北师大版（2024）八年级上册（2024）第一章 勾股定理2 一定是直角三角形吗导学案

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）第一章 勾股定理2 一定是直角三角形吗导学案，共65页。学案主要包含了勾股定理的逆定理，勾股数等内容，欢迎下载使用。

一、勾股定理的逆定理
●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.
★1、用勾股定理判定直角三角形的步骤：
①先确定最长边，算出最长边的平方；
②计算另两边的平方和；
③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形.
★2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：
●勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
二、勾股数
★1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
★2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
★3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
★4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤：
①确定是否为三个正整数 a，b，c;
②确定最大数c；
③计算较小两数的平方和是否等于c2;
④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数.
考点1、利用三边关系判定直角三角形
【解题思路】判断一个三角形时否是直角三角形有两种方法：
（1）定义法，利用定义即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断；
（2）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系（即a2+b2＝c2）来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方.
例1．（2024春•蓬江区校级月考）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，3B．7，24，25C．6，8，10D．9，12，15
变式1．（2024秋•宝安区期末）在△ABC中，若AC＝b，AB＝c，BC＝a，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＝c2﹣b2B．∠B﹣∠C＝∠A
C．a＝1，b=3，c＝4D．∠B＝45°，∠C＝45°
变式2．（2024春•万年县校级月考）以下选项不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：3：4B．AB＝25，BC＝7，AC＝24
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．AB：BC：AC＝5：12：13
变式3．（2024春•乐陵市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，DA＝24，且∠B＝90°，下列结论中：①∠D＝90°；②∠A+∠C＝180°；③∠C＝120°；④S四边形ABCD＝204．其中正确的结论是（ ）
A．②B．①②C．①④D．①③④

考点2、根据三边满足的关系式判断三角形的形状
【解题思路】解题过程中主要运用了非负数的性质和勾股定理的逆定理，已知三角形三边长，判断三角形是否为直角三角形，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.
例2．（2023春•同江市期中）△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则（ ）
A．边a的对角是直角B．边b的对角是直角
C．边c的对角是直角D．是等腰三角形
变式1．（2024春•岚皋县期末）已知三角形三边长为a，b，c，如果a−6+|b﹣10|+（c﹣8）2＝0，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形
B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形
D．不是直角三角形
变式2．（2024秋•市中区校级月考）若三角形的三边满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，则此三角形的形状是 ．
变式3．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
小明的解题过程如下：
因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①
所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2），②
所以c2＝a2+b2，③
所以△ABC是直角三角形．④
请根据上述解题过程回答下列问题：
（1）小明的解题过程中，从第 （填序号）步开始出现错误；
（2）请你将正确的解答过程写下来．

考点3、勾股定理及其逆定理解决面积问题
【解题思路】不规则图形的面积不能直接求得，往往通过割补转化法将不规则图形的面积割补为规则图形的面积的和与差，本题中通过连线构造出直角三角形，将不规则图形面积转化为两个直角三角形的面积差，利用勾股定理求出各线段的长，从而计算三角形的面积.
例1．（2024春•海淀区校级期中）在△ABC中，三边长分别为3，4，5，那么△ABC的面积为（ ）
A．12B．6C．152D．125
变式1．（2024春•明水县期末）有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，从中选出三根恰好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是（ ）
A．6cmB．10cmC．7.5cmD．13.5cm
变式2．（2024秋•上蔡县期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是（ ）
A．48m2B．114m2C．122m2D．158m2
变式3．（2024春•桦甸市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝3，AD=14．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
考点4、巧添辅助线构造直角三角形
【解题思路】当问题中没有呈现直角三角形，但需要用勾股定理时，就要通过添加辅助线构造直角三角形.
例4．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AB⊥BC，则阴影部分的面积为（ ）
A．24B．36C．48D．12
变式1．（2024秋•沈阳月考）如图，△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AD为△ABC的角平分线，则CD＝ ．
变式2．如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则△ABC的面积为 ．
变式3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．
（1）求证：AB⊥BC．
（2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长．

考点5、勾股定理的逆定理的实际应用
【解题思路】解答此类问题的关键是应从实际问题入手，将其转化为数学问题，利用勾股定理及其逆定理来解答即可结合.
例5．（2024春•旅顺口区期中）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B．若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东60°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．北偏西60°B．南偏西60°C．南偏西30°D．南偏东30°
变式1．（2024春•开福区校级月考）如图所示，三个村庄A，B，C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价260万元/km，修这条公路的最低造价是多少？
变式2．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船与货船速度的比为4：3，出发1小时后，客船比货船多走了5海里．货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．
（1）求两船的速度分别是多少？
（2）求客船航行的方向．
变式3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域．我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，12分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行60海里，乙巡逻艇每小时航行25海里，乙巡逻艇的航向为南偏西40°．
（1）求甲巡逻艇的航行方向；
（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，6分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
考点6、用勾股定理的逆定理进行证明
【解题思路】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理,灵活运用它们的性质解题是关键.
例6．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．
（1）证明：AP＝CQ；
（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连接PQ，证明：△PQC是直角三角形．
变式1．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．
如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数．
小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE＝CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？
（2）请根据（1）的思想解决以下问题：
如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．

变式2．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，
使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．

