初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）1 探索勾股定理巩固练习

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）1 探索勾股定理巩固练习，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A . 8米 B . 10米 C . 13米 D . 14米
2.一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角3m，如果梯子的顶端沿墙下滑1m，那么梯脚移动的距离是（ ）
A . 0.5m B . 0.8m C . 1m D . 1.2m
3.如图，在底面周长为12，高为8的圆柱体上有A，B两点，则一只蚂蚁从圆柱体表面A点爬到B点吃食物的最短距离为（ ）
A . 10 B . 8 C . 5 D . 4
4.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 ABCD与正方形 EFGH ． 连接 EG ， BD相交于点O、 BD与 HC相交于点P．若 GO=GP ， 则 BDBP的值是（ ）
A . 32 B . 43 C . 2 D .3
5.在平行四边形 ABCD中， ∠DBC=45° ， DE⊥BC于 E ， BF⊥CD于 F ， DE ， BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：① BD=2BE；② ∠A=∠BHE；③ AB=BH；④ ΔBCF≅ΔDCE ， 其中正确的结论是（ ）
A . ①②③ B . ①②④ C . ②③④ D . ①②③④
6.三个正方形的面积如图，中间三角形为直角三角形，则正方形A的边长为（ ）
A . 6 B . 36 C . 64 D . 8
7.如图，一圆柱高8cm，底面半径为 6πcm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）cm．
A . 6 B . 8 C . 10 D . 12
8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若 （a+b)2=21 ， 大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A . 3 B . 4 C . 5 D . 6
二、填空题
1.代数式 x2+4+x2−24x+153的最小值是 ________ ．
2.如图，陈老师购买了一根晾衣杆，需乘电梯带回家，若电梯的长、宽、高分别是1m，1m，2m，那么能放入电梯内的晾衣杆最大长度是 ________ m．
3.如图， OP=1，过 P作 PP 1⊥ OP ， 得 OP 1= 2 ；再过 P 1作 P 1 P 2⊥ OP 1且 P 1 P 2=1，得 OP 2= 3 ；又过 P 2作 P 2 P 3⊥ OP 2且 P 2 P 3=1，得 OP 3=2；…依此法继续作下去，得 OP 2019= ________ ．
4.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是 ________ ．

5.在平面直角坐标系中，若点 Px,y的坐标满足 my−nx=1 ， 我们称点P为“ m,n倍差点”．若点A既是 1,2倍差点，又是 2,3倍差点，则点A到坐标原点的距离为 ________ ．
6.如图，为修铁路需凿通隧道 BC ， 测得∠C＝90°， AB＝5 km ， AC＝4 km ， 若每天凿隧道0.3 km ， 则需 ________ 天才能把隧道凿通．
7.根据 a2+b2表示直角边为a，b得直角三角形的斜边可知，对于任意实数x，式子 4+x2+7−x2+1的最小值是 ________
8.要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为 3 ， 高为 2 ， 则放入木盒的细木条最大长度为 ________ ．
9.如图，长方体长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，则BD′= ________ .
10.如图，在中， ∠ACB=90° ， AC=2 ， 将 △ABC绕点C顺时针旋转 60°至 △A'B'C ， 点A的对应点 A'恰好落在 AB上，则 BB'的长为 ________ ．
三、作图题
1.有一张图纸被损坏，但上面有如图的两个标志点A（-3，1），B（-3，-3）可认，而主要建筑C（3，2）破损.
（1） 建立直角坐标系；
（2） 标出图中C点的位置；
（3） 求出线段AC的长.
2.请在方格内画出 △ABC ， 使它的顶点都在格点上，且三边长1， 2 ， 5 ，
（1） 求 △ABC的面积；
（2） 求出最长边上的高．
3.问题背景：
在 △ABC中， AB、 BC、 AC三边的长分别为 5、 10、 13 ， 求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点 △ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处， AB=22+12=5 ， BC=10 ， AC=13），如图①所示．这样不需求 △ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求 △ABC面积的方法叫做构图法．
（1） 请你将 △ABC的面积直接填写在横线上：______．
（2） 思维拓展：若 △ABC三边的长分别为 5a、 22a、 17aa>0 ， 请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 △ABC ， 并求出它的面积．
（3） 探索创新：若 △ABC三边的长分别为 m2+16n2、 9m2+4n2、 2m2+n2（ m>0 ， n>0 ， 且 m≠n），求这个三角形的面积．
（4） 直接写出当x为何值时，函数 y=x2+9+12−x2+4有最小值，最小值是多少？
4.定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1） 概念理解；如图1，在 △ABC 中， ∠C=90° ，作出 △ABC 的共边直角三角形（画一个就行）．
（2） 问题探究，如图2，在 △ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=6 ， BC=8 ， △ABD 与 △ABC 是共边直角三角形．连接 CD ．当 CD⊥AB 时，求 CD 的长．
（3） 拓展延伸，如图3所示， △ABC 和 △ABD 是共边直角三角形， BD=CD ，求证： AD 平分 ∠CAB ．
四、综合题
1.每年的 11月 9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯 AC长为 25米，云梯顶端 C靠在教学楼外墙 OC上（墙与地面垂直），云梯底端 A与墙角 O的距离为 7米．
（1） 求云梯顶端 C与墙角 O的距离 CO的长；
（2） 现云梯顶端 C下方 4米 D处发生火灾，需将云梯顶端 C下滑到着火点 D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离 AB为多少米．
