数学八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形优秀随堂练习题

这是一份数学八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形优秀随堂练习题，文件包含专题5等腰三角形与其他知识的综合原卷版-2024-2025学年八年级数学提优专题训练及试卷测试人教版docx、专题5等腰三角形与其他知识的综合解析版-2024-2025学年八年级数学提优专题训练及试卷测试人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
1．（2024春•河口区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【思路引领】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
BE=CF∠ABC=∠ACBBD=CE，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B=12（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
【总结提升】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．
2．（2023秋•城厢区校级期中）如图，已知△ABD和△AEC中，AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝50°，CD、BE相交于点P．
（1）证明：BE＝DC；
（2）求∠BPC的度数；
【思路引领】（1）先证得∠BAE＝∠DAC，然后根据已知条件即可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质得到BE＝DC；
（2）根据△ABE≌△ADC，得到∠ABE＝∠ADC，得到∠AFD＝∠PFB，根据三角形的内角和得出∠BPD＝∠DAB＝50°，得到∠BPC＝130°．
【解答】（1）证明：∵∠DAB＝∠EAC＝50°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAC，
在△BAE与△DAC中，
AB=AD∠BAE=∠DACAE=AC，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝DC；
（2）解：∵△ABE≌△ADC，
∴∠ABE＝∠ADC，
∴∠BPD＝∠DAB＝50°，
∴∠BPC＝130°．
【总结提升】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
类型二 等腰三角形与角平分线及平行线综合
3．（2024秋•洛江区期末）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，且AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（ ）
A．△DBI和△EIC是等腰三角形
B．DI＝1.5IE
C．△ADE的周长是8
D．∠BIC＝115˚
【思路引领】由角平分线以及平行线的性质可以得到等角，从而可以判定△IDB和△IEC是等腰三角形，所以BD＝DI，CE＝EI，△ADE的周长被转化为△ABC的两边AB和AC的和，即求得△ADE的周长为8．
【解答】解：∵BI平分∠DBC，
∴∠DBI＝∠CBI，
∵DE∥BC，
∴∠DIB＝∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴BD＝DI．
同理，CE＝EI．
∴△DBI和△EIC是等腰三角形；
∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝8；
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠IBC+∠ICB＝65°，
∴∠BIC＝115°，
故选项A，C，D正确，
故选：B．
【总结提升】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
4．（2023秋•南宫市期末）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，EF∥AB交AC于点F．求证：△FEC是等腰三角形．
【思路引领】利用平行线以及角平分线的定义证明∠2＝∠3，再根据等角的余角相等证明∠4＝∠5即可解决问题；
【解答】证明：如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵EF∥AB，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∵CE⊥AD 于点 E，
∴∠AEC＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠2+∠5＝90°，
∴∠4＝∠5，
∴FE＝FC，
∴△FEC是等腰三角形．
【总结提升】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2023秋•射洪市期末）数学课上，老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪谈论后，进行了如下研究：
（1）特殊入手，探索结论：
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系．他们发现AE＝BD．请你说明理由．
（2）特例启发，解答题目：
如图2，若E为AB边上任一点（端点除外），AE＝DB是否仍然成立？请你判断，并说明理由．
（3）拓展结论，设计新题：
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长．（此小问不写过程，直接写出结果）
【思路引领】（1）根据等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一解答；
（2）证明△EDB≌△CEF，根据全等三角形的性质解答；
（3）根据题意分情况画出图形，根据（2）的结论计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点，
∴∠ABC＝60°，∠BCE＝30°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE＝30°，
∴∠BED＝∠ABC﹣∠D＝30°，
∴BD＝BE，
∴AE＝BD；
（2）成立．
理由如下：作EF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴△AEF是等边三角形，
∵EF∥BC，
∴∠ECB＝∠FEC，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE，
∴∠FEC＝∠BDE，
在△EDB和△CEF中，
∠EDB=∠CEF∠EDB=∠CFEED=EC，
∴△EDB≌△CEF（AAS），
∴EF＝BD，
∴AE＝BD；
（3）如图①，CD＝BC+BD＝BC+AE＝3，
如图②，CD＝BD﹣BC＝AE﹣BC＝1，
综上所述，CD的长为3或1．
【总结提升】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
类型三 等腰三角形与垂直平分线综合
6．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（ ）
