北师大版（2024）八年级上册（2024）2 一定是直角三角形吗优秀同步训练题

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）2 一定是直角三角形吗优秀同步训练题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.观察下图等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5).现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的面积为( )
A. 245B. 259C. 336D. 350
2.如图，在▵ABC中，AB=6，AC=10，BC边上的中线AD=4，则▵ABC的面积为( )
A. 30B. 24C. 20D. 48
3.下列各数中，与6，8能构成勾股数的是( )
A. 6B. 8C. 10D. 14
4.以下列各组数的长度围成的三角形中，是直角三角形的一组是( )
A. 1、3、 5B. 1、 3、3C. 3、4、4D. 6、8、10
5.以下列各组数为边长，其中不能构成直角三角形的是( )
A. 3，4，5B. 2，3， 5C. 2， 3， 5D. 5，12，13
6.如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为( )
A. 47B. 62C. 79D. 98
7.满足下列关系的三条线段a，b，c组成的三角形一定是直角三角形的是( )
A. a3=b4=c5B. 3a=4b=5cC. a2=b3=c4D. 2a=3b=4c
8.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断∠A=90°的是( )
A. a=3，b=4，c=5B. a=6，b=5，c=4
C. a=2，b= 2，c= 2D. a=1，b=2，c= 3
9.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( )．
A. B.
C. D.
10.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=2，BC=1，CD=3.则∠B的度数为( )
A. 125°
B. 130°
C. 135°
D. 145°
11.下列长度的三条线段能构成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 4，6，8C. 6，8，10D. 5，7，8
12.如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD=( )
A. 3B. 4C. 4.8D. 5
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知(x−12)2+|y−5|+(z−13)2=0，则以x，y，z为边长的三角形是 三角形．
14.如图，若∠AOB=∠ACB=90°，OC平分∠AOB，OC=4，则四边形AOBC的面积是 ．
15.如图在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ/​/AB，点P在边AC上(与点A，C不重合)，点Q在边BC上，在AB上存在一点M，使△PQM为等腰直角三角形，CP的长是 ．
16.如图，在△ABC中，BC=10，AC=6，AD=4，已知D是AB的中点，连接CD，则CD的长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，一块铁皮(图中阴影部分)，测得AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90∘.求阴影部分的面积．
18.(本小题8分)
如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12 m，CD=9 m，AB=39 m，BC=36 m，求这块地的面积．
19.(本小题8分)
如图，已知AD是BC边上的中线，若BC=10 cm，AC=4 cm，AD=3 cm，求△ABC的面积．
20.(本小题8分)
在如图所示的四边形草坪中，∠ADC=90°，CD=12 m，AD=9 m，AB=36 m，BC=39 m，求这块草坪的面积．
21.(本小题8分)
如图，▱ABCD中，E是BC的中点，AE=9，BD=12，AD=10．
(1)求证AE⊥BD；
(2)求▱ABCD的面积．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D为AC的中点，∠A=2∠ABD，AC=10，AE=6，CE=8．
(1)求∠AEC的度数；
(2)求BC的长．
23.(本小题8分)
为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了∠ABC=90∘．
(1)请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定∠ABC=90∘的依据;
(2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元?
