初中北师大版（2024）1 探索勾股定理巩固练习

这是一份初中北师大版（2024）1 探索勾股定理巩固练习，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.已知一个直角三角形的两边是3和4，那么第三边的长度是（ ）
A . 5 B . 5或 7 C . 7 D . 7
2. 如图字母B所代表的正方形的面积是 （ ）
A . 12 B . 13 C . 144 D . 194
3.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为 60cm ， 则水深是（ ）cm
A . 35 B . 40 C . 50 D . 45
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则AC=（ ）
A . 4 B . 5 C . 6 D . 7
5.如图，在长方体透明容器（无盖）内的点 B处有一滴糖浆，容器外 A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为 5cm ， 宽为 3cm ， 高为 4cm ， 点 A距底部 1cm ， 请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A . 317cm B . 10cm C . 55cm D .113cm
6.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=（ ）
​
A . 25 B . 31 C . 32 D . 40
7.公园内有两棵树，相距 24m ， 一棵树高为 26m ， 另一棵树高为 16m ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另 一棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ）
A . 42m B . 40m C . 26m D .24m
8.以下四组数中，不是勾股数的是（ ）
A . 3，4，5 B . 5，12，13 C . 4，5，6 D . 8，15，17
9.小刚想测量教学楼的高度，他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了2米，当他把绳子的下端拉开6米后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高度是（ ）米．
A . 10 B . 12 C . 14 D . 8
二、填空题
1.小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则AB为 ________ 米．
2.已知等腰ΔABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则ΔABC的面积为 ________ .
3.“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形 ABCD、 BEFG、 AHIG均为正方形．若 AD=5 ． EI=7 ， 则正方形 AHIG的面积为 ________ ．
4.所谓的勾股数就是指使等式a 2+b 2=c 2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m 2﹣n 2 ， b=2mn，c=m 2+n 2 ， 则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和 ________ 组成一组勾股数．
5.王叔叔家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是 1m ， 1m ， 2m ， 那么电梯内能放入这些木条的最大长度是 ________ ．（结果保留根号）
6.如图所示：画线段 OA1=1 ， 过点 A1作 A2A1⊥OA1 ， 且 A2A1=1 ， 连接 OA2；过点 A2作 A3A2⊥OA2 ， 且 A3A2=1 ， 连接 OA3；过点 A3作 A4A3⊥OA3 ， 且 A4A3=1 ， 连接 OA4 ， ⋯ ， 如此操作下去，当操作到连接 OA2023后停止操作，在所画图形中，长度为有理数的所有线段之和的长度值为 ________ ．
7.如图，点 P是矩形 ABCD内任意一点，连结 PA，PB，PC，PD ， 记 ∠PAB=θ1，∠PBC=θ2，∠PCD=θ3，∠PDA=θ4 ， 则下列各结论一定成立的有 ________ （填序号）
① S△PAD+S△PBC=S△PAB+S△PCD；②若 ∠APB=80°，∠DPC=50° ， 则 θ1−θ2+θ3−θ4=50°；
③ PA2+PC2=PB2+PD2；④ S△ABP=S△ADP ， 则P在对角线 AC上
8.一无人超市门口的墙 AB上装有一个传感器 P ， 离地面高度 PB=4.7m ， 当人从门外走到离该传感器 4m及 4m以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高 1.7m的小明走到 D处时，恰好响起“欢迎光临”，则 BD的长为 ________ m ．
9.我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据奇异三角形的定义，请你判断：若某三角形的三边长分别为1、2、 7 ， 则该三角形 ________ （填“是”或者“不是”）奇异三角形．
10.如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西 25°的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西 65°的方向航行8海里，这时两轮船相距海里．
三、作图题
1.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1， △ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）．
（1） 请作出 △ABC关于 x轴对称的 △A'B'C'；
（2） 判断 △ABC的形状并说明理由．
2.问题背景：
在 △ABC中， AB、 BC、 AC三边的长分别为 5、 10、 13 ， 求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点 △ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处， AB=22+12=5 ， BC=10 ， AC=13），如图①所示．这样不需求 △ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求 △ABC面积的方法叫做构图法．
（1） 请你将 △ABC的面积直接填写在横线上：______．
（2） 思维拓展：若 △ABC三边的长分别为 5a、 22a、 17aa>0 ， 请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 △ABC ， 并求出它的面积．