A．168°B．158°C．128°D．118°
【思路引领】连接CE，依据线段AB，DE的垂直平分线交于点C，可得CA＝CB，CE＝CD，判定△ACE≌△BCD，可得∠AEC＝∠BDC，设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，即可得到△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°．
【解答】解：如图，连接CE，
∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，
∴CA＝CB，CE＝CD，
∵∠ABC＝∠EDC＝72°＝∠DEC，
∴∠ACB＝∠ECD＝36°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
CA=CB∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠AEC＝∠BDC，
设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，
∴∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，
∴△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°，
故选：C．
【总结提升】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是依据全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论．
7．（2024春•东营期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若△BCD的周长为16cm，△ABC的周长为26cm，求BC的长．
【思路引领】（1）首先计算出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，进而可得∠ABD＝∠A＝40°，然后可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，AE＝BE，然后再计算出AC+BC的长，再利用△ABC的周长为26cm可得AB长，进而可得答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，∠A＝40°，
∴∠ABC=180°−∠A2=70°，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°；
（2）∵△BCD的周长为16cm，
∴BC+CD+BD＝16，
∴BC+CD+AD＝16，
∴BC+CA＝16，
∵△ABC的周长为26cm，
∴AB＝26﹣BC﹣CA＝26﹣16＝10，
∴AC＝AB＝10，
∴BC＝26﹣AB﹣AC＝26﹣10﹣10＝6cm．
【总结提升】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8．（2024秋•休宁县期中）如图，△ABC中，AB＝11，AC＝5，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线DG相交于点D，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求BE的长度．
【思路引领】连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD＝BD，DF＝DE，继而可得AF＝AE，证得Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），则可得BE＝CF，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
CD=BDDF=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝11，AC＝5，
∴BE=12（11﹣5）＝3．
【总结提升】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9．（海淀区期末）如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．
【思路引领】（1）正确画图；
（2）根据对称得：CN是AD的垂直平分线，则CA＝CD，根据等腰三角形的性质和等边三角形可得结论；
（3）作辅助线，在PB上截取PF使PF＝PC，如图，连接CF．先证明△CPF是等边三角形，再证明△BFC≌△DPC，则BF＝PD＝2PE．根据线段的和可得结论．
【解答】（1）如图所示，
（2）解：∵点A与点D关于CN对称，
∴CN是AD的垂直平分线，
∴CA＝CD．
∵∠ACN＝α，
∴∠ACD＝2∠ACN＝2α．
∵等边△ABC，
∴CA＝CB＝CD，∠ACB＝60°．
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2α．
∴∠BDC＝∠DBC=12（180°﹣∠BCD）＝60°﹣α．
（3）结论：PB＝PC+2PE．
本题证法不唯一，如：
证明：在PB上截取PF使PF＝PC，如图，连接CF．
∵CA＝CD，∠ACD＝2α
∴∠CDA＝∠CAD＝90°﹣α．
∵∠BDC＝60°﹣α，
∴∠PDE＝∠CDA﹣∠BDC＝30°．
∴PD＝2PE．
∵∠CPF＝∠DPE＝90°﹣∠PDE＝60°．
∴△CPF是等边三角形．
∴∠CPF＝∠CFP＝60°．
∴∠BFC＝∠DPC＝120°．
∴在△BFC和△DPC中，
∠CFB=∠CPD∠CBF=∠CDPCB=CD
∴△BFC≌△DPC（AAS）．
∴BF＝PD＝2PE．
∴PB＝PF+BF＝PC+2PE．
【总结提升】此题是三角形综合题，主要考查了对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质，三角形全等的性质和判定，第三问作出辅助线构建等边三角形是解本题的关键．
类型四 等腰三角形与几何变换综合
平移
10．（山西中考）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F
（1）求证：CE＝CF．
（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．
【思路引领】（1）根据平分线的定义可知∠CAF＝∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE＝CF，
（2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′＝DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE＝BE′，再根据等量代换可知BE′＝CF．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠EAD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠CFA＝∠AED，又∠AED＝∠CEF，
∴∠CFA＝∠CEF，
∴CE＝CF；
（2）猜想：BE′＝CF．
证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，连接EE′，
又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，
∴ED＝EG，
由平移的性质可知：D′E′＝DE，
