人教版（2024）八年级上册（2024）综合与实践 最短路径问题精品一课一练

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类型一 两点一线求两条线段和的最小值或差的最大值
例1 如图，已知点A，B在直线l的同一侧．
（1）如图①，在直线l上找出一点P，使PA+PB的值最小；
（2）如图②，在直线l上找出一点P，使PB﹣PA的值最大；
（3）如图③，若A，B两点在直线l的异侧，在直线l上找出一点P，使PA+PB的值最小．
【思路引领】（1）作点A关于直线l的对称点A′，再连接A′B交直线l于点P，根据两点之间线段最短可解答；
（2）连接AB并延长，交直线l于点P，则P点即为所求；
（3）根据两点之间线段最短进行求解即可．
【解答】解：（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，点P即为所求作的点；
（2）连接AB并延长，交直线l于点P，点P即为所求作的点；
（3）连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．
【总结提升】本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，关键是正确画出图形，题型较好，难度适中．
例2 如图，A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使|PA﹣PB|的值最大．
【思路引领】作点A关于直线l的对称点A′，则PA＝PA′，因而|PA﹣PB|＝|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．
【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P．
【总结提升】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．
【变式训练】
变式1 （2023秋•巴彦淖尔期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是 4 ．
【思路引领】根据线段的垂直平分线的性质可得BE＝EC，根据两点之间线段最短即可求解．
【解答】解：如图，连接BP，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BP＝CP，
根据两点之间线段最短，
∴PA+PB＝PA+PC＝AC，
∴PA+PB的最小值即为AC的长为4．
∴PA+PB的最小值为4．
故答案为：4．
【总结提升】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
变式2 （2023春•灞桥区校级月考）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 12a+b ，此时∠CFE＝ 90° ．
【思路引领】通过分析点E的运动轨迹，点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E′，此时AE′+FE′的值最小
【解答】解：∵△ABC，△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴AF=CF=12a，BF=b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E′，此时AE′+FE′的值最小，∠CFE′＝90°，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值是AF+FE′+AE′=AF+FM=12a+b，
故答案为：12a+b，90°．
【总结提升】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．
变式3（2022春•高州市期中）如图，AB＝AC＝8，∠BAC＝110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD＝25°，P为AD上一动点，则|PB﹣PC|的最大值是 8 ．
【思路引领】作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、CB'．则AB＝AB'，PB'＝PB，AB'C是等边三角形，在△PB'C中，|PB'﹣PC|≤B'C，当P、B'、C在同一直线上时，|PB'﹣PC|取最大值B'C，即为8．所以PB﹣PC|的最大值是8．
【解答】解：如图．
作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、CB'．
则AB＝AB'，PB'＝PB，∠B'AD＝∠BAD＝25°，∠B'AC＝∠BAC﹣∠BAB'＝110°﹣25°﹣25°＝60°．
∵AB＝AC＝8，
∴AB'＝AC＝8，
∴△AB'C是等边三角形，
∴B'C＝8，
在△PB'C中，|PB'﹣PC|≤B'C，
当P、B'、C在同一直线上时，|PB'﹣PC|取最大值B'C，即为8．
∴|PB﹣PC|的最大值是8．
故答案为：8．
【总结提升】本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键
类型二 一点两线或两点两线求周长最小值
例3（2023秋•澄城县期末）如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（ ）
A．5B．15C．20D．30
【思路引领】根据题意画出符合条件的图形，求出OD＝OE＝OP，∠DOE＝60°，得出等边三角形DOE，求出DE＝15，求出△PMN的周长＝DE，即可求出答案．
【解答】解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，则此时△PMN的周长最小，
连接OD，OE，
∵P、D关于OA对称，
∴OD＝OP，PM＝DM，
同理OE＝OP，PN＝EN，
∴OD＝OE＝OP＝15，
∵P、D关于OA对称，
∴OA⊥PD，
∵OD＝OP，
∴∠DOA＝∠POA，
同理∠POB＝∠EOB，
∴∠DOE＝2∠AOB＝2×30°＝60°，
∵OD＝OE＝15，
∴△DOE是等边三角形，
∴DE＝15，
即△PMN的周长是PM+MN+PN＝DM+MN+EN＝DE＝15，
故选：B．
【总结提升】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
