角形
3．（2024秋•九龙坡区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D，点E是BC边的中点，线段EF∥AD交线段AB于点G，交线段CA的延长线于点F．
（1）若CF＝6，AG＝2，求AC的长；
（2）求证：BG＝CF．
【思路引领】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质解答即可；
（2）作CM∥AB交FE的延长线于M，欲证明BG＝CF，只要证明BG＝CM，CF＝CM即可．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AD∥EF，
∴∠DAC＝∠F，∠BAD＝∠FGA，
∴∠F＝∠FGA，
∴AG＝AF，
∵CF＝6，AG＝2，
∴AC＝CF﹣AF＝CF﹣AG＝6﹣2＝4；
（2）作CM∥AB交FE的延长线于M．
∵BG∥CM，
∴∠B＝∠MCE，
∵E是BC中点，
∴BE＝EC，
在△BEG和△CEM中，
∠B=∠MCEBE=EC∠BEG=∠MEC，
∴△BEG≌△CEM，
∴BG＝CM，
∵AD∥EF，
∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，
∵∠1＝∠2，
∴∠F＝∠FGA，
∵AB∥CM，
∴∠FGA＝∠M，
∴∠F＝∠M，
∴CF＝CM，
∴BG＝CF．
【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，掌握中线倍长法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
类型三 利用“角平分线+垂线”构造等腰三角形
4．（2024秋•太湖县期末）已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D．求证：DE平分∠AEB．
【思路引领】延长AD交BC于F，由AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，易证得∠DFE＝∠DAE，可得AE＝FE，又由ED⊥AD，根据三线合一的性质，即可证得ED平分∠AEB．
【解答】证明：延长AD交BC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠DFE＝∠B+∠BAD，∠DAE＝∠EAC+∠CAD，
∵∠B＝∠EAC，
∴∠DFE＝∠DAE，
∴AE＝FE，
∵ED⊥AD，
∴ED平分∠AEB．
【总结提升】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质，垂直的定义以及三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
类型四 “利用截长补短法”构造等腰三角形
5．（2024秋•拱墅区期中）如图，AD是△ABC的高，且AB+BD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C的度数为 25° ．
【思路引领】在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，先由线段垂直平分线的性质得AB＝AE，则∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝50°，再由AB+BD＝DC，得到△ACE是等腰三角形，得∠EAC＝∠C，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
【解答】解：在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝90°﹣∠BAD＝50°，
∵AB+BD＝DC，DE+CE＝DC，
∴AB＝CE，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，
∴∠C=12∠AEB＝25°，
故答案为：25°．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
6．已知△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交边AC于E．
（1）如图（1），当∠BAC＝108°时，证明：BC＝AB+CE；
（2）如图（2），当∠BAC＝100°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．
【思路引领】（1）如图1中，在BC上截取BD＝BA．只要证明△BEA≌△BED，CE＝CD即可解决问题；
（2）结论：BC＝BE+AE．如图2中，在BA、BC上分别截取BF＝BE，BH＝BE．则△EBH≌△EBF，再证明EA＝EH＝EF＝CF即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，在BC上截取BD＝BA．
∵BA＝BD，∠EBA＝∠EBD，BE＝BE，
∴△BEA≌△BED，
∴BA＝BD，∠A＝∠BDE＝108°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝36°，∠EDC＝72°，
∴∠CED＝72°，
∴CE＝CD，
∴BC＝BD+CD＝AB+CE．
（2）结论：BC＝BE+AE．
理由：如图2中，在BA、BC上分别截取BF＝BE，BH＝BE．则△EBH≌△EBF，
∴EF＝EH，
∵∠BAC＝100°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∴∠EBA＝∠EBC＝20°，
∴∠BFE＝∠H＝∠EAH＝80°，
∴AE＝EH，
∵∠BFE＝∠C+∠FEC，
∴∠CEF＝∠C＝40°，
∴EF＝CF，
∴BC＝BF+CF＝BE+AE．
【总结提升】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
类型五 利用倍角关系构造
7．（2024秋•南岗区校级月考）如图，AD平分∠BAC，∠ABC＝3∠C，BE⊥AD垂足为E，AB＝8，BE＝2.5，则AC＝ 13 ．
【思路引领】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF，根据三角形外角的性质，可得∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，根据角的和差、等量代换，可得∠CBF＝∠C，根据等腰三角形的判定，可得BF＝CF，根据线段的和差、等式的性质，可得答案．
【解答】证明：如图：延长BE交AC于点F，
∵BF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE，
在△ABE和△AFE中，
∠AEB=∠AEFAE=AE∠BAE=∠FAE，
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF＝8，BE＝EF＝2.5，
∴BF＝5，
∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，
∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，
∴∠C+2∠CBF＝3∠C，
∴∠CBF＝∠C，
∴BF＝CF＝5，
∴BE=12BF=12CF，
∴AC＝AF+CF＝8+5＝13，
故答案为：13．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等量代换，等式的性质，利用等量代换得出∠CBF＝∠C是解题关键．
8．已知E为△ABC内部一点，AE延长线交边BC于点D，连接BE、CE，∠BED＝∠BAC＝2∠DEC．
若AC＝AB，求证：BE＝2AE；
【思路引领】在EB上截取EF＝AE，利用AAS即可证得△ABF≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等即可证得；
【解答】解：在EB上截取EF＝AE，连接AF，设∠BED＝2α，
∴∠FAE＝∠AFE＝α，
∴∠AEC＝∠AFB，
∵∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝2α，∠ABE+∠BAD＝∠BED＝2α，
∴∠CAE＝∠ABE
∵在△ABF和△CAE中，
∠AEC=∠AFB∠CAE=∠ABEAB=AC，
∴△ABF≌△CAE（AAS），
∴BF＝AE＝EF，
∴BE＝2AE；
【总结提升】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的性质是解题的关键．