2.如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
（1） 若A端沿垂直于地面的方向AC下移1m，则B端将沿CB方向移动多少米？
（2） 若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．
（3） 在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最 值（填“大”或“小”）为 （两个空直接写出答案不需要解答过程）．
3.如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向 1202 千米有一台风中心正在B处形成，并沿着北偏东45°的BC方向以15千米/小时的速度向C移动，AD⊥BC于D，如果在距台风中心150千米的区域内都将受到台风的影响，请问：
（1） 通过计算说明，台风会否影响到A市？
（2） 画图计算说明，台风中心从B处出发后，经过几小时会影响到A市，对A市持续影响的时间有多少小时？在第几小时时对A市的影响最大？
4.拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1） 学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2） 若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
5.某花店老板李某为培育花苗，于2023年租了一块如图所示的四边形土地， ∠B=90° ， AB=40m ， BC=30m ， AD=130m ， CD=120m ， 该土地的租金为一年 45元/ m2 ， 则李某租用该土地一年需租金多少元？
五、解答题
1.在一条东西走向的河流一侧有一村庄 C ， 河边原有两个取水点 A ， B ， 其中 AB=AC ， 由于某种原因，由 C到 A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点 D(A、 D、 B在同一条直线上 ) ， 并新修一条路 CD ， 测得 CB=6.5千米， CD=6千米， BD=2.5千米．
（1） 求证： CD⊥AB；
（2） 求原来的路线 AC的长；
2.如图，A、B两个村在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B俩村供水，铺设水管的费用为每千米1万，请你在河流CD上选择水厂的位置P，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
3.问题：如图1，在等边 △ABC内部有一点P，已知 PA=3 ， PB=4 ， PC=5 ． 求 ∠APB的度数？
（1） 请写出常见四组勾股数：______、______、______、______．
（2） 解决方法：通过观察发现 PA、 PB ， PC的长度符合勾股数，但由于 PA ， PB、 PC不在一个三角形中，想法将这些条件集中在一个三角形，于是可将 △ABP绕A逆时针旋转 60°到 △AP'C ， 此时 △ABP≌△ACP' ， 这样利用等边三角形和全等三角形知识，便可求出 ∠APB=______．
（3） 应用：请你利用（2）题的思路，解答下面的问题：如图2，在 △ABC中， ∠CAB=90° ， AB=AC ， E，F为 BC的点，且 ∠EAF=45° ， 若 BE=m ， FC=n ， 请求出线段 EF的长度（用m、n的代数式表示）；
4.【操作思考】
（1）如图1，已知方格纸每个小方格都是长为1个单位的正方形，已知线段 AB的端点均在正方形网格格点上，其位置如图所示．请在网格纸上画出以 AB为斜边的所有互不全等的直角三角形，要求这些三角形的顶点均在正方形网格格点上．
【联系应用】
（2）如图2，在 Rt△ABC中， ∠C=90° ， ACBC=13 ， D ， E是 BC边的三等分点，连接 AD ， AE ， 求 ∠1+∠2+∠3的度数．
【拓展延伸】
（3）如图3，已知正方形 ABCD的边长为3，当点 H是边 AB的三等分点时，把 △BCH沿 CH翻折得 △GCH ， 延长 HG交 AD于点 M ， 求 MD的长．
5.已知：如图，在四边形 ABCD中， AB=a ， BC=b ， CD=c ， DA=12 ， ∠ABC=90° ， 且a、b、c三边满足 2a+b−11+4a−5b−1+c2+169=26c ．
（1） 求a、b、c的值；
（2） 求四边形ABCD的面积．
六、阅读理解
1.请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：
（1） 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2） 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3） 已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
2.阅读下列一段文字，然后回答下列问题.
已知在平面内有两点P1（ x1 ， y1 ），P2（ x2 ， y2 ）其两点间的距离P1P2 = (x1−x2)2+(y1−y2)2 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为| x2 − x1 |或| y2 − y1 |.
（1） 已知 A (1，4)、B (-3，2)，试求 A、B两点间的距离；
（2） 已知一个三角形各顶点坐标为 D(-1，4)、E(-2，2)、F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗?说明理由：
（3） 在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在 x轴上找一点 P，使得∆PDF是以DF为底的等腰三角形，求点P的坐标.
3.[阅读理解]
如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长.
解：设BD＝x，则CD＝7﹣x.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2 ，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2 ，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2.
又∵AB＝4，AC＝6，
∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2.
解得x＝ 2914 ，
∴BD＝ 2914 .
∴AD＝ AB2−BD2 ＝ 325514 .
[知识迁移]
（1） 在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D.
i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；
ii）若AD＝12，求线段BC的长.
（2） 如图2，在△ABC中，AB＝ 2545 ，AC＝ 5292 ，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ ABD' ，连接CD′，若AD＝ 252 ，求线段 CD' 的长.