北师大版（2024）八年级上册（2024）1 探索勾股定理同步测试题

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）1 探索勾股定理同步测试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A . 8m B . 10m C . 12m D . 14m
2.如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（ ）
A . 3 B . 2+2 C . 10 D . 4
3.下列各组3个整数是勾股数的是（ ）
A . 4，5，6 B . 6，8，9 C . 13，14，15 D . 8，15，17
4.如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（ ）
A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个
5.下列线段不能构成直角三角形的是（ ）
A . a=6，b=8，c=10
B . a=1，b= 2 ， c=3
C . a=3，b=4，c=5
D . a=2，b=3，c=6
6.如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（ ）km．
A . 4 B . 5 C . 6 D .20
7.如图，圆柱的底面半径为3cm，高为4πcm，一只蚂蚁从A点沿着圆柱的侧面爬行到与点A相对的B点，则最短路线长为（ ）
A . 6+4πcm B . 29+π2cm C . 7πcm D . 5πcm
8.如图，正方形 ABCD的边长为15， AG＝ CH＝12， BG＝ DH＝9，连接 GH ， 则线段 GH的长为（ ）
A . 833 B . 12﹣3 2 C . 145 D . 32
二、填空题
1.如图，线段AB的长度为5，点P，M为线段AB外一动点，且PA＝4，PM＝PB，∠BPM＝90°，线段AM长的最大值为 ________ ．
2.如图所示摆放的 5个正方形，面积分别为 S1 ， S2 ， S3 ， S4 ， S5 ， 其中 S1=1 ， S2=2 ， S3=3 ， 则 S4+S5= ________ ．
3.如图，已知 Rt△ABC ， ∠C=90° ， BD是角平分线， BD=5 ， BC=4 ， 则D点到 AB的距离是 ________ ．
4.若直角三角形斜边长为4，周长为 4+32 ， 则三角形面积等于 ________ ．
5.如图，把平面内一条数轴 x绕点 O逆时针旋转角 60°得到另一条数轴 y ， x轴和 y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点 P是平面斜坐标系中任意一点，过点 P作 y轴的平行线交 x轴于点 A ， 过点 P作 x轴的平行线交 y轴于点 B ， 若点 A在 x轴上对应的实数为 a ， 点 B在 y轴上对应的实数为 b ， 则称有序实数对 (a，b)为点 P的斜坐标．若点 P的斜坐标为 (1，4) ， 点 G的斜坐标为 (7，−4) ， 连接 PG ， 则线段 PG的长度为 ________ ．
6.一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了 24km ， 然后向正北方向航行了 10km ， 这时他离出发点 ________ km ．
7.一根电线杆在一次台风中在离高地面3米高处折断倒下，杆的顶端落在离杆的底端4米处，电线杆在折断之前高 ________ 米．
三、作图题
1.确定合适的数轴，在数轴上画出表示 −10−1 的点 A 和表示 13 的点 B ．
2.问题背景：
在 △ABC中， AB、 BC、 AC三边的长分别为 5、 10、 13 ， 求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点 △ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处， AB=22+12=5 ， BC=10 ， AC=13），如图①所示．这样不需求 △ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求 △ABC面积的方法叫做构图法．
（1） 请你将 △ABC的面积直接填写在横线上：______．
（2） 思维拓展：若 △ABC三边的长分别为 5a、 22a、 17aa>0 ， 请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 △ABC ， 并求出它的面积．
（3） 探索创新：若 △ABC三边的长分别为 m2+16n2、 9m2+4n2、 2m2+n2（ m>0 ， n>0 ， 且 m≠n），求这个三角形的面积．
（4） 直接写出当x为何值时，函数 y=x2+9+12−x2+4有最小值，最小值是多少？
3.如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5， 17的三角形，请你帮助小华作出来．
4.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
四、综合题
1.如图
（1） 我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边 a、 b与斜边 c满足关系式 a 2＋ b 2＝ c 2 ， 称为勾股定理.
证明：∵大正方形面积表示为S＝c2 ， 又可表示为S＝4× 12 ab＋(b－a)2 ，
∴4× 12 ab＋(b－a)2＝c2.