24.(本小题8分)
如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由;
(2)求AB边上的高ℎ．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC及BC的延长线于点D，E，F，且CB2=AE2−CE2．
(1)求证：∠ACB=90°；
(2)若AC=12，BC=9，求CE的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】根据题目给出的勾股数结构，直角边为14时，可设另一条直角边为n2−1，斜边为n2+1，其中2n=14，解得n=7，进而求出三边并计算面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
【详解】解：根据题意得：n2−12+2n2=n2+12，其中2n为一条直角边，n2−1为另一条直角边，n2+1为斜边．
∵已知一条直角边为14，对应2n=14，解得n=7，
∴另一条直角边：n2−1=72−1=48，
∴斜边：n2+1=72+1=50，
∴482+142=2304+196=2500=502，
∴三角形为直角三角形，
∴12×14×48=336．
故选：C
2.【答案】B
【解析】【点拨】延长AD到E，使DE=AD，连接CE.因为AD为BC边上的中线，所以DC=BD.又因为∠ADB=∠EDC，所以▵ADB≌▵EDC，所以CE=AB=6，S▵ADB=S▵EDC，所以S▵ABC=S▵ACE.又因为AE=2AD=8，AC=10，所以AC2=AE2+CE2，所以▵ACE为直角三角形，∠E=90∘，所以S▵ABC=S▵ACE=12CE⋅AE=12×6×8=24．
3.【答案】C
【解析】解：∵62+82=102，且6，8，10都是正整数，所以10与6，8能构成勾股数．
当8为最大数，第三数为
82−62=2 7，不是勾股数．
故选：C．
根据勾股数的定义，分当第三个数为最大数，或当8为最大数，求出两种情况下的第三数，验证是否满足正整数，即得．
本题考查了勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键．勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．
4.【答案】D
【解析】解：A.∵12+( 5)2≠32，不可以构成直角三角形，故不符合题意；
B.∵12+( 3)2≠32，不可以构成直角三角形，故不符合题意；
C.∵32+42≠42，不可以构成直角三角形，故不符合题意；
D.∵62+82=100=102，能构成直角三角形，故符合题意；
故选：D．
利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
5.【答案】B
【解析】解：A、∵32+42=52，能构成直角三角形；
B、( 2)2+( 5)2=2+5=7≠32，不满足勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形；
C、( 2)2+( 3)2=2+3=5=( 5)2，能构成直角三角形；
D、52+122=25+144=169=132，能构成直角三角形．
故选：B．
根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足较小两边的平方和等于最大边的平方，则为直角三角形．逐一验证各选项即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，实数的混合运算，掌握理解勾股定理的逆定理是解题关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股数，数式规律问题，满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
依据每列数的规律，即可得到a=n+12−1，b=2n+1，c=n+12+1(n为正整数)，进而得出x+y的值．
【解答】
解：由题可得，3=22−1，4=2×2，5=22+1，
8=32−1，6=2×3，10=32+1，
15=42−1，8=2×4，17=42+1，
24=52−1，10=2×5，26=52+1，
……
∴a=n+12−1，b=2n+1，c=n+12+1，(n为正整数)
∴当c=n+12+1=65时，n=7，
∴x=(7+1)2−1=63，y=2×(7+1)=16，
∴x+y=79，
故选：C．
7.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中设 a3=b4=c5=k ，则 a=3k,b=4k,c=5k ，
∵ a2+b2=25k2=c2 ，
∴组成的三角形是直角三角形，故A符合要求；
同理，B中 a=k3,b=k4,c=k5 ，
∵ b2+c2=41400k2≠19k2=a2 ，
∴组成的三角形不是直角三角形，故B不符合要求；
同理，C中 a=2k,b=3k,c=4k ，
∵ a2+b2=13k2≠16k2=c2 ，
∴组成的三角形不是直角三角形，故C不符合要求；
同理D中 a=k2,b=k3,c=k4 ，
∵ b2+c2=25144k2≠14k2=a2 ，
∴组成的三角形不是直角三角形，故D不符合要求；
故选：A．
8.【答案】C
【解析】解：∵a=3，b=4，c=5，
∴c2=a2+b2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
故A不符合题意；
∵a=6，b=5，c=4，
∴a2≠b2+c2，
∴∠A≠90°，
故B不符合题意；
∵a=2，b= 2，c= 2，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°，
故C符合题意；
∵a=1，b=2，c= 3，
∴b2=a2+c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
故D不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理逆定理判断求解即可．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