（3） 探索创新：若 △ABC三边的长分别为 m2+16n2、 9m2+4n2、 2m2+n2（ m>0 ， n>0 ， 且 m≠n），求这个三角形的面积．
（4） 直接写出当x为何值时，函数 y=x2+9+12−x2+4有最小值，最小值是多少？
3.在平面直角坐标系 xOy中， △ABC的顶点 A(1，1) ， B(3，2) ， C(2，3)均在正方形网格的格点上．
（1） 画 △ABC关于 y轴的对称图形 △A1B1C1；
（2） 已知点 D的坐标为 (3，−3) ， 判断 △ABD的形状，并说明理由．
4.如图是一个 12×12的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系 xOy ， 已知点 A坐标为 −5,−3 ， 点 B坐标为 1,−5 ．
（1） 作出线段 AB关于 x轴对称的线段 A1B1；
（2） 在正方形网格中作以 A1B1为斜边的等腰直角三角形 A1B1C ， 并求出 △A1B1C的面积．
四、综合题
1.定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1） 已知M、N把线段AB分割成AM，MN，NB，若，AM=2.5，MN=6.5，BN=6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2） 已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若 AB=30，AM=5 ， 求BN的长.
2.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域 B处，在沿海城市 A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东 30°方向向 C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半）
试问：
（1） A城市是否会受到台风影响？
（2） 若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？
（3） 若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
3.物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮 A ， 一端拴在滑块 B上，另一端拴在物体 C上，滑块 B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块 B的左右滑动来调节物体 C的升降．
实验初始状态如图1所示，物体 C静止在直轨道上，物体 C到滑块 B的水平距离是6 dm ， 物体 C到定滑轮 A的垂直距离是8 dm ． （实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
（1） 求绳子的总长度；
（2） 如图2，若物体 C升高7 dm ， 求滑块 B向左滑动的距离．
4.如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米．
（1） 小敏猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度；
（2） 为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE＝3米，请你求出要焊接的钢索BF的长．（结果不必化简成最简二次根式）
5.某花店老板李某为培育花苗，于2023年租了一块如图所示的四边形土地， ∠B=90° ， AB=40m ， BC=30m ， AD=130m ， CD=120m ， 该土地的租金为一年 45元/ m2 ， 则李某租用该土地一年需租金多少元？
五、解答题
1.超速行驶容易引发交通事故．如图，某观测点设在到公路l的距离为100米的点P处，一辆汽车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，是判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？
（参考数据： 2=1.41， 3=1.73）
2.如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，
（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；
（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？
3.如图，O为半圆的圆心，C，D为半圆上的两点，且 ⌢BD=⌢CD,连结 AC 并延长，与BD 的延长线相交于点E.
（1） 求证：CD=ED.
（2） AD与OC，BC分别交于点F，H.
①若 CF=CH，如图②，求证：CF·AF=FO·AH；
②若半圆的半径为2，BD=1，如图③，求 AC的长.
4.如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
六、阅读理解
1.阅读理解并解答问题
如果a、b、c为正整数，且满足a2+b2=c2 ， 那么，a、b、c叫做一组勾股数．
（1）请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5是一组勾股数；
（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数；
（3）如果m表示大于1的整数，且a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1，请你根据勾股数的意思，说明a、b、c为勾股数．
2.阅读下列一段文字，然后回答下列问题.
已知在平面内有两点P1（ x1 ， y1 ），P2（ x2 ， y2 ）其两点间的距离P1P2 = (x1−x2)2+(y1−y2)2 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为| x2 − x1 |或| y2 − y1 |.
（1） 已知 A (1，4)、B (-3，2)，试求 A、B两点间的距离；
（2） 已知一个三角形各顶点坐标为 D(-1，4)、E(-2，2)、F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗?说明理由：
（3） 在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在 x轴上找一点 P，使得∆PDF是以DF为底的等腰三角形，求点P的坐标.
3.请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：
（1） 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2） 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3） 已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．