∴ ________
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
（2） 爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程.
（3） 如图3所示，∠ ABC＝∠ ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论 a 2＋ b 2＝ c 2.
2.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点， 且点 C与直线 AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响.
（1） 着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2） 若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
3.台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且 ∠ACB=90° ， 过点 C作 CE⊥AB于点 E ， 以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．
（1） 求监测点A与监测点B之间的距离；
（2） 请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．
4.已知，在长方形 ABCD中， AB=kAD ， 点P在 AB上，点E在 BC上，且 DP=EP ．
（1） 如图1，若 AP=5 ， AD=12 ， 点E与点B重合，求k的值；
（2） 如图2，若 AP=34AD ， ∠DPE=90° ， 求k的值；
（3） 如图3， DP=2BP ， ∠DPE=60° ， 求k的值．
五、解答题
1.数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化.树形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
(1) 【思想应用】已知m， n均为正实数，且m+n=2求 m2+1+n2+4的最小值通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图， AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=m， BE=n.
①用含m的代数式表示CE=_______， 用含n的代数式表示DE= ；
②据此求 m2+1+n2+4的最小值；
(2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式 x2+25+(x−16)2+49的最小值.
2.在直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8. 点D是BC上一点，将△CD沿着AD折叠，使点C与定E重合。求△BDE的周长 .
3.如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点 B位置时，点B离地面垂直高度 BC为1m，离秋千支柱 AD的水平距离 BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱 AD的高.
4.解答下列各题
（1） 如图1， △ABC是等边三角形，点D为 BC边上的一动点（点D不与B，C重合），以 AD为边在 AD右侧作等边 △ADE ， 连接 CE ， 线段 BD与 CE的数量关系是 ， ∠DCE= ．
（2） 如图2，在 △ABC中， ∠BAC=90°，AC=AB ， 点D为 BC上的一动点（点D不与B，C重合），以 AD为边作等腰直角三角形 ADE，∠DAE=90° ， 连接 CE ， 请求解下列问题并说明理由：① ∠DCE的度数；②线段 BD，CD，DE之间的数量关系；
（3） 如图3，在（2）的条件下，若D点在 BC的延长线上运动，以 AD为边作等腰直角 △ADE，∠DAE=90° ， 连接 CE，BE ， 若 BE=10，BC=6 ， 请直接写出 DE2的值．

5.如图，在一次实践活动中，小强从A地出发，沿北偏东60°的方向行进3 3千米到达B地，然后再沿北偏西30°方向行进了3千米到达目的地C．
（1）求A、C两地之间的距离；
（2）试确定目的地C在点A的什么方向？
六、阅读理解
1.阅读理解并解答问题
如果a、b、c为正整数，且满足a2+b2=c2 ， 那么，a、b、c叫做一组勾股数．
（1）请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5是一组勾股数；
（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数；
（3）如果m表示大于1的整数，且a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1，请你根据勾股数的意思，说明a、b、c为勾股数．
2.[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；
[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；
[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
[知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明 a+bc＜ 2 ， 其证明步骤如下：
∵BC=a+b，AD= ________ ，
又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即 ，
∴ a+bc＜ 2 ．
3.阅读：
材料一：含 30°角的直角三角形， 30°角所对的直角边等于斜边的一半；
材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
完成以下问题：在 △ABC中， ∠BAC=120° ， 点 D是边 BC上的一点．
（1） 已知 AB=AC ．
①如图1，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120°得到线段 AE ， 连接 CE、DE ． 若 ∠DEC=90° ， 求 BDCD的值；
②如图2，以 AD为边在其右侧作 ∠DAF=60° ， 交边 BC于点 F ， 若 CF=4 ， BC=10 ， 求 DF之长；
（2） 如图3，点 D是边 BC的中点，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120°得到线段 AE ， 连接 CE ， 点 M是边 AB上一点，连接 CM ， 满足 ∠ACE=∠AMC ， 已知 CE=6 ， AM=4 ， 求 BM之长．