【变式训练】
变式1（2023秋•仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．60°B．90°C．100°D．120°
【思路引领】要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝40°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．
∵DAB＝140°，
∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．
故选：C．
【总结提升】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
变式2 如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．
【思路引领】作出点A关于l1的对称点E，点B关于l2的对称点F，连接EF，交于l1，l2于点C，点D，则AC，CD，BD是他走的最短路线．
【解答】解：作出点A关于l1的对称点E，点B关于l2的对称点F，连接EF，交于l1，l2于点C，点D，
则AC，CD，BD是他走的最短路线，放羊的位置为C点，饮水的位置为D点．
【总结提升】本题利用了轴对称的性质，两点之间线段最短的性质求解．
类型三 双动点求两线段和的最小值
例4（2022秋•南开区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4B．3C．4.8D．5
【思路引领】如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，过点C作CH⊥AB于点H．利用垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H．
∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称，
∴点Q′值AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH，
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，12•AC•BC=12•AB•CH，
∴CH＝2.4，
∴CP+PQ≥2.4，
∴PC+PQ的最小值为2.4．
故选：A．
【总结提升】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到C点关于AD的对称点，再由垂线段最短是求解的关键．
【变式训练】
变式1（2023秋•双台子区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是 3 ．
【思路引领】根据对称性，过点F作FG⊥AC交AD于点Q，连接BG交AD于点E，此时BG＝BE+EF，当BG垂直于AC时最短，根据30°直角三角形的边的性质即可求解．
【解答】解：方法一：如图1所示：
在AC边上截取AB′＝AB，作B′F⊥AB于点F，交AD于点E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠B′AE，AE＝AE，
∴△ABE≌△AB′E（SAS）．
∴BE＝B′E，
∴B′F＝B′E+EF＝BE+EF，
∵垂线段最短，
∴此时BE+EF最短．
∵AB＝AB′＝6，∠BAC＝30°，
∴B′F=12AB′＝3．
故答案为3．
方法二：如图2所示：
在AC边上截取AG＝AF，连接BG交AD于点E，作BH⊥AC于点H，
同方法一：得△AEG≌△AFG（SAS）
∴EG＝EF，
∴BG＝BE+EG＝BE+EF，
当BG垂直于AC时最短，
即BH的长最短，
∵AB＝6，∠BAC＝30°，
∴BH＝3．
故答案为3．
【总结提升】本题考查了最短路线问题、角分线的性质、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是作对称点．
类型四 造桥选址问题
例5（2023春•潍坊期末）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（ ）
A．B．
C．D．
【思路引领】过A作河的垂线AH，要使最短，MN⊥直线a，AI＝MN，连接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可．
【解答】解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），
只要AM+BN最短就行，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连接IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．
故选：D．
【总结提升】本题考查了最短路线问题，平行线的性质，关键是如何找出M、N点的位置．
【变式训练】
变式1（2022•雁塔区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为 12 ．
【思路引领】由于四边形APQB的周长可表示为AP+BQ+7，则要使其最小，只要AP+BQ最小即可．在AB边上截取AM＝PQ，因为点F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，利用勾股定理可求出MC的值，进而可得出答案．
【解答】解：∵AB＝5，PQ＝2，
∴四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，
则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可．
在AB边上截取AM＝PQ，
∵点F是BC的中点，
∴点B关于EF的对称点为点C，
连接CM，交EF于点Q，
则CM即为AP+BQ的最小值．
在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，
∴CM=32+42=5，
∴四边形APQB的周长最小值为5+7＝12．
故答案为：12．
【总结提升】本题考查轴对称﹣最短路线问题、矩形的性质，能够将所求四边形的周长转化为求AP+BQ的最小值是解题的关键．
课堂练习
1．（2022秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，CE＝5，AD＝7，P是AD上一个动点，则BP+EP的最小值是（ ）
