初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）1 探索勾股定理优秀当堂检测题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）1 探索勾股定理优秀当堂检测题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为( )
A. 15
B. 2 5
C. 2 15
D. 8
2.如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使ΔABC是等腰三角形(AB是其中一腰)，则图中符合条件的格点有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，分别以AB、AC为斜边向外作等腰直角三角形，它们的面积分别记作S1与S2，若S1=16，S2=25，则BC的长为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
4.如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′.则这根芦苇的长度是( )
A. 10尺
B. 11尺
C. 12尺
D. 13尺
5.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是( )．
A. (−1,2+ 3)B. (− 3,3)C. (− 3,2+ 3)D. (−3, 3)
6.如图，OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于P点．若OA=5，AP=2，则弦BC的长为( )
A. 10B. 8C. 6D. 4
7.将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，拉动橡皮筋上的一点P，当△APB是顶角为120°的等腰三角形时，已知AB=6cm，则橡皮筋被拉长了( )
A. 2cmB. 4cmC. (4 3−6)cmD. (4−2 3)cm
8.如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作得AE，若BF=6，AB=5，则AE的长为( )
A. 4B. 6C. 7D. 8
9.如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边BC，CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN，OM.以下四个结论正确的是( )
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是 3；
③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCD；
④当OM⊥BC时，OA2=DN·AB．
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
10.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )
A. 9B. 6C. 4D. 3
11.如图，在△ABC中，AB=BC= 3，∠BAC=30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为( )
A. 6 3
B. 9
C. 6
D. 3 3
12.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程为( )
A. 20 3dmB. 25 2dmC. 20dmD. 25dm
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.一个直角三角形的两边长分别为6cm和8cm，则这个直角三角形的外接圆直径为 ．
14.小明打算测量学校旗杆的高度，他发现旗杆顶部的绳子垂到地面后还多出1m，当他把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是 ．
15.如图，B、C、D在同一直线上，∠B=∠D=90∘，AB=CD=2，BC=DE=6，则△ACE的面积为 ．
16.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=4.以AB为一边在△ABC的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30∘，再向大厦方向前进80 m，到达点D处(C,D,B三点在同一直线上)，又测得大厦顶端A的仰角为45∘，请你计算该大厦的高度．(精确到0.1 m，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
18.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，∠B为锐角，AB=3 2，AC=5，sinC=35，求BC的长．
19.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10 cm，AC=8 cm.点P从点A出发沿边AC以1 cm/s的速度向点C运动，同时点Q从点C出发沿边CB以1 cm/s的速度向点B运动，当一个点运动到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动．当两个点都到达终点时停止运动．
(1)经过多少秒，△CPQ的面积为Rt△ABC面积的18？
(2)填空：
①经过 s，点P在线段AB的垂直平分线上；
②经过 s，点Q在∠BAC的平分线上．
20.(本小题8分)
如图，点B，C，D共线，∠C=∠ABE=∠D=90∘，BC=DE．
(1)求证：AB=BE；
(2)连接AE，设BC=a，AC=b，AB=c.求证：a2+b2=c2．
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24．
求四边形ABCD的面积．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
(1)求证：△AED≅△ACD；
(2)当AC=6，BC=8，求CD的长．
23.(本小题8分)
如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
24.(本小题8分)
某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图.测得AC长为3 22km，CD长为34( 2+ 6)km，BD长为32km，∠ACD=60°，∠CDB=135°(A、B、C、D在同一水平面内)．
(1)求A、D两点之间的距离；
(2)求隧道AB的长度．
25.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE=EC，在AD边上取一点F，使得DF=BE，连接CF.过点D作DG⊥AE于G．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AB=4，BE=3，求DG的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA−AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=12OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH= 15，即CD=2CH=2 15．
【解答】
解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，

∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA−AP=2，
在Rt△OPH中，
∵∠OPH=∠APC=30°，
∴OH=12OP=1，
在Rt△OHC中，
∵OC=4，OH=1，
∴CH= OC2−OH2= 15
∴CD=2CH=2 15
故选C．
2.【答案】D
【解析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB=BC，AB=AC，AC=BC去分析求解即可求得答案．
【解答】解：如图所示：
由勾股定理得：AB= 12+22= 5，
①若AB=BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共4个点；
②若AB=AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点；
若AC=BC，则不存在这样格点．
∴这样的C点有5个．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】由等腰直角三角形的性质和三角形面积求出AD2=32，AE2=50，则AB2=AD2+BD2=64，AC2=AE2+CE2=100，再由勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，∠D=∠E=90∘，
∴AD=BD，AE=CE，
∴S1=12AD⋅BD=12AD2=16，S2=12AE⋅CE=12AE2=25，
∴AD2=32，AE2=50，
∴AB2=AD2+BD2=64，AC2=AE2+CE2=100，
∵∠ABC=90∘，
∴BC= AC2−AB2= 100−64=6，
故选B．
4.【答案】D
【解析】解：设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x−1)尺，
因为边长为10尺的正方形，所以B′C=5尺
在Rt△AB′C中，52+(x−1)2=x2，
解之得x=13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故选：D．
我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B′C=5尺，设出AB=AB′=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查坐标与图形变化−旋转，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
如图，作B′H⊥y轴于H.由含30°角的直角三角形的性质求出A′H，由勾股定理求出B′H，进而得出OH即可得出答案．
【解答】
解：如图，作B′H⊥y轴于H．
由题意得：OA=AB=2，△OAB≌△OA′B′，
∴OA′=OA=A′B′=AB=2，∠B′A′H=∠A′OB′+∠OB′A′=∠AOB+∠OBA=60°，
∴∠A′B′H=30°，
∴A′H=12A′B′=1，B′H= A′B′2−A′H2= 3，
∴OH=OA′+A′H=3，
∴B′(− 3,3)，
故选B．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理，利用勾股定理得出BP的长是解题关键，又利用了垂径定理．
根据勾股定理，可得BP，根据垂径定理，可得答案．
【解答】
解：连接OB，
OB=OA=5，OP=OA−AP=3，
由勾股定理，得
BP= OB2−OP2=4，
由垂径定理，得
BC=2BP=8，
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：如图，过点P作PC⊥AB于点C，
∵△APB是等腰三角形，且∠APB=120°，
∴∠APC=120°÷2=60°，AC=6÷2=3cm，AP=BP，
∴在Rt△APC中，AP=ACsin60∘=3 32=2 3cm，
∴橡皮筋被拉长了：2 3×2−6=(4 3−6)cm．
故选：C．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
过点P作PC⊥AB于点C，先根据等腰三角形的性质得到∠APC，AC，再在Rt△APC中，利用锐角三角函数求出AP长，进而可求出橡皮筋被拉长的长度．
8.【答案】D
【解析】略
9.【答案】D
【解析】略
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的应用，完全平方公式的应用，本题属于基础题型．
由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形面积的和列出等式，即可求出小正方形的边长．
【解答】
解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，
∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8=4，
∴4×12ab+(a−b)2=25，
∴(a−b)2=25−16=9，
∵a>b，
∴a−b=3，即中间小正方形的边长为3．
故选D．
11.【答案】D
【解析】解：连接BD交AC于O，
∵AD=CD，AB=BC，
∴BD垂直平分AC，
∴BD⊥AC，AO=CO，
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC=30°，
∵AC=AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=∠DCA=60°，
∴∠BAD=∠BCD=90°，∠ADB=∠CDB=30°，
∵AB=BC= 3，
∴BD=2 3，
由勾股定理可得AD=CD=3，
∴四边形ABCD的面积=2×12×3× 3=3 3，
故选：D．
本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO=CO，根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠BAC=30°，根据等边三角形的性质得到∠DAC=∠DCA=60°，推出∠BAD=∠BCD=90°，求得AD=CD=3，于是得到结论．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平面展开−最短路径问题，勾股定理有关知识．
先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解答】
解：台阶展开如图，则AC=20dm，BC=3×3+2×3=15(dm)，
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2= 202+152=25(dm)．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为25dm．
故选D
13.【答案】10或8
【解析】解：此题有两种情况：(1)当两直角边是6和8时，由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 62+82=10，
此时外接圆的半径是5，直径是10；
(2)当一个直角边是6，斜边是8时，
此时外接圆的半径是4，直径是8．
故答案为：10或8．
有两种情况：(1)当两直角边是6和8时，求出斜边长即可得到答案；(2)当一条直角边是6，斜边是8时，即可得出答案．
本题主要考查三角形的外接圆和外心，勾股定理等知识点，解此题的关键是知道直角三角形的外接圆的直径等于斜边的长，求出斜边长即可，用的数学思想是分类讨论思想．
14.【答案】12m
【解析】根据题意，画出图形，可将该问题抽象为直角三角形问题，该直角三角形的斜边比其中一条直角边多1m，而另一条直角边长为5m，可以根据勾股定理列方程求出斜边的长，即为旗绳的长．
【解答】解：如图，旗杆绳AC垂到地面B处时多出1m，∠ABC=90∘，把绳子斜拉直时，绳子底端距离旗杆底部5m，
可知AC比AB多1m，BC=5m，
设AC=xm，
则AB=(x−1)m，
∵AB2+BC2=AC2，
∴(x−1)2+52=x2，
解得x=13，
∴AC=13m，
∴AB=13−1=12(m)
故答案为：12m．
15.【答案】20
【解析】由“SAS”可证△ABC≅△CDE，得AC=CE，∠ACB=∠CED，再证∠ACE=90∘，然后由勾股定理可求AC的长，即可求解．
【解答】解：在ΔABC和ΔCDE中，
AB=CD∠B=∠DBC=DE,
∴ΔABC≅ΔCDE(SAS)，
∴AC=CE，∠ACB=∠CED，
∵∠CED+∠ECD=90∘，
∴∠ACB+∠ECD=90∘，
∴∠ACE=90∘，
∵∠B=90∘，AB=2，BC=6，
∴AC= AB2+BC2= 22+62=2 10，
∴CE=2 10，
∴S△ACE=12AC×CE=12×2 10×2 10=20，
故答案为：20．
16.【答案】16
【解析】首先利用勾股定理求得AB边的长度，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答．
【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=4，AC=2，
由勾股定理知，AB= AC2+BC2= 22+42=2 5．
故S阴影=S正方形ABDE−S△ABC=(2 5)2−12×2×4=20−4=16．
故答案为：16．
17.【答案】解：设AB=x m，在Rt▵ACB和Rt▵ADB中，∵∠C=30∘，∠ADB=45∘，CD=80 m，∴DB=x m，AC=2x m，BC= 2x2−x2= 3x m．∵CD=BC−BD=80 m，∴ 3x−x=80，∴x=40 3+1≈109.3m．
答：该大厦的高度是109.3 m．

【解析】略
18.【答案】解：作AD⊥BC，垂足为点D，∴∠ADB=∠ADC=90∘．∵AC=5，sinC=35，∴AD=AC⋅sinC=3.在Rt▵ACD中，CD= AC2−AD2=4．∵AB=3 2，∴在Rt▵ABD中，BD= AB2−AD2=3，∴BC=BD+CD=7．

【解析】略
19.【答案】【小题1】
解：设经过xs，△CPQ的面积为Rt△ABC面积的18.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC= 102−82=6(cm).由条件可知，点P运动的时间为8÷1=8(s)，点Q运动的时间为6÷1=6(s). 当0