9.【答案】C
【解析】∵72=49，242=576，202=400，152=225，252=625，
∴72+242=252，152+202≠242，152+202=252，
∴A错误，B错误，C正确，D错误．故选C．
10.【答案】C
【解析】解：连接BD，
∵∠A=90°，AB=AD=2，
∴∠ABD=∠ADB=45°，BD= AD2+AB2= 22+22=2 2，
∵BC=1，CD=3，
∴BD2+BC2=(2 2)2+12=9，CD2=32=9，
∴BD2+BC2=CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠DBC=90°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=135°，
故选：C．
连接BD，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理可得：∠ABD=∠ADB=45°，BD=2 2，然后利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，从而可得∠DBC=90°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：A.∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵42+62≠82，
∴以4，6，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵62+82=102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵52+72≠82，
∴以5，7，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
12.【答案】D
【解析】略
13.【答案】直角
【解析】略
14.【答案】8
【解析】略
15.【答案】4837或9649
【解析】解：在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，
∴AB2=52=25，BC2=32=9，AC2=42=16，
∴AC2+BC2=16+9=25=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∵PQ/​/AB，
∴△PQC∽△ABC，
∴CPCA=PQAB=CQCB，即CP4=PQ5=CQ3，
设CP=4k，则PQ=5k，CQ=3k，
分三种情况讨论：
①当∠PMQ=90°时，
如图1，MP=MQ，过点M作MD⊥PQ于点D，过点C作CH⊥AB于点H，过点P作PN⊥AB于点N，
∴PD=QD=12PQ=12×5k=2.5k，
∠PMD=∠QMD=12∠PMQ=12×90°=45°，
∠PDM=∠QDM=90°，
∴∠MPD=90°−∠PMD=90°−45°=45°，
∴∠PMD=∠MPD，
∴MD=PD=2.5k，
∵PQ/​/AB，
∴∠NMD=∠QDM=90°，
∵PN⊥AB，
∴∠PNM=90°，
∴四边形PNMD是矩形，
∴PN=MD=2.5k，
∵CH⊥AB，
∴∠CHB=∠CHA=90°，
∴∠PNM=∠CHB，
∴PN//CH，
∴△APN∽△ACH，
∴PACA=PNCH，
∵PA=CA−CP=4−4k，
∴4−4k4=2.5kCH，
∴CH=2.5k1−k，
∵∠ACB=90°，
∴S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CH，
∴CH=AC⋅BCAB=4×35=125，
∴2.5k1−k=125，
解得：k=2449，
经检验，k=2449是原分式方程的解，
∴CP=4k=4×2449=9649；
②当∠QPM=90°时，
如图2，过点C作CH⊥AB于点H，
∴∠CHA=90°，
依据题意可得：PM=PQ=5k，
∵PQ/​/AB，
∴∠PMA=∠QPM=90°，
∴∠PMA=∠CHA，
∴PM//CH，
∴△APM∽△ACH，
∴PACA=PMCH，
∵PA=CA−CP=4−4k，
∴4−4k4=5kCH，
∴CH=5k1−k，
∵∠ACB=90°，
∴S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CH，
∴CH=AC⋅BCAB=4×35=125，
∴5k1−k=125，
解得：k=1237，
经检验，k=1237是原分式方程的解，
∴CP=4k=4×1237=4837；
③当∠PQM=90°时，
推导过程与②完全相同，
同理可求得CP=4837；
综上，CP=4837或9649，
故答案为：4837或9649．
根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，由PQ/​/AB可证得△PQC∽△ABC，于是可得CPCA=PQAB=CQCB，即CP4=PQ5=CQ3，令CP4=PQ5=CQ3=k，则CP=4k，PQ=5k，CQ=3k，然后分三种情况讨论：①当∠PMQ=90°时；②当∠QPM=90°时；③当∠PQM=90°时；分别求解即可求出CP的长．
本题主要考查了勾股定理逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，运用分类讨论思想是解题的关键．
16.【答案】2 13
【解析】解：∵D是AB的中点，
∴AB=2AD=8，
∵AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°，
∴CD= AD2+AC2=2 13．
故答案为：2 13．
首先求出AB=2AD=8，然后证明出∠A=90°，利用勾股定理求解即可．
此题考查了勾股定理以及逆定理，关键是利用勾股定理解答．
17.【答案】解：连接AC，∵在▵ABC中，∠B=90∘，AB=3，BC=4，∴AC2=AB2+BC2=25，又∵CD=12，AD=13，∴AC2+CD2=AD2，∴▵ACD是直角三角形，∴S阴影=S▵ACD−S▵ABC=12×5×12−12×3×4=30−6=24