A．7B．3.5C．5D．2.5
【思路引领】利用将军饮马模型找出使BP+EP取得最小值时的点P的位置即可求得结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴B，C关于AD对称，
∴连接EC与AD的交点即为使BP+EP取得最小值时的点P，
∴BP+EP的最小值＝EC＝5，
故选：C．
【总结提升】本题主要考查了轴对称的性质，最短线路问题，等腰三角形的性质，利用等腰三角形的三线合一的性质和将军饮马模型找出使BP+EP取得最小值时的点P的位置是解题的关键．
2．（2024春•市中区期末）如图，已知∠AOB＝α，C是∠AOB内部的一点，且OC＝3，点D、E分别是OA、OB上的动点，若△CDE周长的最小值等于3，则α＝（ ）
A．45°B．40°C．35°D．30°
【思路引领】设点C关于OA的对称点为P，关于OB的对称点为F，当点E、F在射线PD上时，△CDE的周长为CD+CE+DE＝PF，此时周长最小，根据OC＝3可求出α的度数．
【解答】解：如图，作点C关于OA的对称点P，关于OB的对称点F，连接PF，交OA于D，OB于E．此时，△CDE的周长最小．
连接OP，OF，CD，EF．
∵点C与点P关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠POA＝∠AOC，PD＝CD，OC＝OP，
同理，可得∠FOB＝∠BOC，EF＝CE，OF＝OC．
∴∠POF＝2α．
又∵△CDE的周长＝CD+DE+EC＝PD+EF+ED＝PD＝3，
∴OP＝OC＝OF＝3，
∴△POF是等边三角形，
∴2α＝60°，
∴α＝30°．
故选：D．
【总结提升】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．
3．（2020秋•西城区校级期中）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处
B．AD的中点处
C．A点处
D．D点处
【思路引领】由点D是等边三角形ABC的中点得到AD所在的直线是△ABC的中垂线，在AB上作点E关于AD的对称点F，连接CF，即可得到△PCE的最小周长．
【解答】解：∵点D、E分别是等边三角形ABC的边BC、AC的中点，
∴CE长度不变，AD所在的直线是△ABC的对称轴，
∴当△PCE的周长最小时，PE+PC最小，
如图，在AB上作点E关于AD的对称点F，连接CF，
∴点F是AB的中点，
∴CF⊥AB，
此时，CF即为PE+PC的最小值，点P是△ABC的三条中线交点，
∴当△PCE的周长最小时，P点是△ABC的三条中线的交点．
故选：A．
【总结提升】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质与垂线段最短找到△PCE周长最小的点P位置．
4．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，点E为射线AC上的动点，DE∥AB，且DE＝2．当AD+BD的值最小时，∠DBC的度数为 45° ．
【思路引领】过点D作DF⊥AC于点F，可知点D在到AC的距离为1的直线上，作出该直线l，利用将军饮马模型，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点D′，此时AD′+BD′＝A′B，即点D与点D′重合时，AD+BD的值最小．利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理分别求得∠ABA′和∠ABC的度数，则结论可求．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DE∥AB，
∴∠DEF＝∠BAC＝30°，
∵DF⊥AC，
∴DF=12DE＝1，
∴点D到直线AC的距离等于定值1．
过点D作直线l∥AC，则点D在直线l上运动，
作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点D′，由将军饮马模型可知：
此时AD′+BD′＝A′B，即点D与点D′重合时，AD+BD的值最小．
由题意：AA′⊥l，AG＝GA′，
∵l∥AC，DF⊥AC，
∴四边形AFDG为矩形，
∴AG＝DF＝1，
∴AA′＝AG+A′G＝2，
∵AB＝AC＝2，
∴AB＝AA′，
∴∠ABA′＝∠A′．
∵∠BAC＝30°，∠FAG＝90°，
∴∠BAA′＝120°，
∴∠ABA′＝∠A′=180°−120°2=30°．
∵∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，
∴∠ABC＝∠ACB=180°−30°2=75°，
∴∠DBC＝∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝45°．
故答案为：45°．
【总结提升】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，轴对称的性质，平行线的判定与性质，利用将军饮马模型构造辅助线解答是解题的关键．
5．（2022春•锦江区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，M是AC边上的中点，Q是BC边中点，N是线段CQ任意一点，P是AB边上任意一点，P关于AC对称的点为P′，已知AB=62，则NP′﹣MP的最大值为 64 ．
【思路引领】连接MP′，MN，由对称性和三角形三边关系可知，NP′﹣MP＝NP′﹣MP′≤MN′，且当点M与点Q重合时，取得最大值，根据等边三角形的性质与判定可得出最大值．
【解答】解：如图，连接MP′，MN，
∵点P，P′关于AC对称，
∴MP＝MP′，
∴NP′﹣MP＝NP′﹣MP′，
在△MNP′中，由三角形三边关系可知，NP′﹣MP′＜MN，
当M，N，P′三点共线时，NP′﹣MP′＝MN，
∴NP′﹣MP′≤MN，且当N与点Q重合时，取得最大值，即NP′﹣MP′≤MQ，即NP′﹣MP的最大值为MQ的长．
在等边△ABC中，AB=62，
∴AC＝AB＝BC=62，∠C＝60°，
∵点M为AC的中点，点Q为BC的中点，
∴CQ＝MC=12AC=64，
即NP′﹣MP的最大值为64．
故答案为：64．
【总结提升】本题主要考查等边三角形的性质与判定，轴对称的性质等相关知识，关键是找到何时取得最大值．