∴D′E′＝GE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°
∵CD⊥AB于D，
∴∠B+∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
在△CEG与△BE′D′中，
∠GCE=∠B∠CGE=∠BD′E′GE=D′E′，
∴△CEG≌△BE′D′（AAS），
∴CE＝BE′，
由（1）可知CE＝CF，
∴BE′＝CF．
【总结提升】本题主要考查了平分线的定义，平移的性质以及全等三角形的判定与性质，难度适中．
（二）旋转
11．（2024春•文山市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）若OA＝6，OC＝8，OB＝10，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）若∠AOB＝110°，∠BOC＝α，请探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【思路引领】（1）利用旋转的性质以及等边三角形的判定，求证即可；
（2）根据全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理求解即可；
（3）分三种情况，①∠AOD＝∠ADO；②∠ODA＝∠OAD；③∠AOD＝∠DAO，利用等腰三角形的性质分别求解即可．
【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC∠OCD＝60°，
∴CO＝CD．
∴△COD是等边三角形．
（2）解：△AOD为直角三角形，理由如下：
∵△ADC≌△BOC，
∴DA＝OB＝10，
∵△COD是等边三角形，
∴OD＝OC＝8，
又OA＝6，
∴DA2＝OA2+OD2，
∴△AOD为直角三角形．
（3）解：因为△AOD是等腰三角形，
所以分三种情况：①∠AOD＝∠ADO；②∠ODA＝∠OAD；③∠AOD＝∠DAO，
∵∠AOB＝110°，∠COD＝60°，
∴∠BOC＝190°﹣∠AOD，
而∠BOC＝∠ADC＝∠ADO+∠CDO，
由①∠AOD＝∠ADO可得∠BOC＝∠ADC＝∠AOD+60°，
∴190°﹣∠AOD＝∠AOD+60°，解得∠AOD＝65°，
∴α＝∠BOC＝190°﹣∠AOD＝125°；
由②∠ODA＝∠OAD可得∠BOC=∠ADC=60°+12(180°−∠AOD)=150°−12∠AOD，
∴190°−∠AOD=150°−12∠AOD，解得∠AOD＝80°，
α＝∠BOC＝190°﹣∠AOD＝110°；
由③∠AOD＝∠DAO可得∠BOC＝∠ADC＝60°+（180°﹣2∠AOD）＝240°﹣2∠AOD，
∴190°﹣∠AOD＝240°﹣2∠AOD，解得∠AOD＝50°，
α＝∠BOC＝190°﹣∠AOD＝140°；
综上可知α＝125°、α＝110°或α＝140°．
【总结提升】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题．
（三）折叠
12．如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G．
（1）求∠CEF的度数；
（2）求证：△EFG是等腰三角形．
【思路引领】（1）由矩形和平行线的性质得出∠BEG＝∠AGC'＝48°，由折叠的性质得出∠CEF＝∠C'EF，即可得出答案；
（2）由矩形和平行线的性质得出∠GFE＝∠CEF，由折叠的性质得出∠CEF＝∠C'EF，得出∠GFE＝∠C'EF，证出GE＝GF即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BEG＝∠AGC'＝48°，
由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，
∴∠CEF=12（180°﹣48°）＝66°；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GFE＝∠CEF，
由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，
∴∠GFE＝∠C'EF，
∴GE＝GF，
即△EFG是等腰三角形．
【总结提升】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）、等腰三角形的判定．正确观察图形，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．
类型五 等腰三角形与平面直角坐标系综合
13．（2024秋•集贤县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞2），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．
（1）求证：△OBC≌△ABD．
（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．
（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？并直接写出此时点D的横坐标．
【思路引领】（1）先根据等边三角形的性质得∠OBA＝∠CBD＝60°，OB＝BA，BC＝BD，则∠OBC＝∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD；
（2）由△AOB是等边三角形知∠BOA＝∠OAB＝60°，再由△OBC≌△ABD知∠BAD＝∠BOC＝60°，根据∠CAD＝180﹣∠OAB﹣∠BAD可得结论；
（3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得∠EAC＝120°，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA＝2，∠OEA＝30°，求得AC＝AE＝4，据此得到OC＝6，即可得出点C的位置．
【解答】（1）证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，
∴∠OBC＝∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
∵OB=AB∠OBC=∠ABDCB=DB，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；
（2）解：点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：
∵△AOB是等边三角形，
∴∠BOA＝∠OAB＝60°，
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°；
（3）解：∵△OBC≌△ABD，
∴∠BOC＝∠BAD＝60°，
又∵∠OAB＝60°，
∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，
∵点A的坐标为（2，0），
∴OA＝2，
在Rt△AOE中，∠OEA＝30°，
∴AE＝4，
∴AC＝AE＝4，
∴OC＝2+4＝6，
∴当点C的坐标为（6，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
∵△OBC≌△ABD，
∴OC＝AD＝6，
∴ED＝6+4＝10，
∵∠DEO＝30°，
∴点D的横坐标为5．
【总结提升】本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决本题的关键是利用等腰三角形的性质求出点C的坐标．