【解析】略
18.【答案】解：连接AC，如图所示，
在Rt△ACD中，CD=9 m，AD=12 m， 根据AD2+CD2=AC2，可以求得AC=15 m. 在△ABC中，AB=39 m，BC=36 m，AC=15 m，∴存在AC2+CB2=AB2，∴△ABC为直角三角形． 要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可， S=S△ABC−S△ACD=12AC⋅BC−12CD⋅AD =12×15×36−12×9×12， =270−54， =216(m2). 答：这块地的面积为216 m2．

【解析】略
19.【答案】解：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD=12BC=5.∵DC2=52=25，AC2=42=16，AD2=32=9，∴AC2+AD2=DC2，∴△ADC是直角三角形且∠DAC=90°. 如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵S△ADC=AD⋅AC2=DC⋅AE2，∴3×42=5⋅AE2，∴AE=125，∴S△ABC=12BC⋅AE=12×10×125=12. 即△ABC的面积为12 cm2．

【解析】略
20.【答案】解：如图，连接AC，在Rt△ADC中，AC2=CD2+AD2=122+92=225，∴AC=15. 在△ABC中，BC2=1521， AC2+AB2=152+362=1521，∴CB2=AC2+AB2，∴∠CAB=90°，∴S△ABC−S△ACD=12AC⋅AB−12AD⋅CD=12×15×36−12×12×9=270−54=216(m2). 答：这块草坪的面积是216 m2．

【解析】略
21.【答案】(1)证明：过点D作DF//AE交BC的延长线于F．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=10，AD//BC．
∴四边形AEFD为平行四边形．
∴EF=AD=10，DF=AE=9．
∵E是BC的中点，
∴BE=12BC=5．
∴BF=BE+EF=5+10=15．
∴BD2+DF2=122+92=225=BF2．
∴∠BDF=90∘，即DF⊥BD．
又∵DF//AE，
∴AE⊥BD．
(2)过D作DM⊥BF于M．
∵BD⋅DF=BF⋅DM，
∴DM=9×1215=365．
∴S▱ABCD=BC⋅DM=72．

【解析】此题主要考查了勾股定理逆定理，平行四边形的性质与判定，关键是证出△BFD是直角三角形．
(1)过点D作DF//AE交BC的延长线于F，再证明△BFD是直角三角形，从而证得AE⊥BD；
(2)过D作DM⊥BF于M，利用等积法求出DM的长，从而可求得平行四边形ABCD的面积．
22.【答案】90°；
BC= 89．
【解析】(1)在△AEC中，AE=6，CE=8，AC=10，
∴AC2=AE2+CE2，
∴∠AEC=90°；
(2)连接DE，设∠A=2α，则∠ABD=α，
由条件可知ED=12AC=5，
∴∠AED=∠A=2α，
∴∠EDB=∠EBD=α，
∴ED=BE=5，
在Rt△BEC中，BC2=BE2+EC2，
∴BC2=52+82，
∴BC= 89．
(1)直接根据勾股定理的逆定理计算即可；
(2)连接DE，设∠A=2α，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ED=12AC=5，由等边对等角得到∠AED=∠A=2α，由三角形外角的性质可知∠EDB=∠EDB=α，由等角对等边得ED=BE=5，再根据勾股定理计算即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定和性质．
23.【答案】解：(1)施工人员测量的是AC的距离.依据：若AC=15m，则∠ABC=90∘．
在△ABC中，AB2+BC2=92+122=225，AC2=152=225，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC=90∘．
(2)在△ADC中，AD2+AC2=82+152=289，DC2=172=289，
∴△ADC为直角三角形，且∠DAC=90∘．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12×9×12+12×8×15=114，
∴114×110=12540(元)．
答：该学校建成这块塑胶场地需花费12540元．
【解析】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了勾股定理逆定理．
(1)连接AC，再根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形；
(2)首先证明∠DAC=90°，再根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC求得答案．
24.【答案】略
【解析】略
25.【答案】解：(1)证明：连接BE，如图所示，
∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵CB2=AE2−CE2，
∴CB2=BE2−CE2，
∴CB2+CE2=BE2，
∴△BEC是直角三角形，
∴∠ACB=90°；
(2)设CE=x，则AE=12−x，
∵BE=AE，
∴BE=12−x，
∵∠ECB=90°，BC=9，
∴CB2+CE2=BE2，
∴92+x2=(12−x)2，
解得x=218，
即CE=218．

【解析】本题考查勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
(1)根据垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理可以判断△BEC的形状，从而可以得到∠ACB=90°；
(2)根据(1)中的结果和勾股定理，可以计算出CE的长．
22−12+42=22+12
32−12+62=32+12
42−12+82=42+12
52−12+102=52+12