考点7、勾股数
【解题思路】判断三个数是否为勾股数，关键是看这三个数是否为正整数且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方.
例7．下列各组数据是勾股数的一组是（ ）
A．3，4，5B．0.3，0.4，0.5
C．1，1，2D．13，14，15
变式1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．4，5，6C．6，8，9D．7，24，25
变式2．（2024春•荆州月考）下列各组数据中，为勾股数的是（ ）
A．5，1，2B．6，8，10C．3，4，5D．1，2，3
变式3．下列各组数中，能构成勾股数的是（ ）
A．1，1，2B．1，3，2C．6，8，10D．5，12，15

考点8、勾股数的规律猜想题
【解题思路】对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32+42=52，若把它扩大2倍、3倍，就分别得到62+82=102和92+122=152，…若把它扩大n倍（n为正整数），就得到（3n）2+（4n）2=（5n）2.
（2）若h＞1，且h为整数，则h2+1,h2﹣1,2h 是一组勾股数.
变式1．（2024•桓台县二模）观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ．
变式2．（2024秋•盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝ ．（提示：5=32+12，13=52+12，…）
变式3．（2024秋•海门区期末）满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
（1）请把下列三组勾股数补充完整：
① ，8，10 ②5， ，13 ③8，15， ．
（2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．请你帮小敏证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组．
（3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m+n的值．
考点9、勾股定理及逆定理的综合应用
【解题思路】勾股定理及逆定理的综合应用，首先根据勾股定理的逆定理证得三角形是直角三角形，然后再用勾股定理是解决问题．
例9．（2024•阳泉一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB＝25m，BC＝9m，CD＝12m，DA＝20m，∠C＝90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（ ）
A．40800元B．91600元C．60800元D．48000元
变式1．如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则△ABC的面积为 ．
变式2．（2024春·江西赣州·八年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=14AB，求证：∠FEC=90°．
变式3．（2024秋•七星关区期末）如图，在△ACD中，点B在边CD上，连接AB，已知AB＝10，AC＝8，BC＝6，AD+BD＝26．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）求AD和BD的长．

1．（2024春•湛江期中）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2B．1，3，2C．4，5，6D．2，3，5
2．（2024•鼓楼区校级三模）下列各组数中是勾股数的为（ ）
A．3，4，5B．1，1，2C．7，8，9D．13，84，85
3．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小小同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．据此规律，当a＝45时，b的值是（ ）
A．1011B．1012C．1013D．1014
4．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③AB：BC：AC＝3：4：5；④∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，已知△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，那么AC边上的中线BD的长为（ ）
A．52B．6C．132D．4
6．一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为60cm，则其面积为 ．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AB上一点，联结CD，BD＝5，DC＝12，BC＝13，则AB＝ ．
8．已知，如图，∠C＝90°，BC＝4，CD＝3，AD＝12，AB＝13，则四边形ABCD的面积是 ．
9．（2024秋•兴隆县期末）已知a，b，c满足|a−8|+b2−10b+25+（c−18）2＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．

10．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数．
如：3，4，5都是正整数，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股数．
（1）当n是大于1的整数时，2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，说明理由；
（2）当n是大于1的奇数时，若n，n2−12，x是勾股数，且x＞n，x＞n2−12，求x．（用含n的式子表示）

11．（2024秋•宿城区校级期中）寻求某些股数的规律．
（1）对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32+42＝52，若把它扩大若把它扩大2倍，3倍就分别是62+82＝102和92+122＝152，…若把它扩大11倍，就得到 ，若把它扩大若把它扩大n倍（n为正整数），就得到 ；
（2）对于任意一个大于1的奇数，存在下列勾股数：
若勾股数为3，4，5，因为32＝52﹣42；
若勾股数为5，12，13，则有52＝12+13；
①若勾股数为7，24，25，则有 ；
②若勾股数为17，a，b（a＜b），根据以上的规律，求a、b的值．
12．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠C＝90°，点E是AB上一点，AB＝DE＝5，若AD＝3，BE＝1，求CD的长．
13．（2024秋•裕华区期末）某社区开辟了一块四边形空地打造绿化带（阴影部分）．如图，现测得AB＝AD＝13m，BC＝8m，CD＝6m，且BD＝10m．
（1）试说明∠BCD＝90°；
（2）求绿化带的面积．
14．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．
（1）求四边形花圃ABCD的面积；
（2）求C到AD的距离．
15．（2024•北京模拟）已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点．若∠EDF＝90°，且BE2+FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°．

八年级上册数学《第1章 勾股定理》
1.2 一定是直角三角形吗
一、勾股定理的逆定理
●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.
★1、用勾股定理判定直角三角形的步骤：
①先确定最长边，算出最长边的平方；
②计算另两边的平方和；
③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形.
★2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：
●勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
二、勾股数
★1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
★2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
★3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
★4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤：
①确定是否为三个正整数 a，b，c;
②确定最大数c；
③计算较小两数的平方和是否等于c2;
④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数.
考点1、利用三边关系判定直角三角形
【解题思路】判断一个三角形时否是直角三角形有两种方法：
（1）定义法，利用定义即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断；
（2）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系（即a2+b2＝c2）来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方.
例1．（2024春•蓬江区校级月考）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，3B．7，24，25C．6，8，10D．9，12，15
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项作出判断即可．
【解答】解：A：∵12+22≠32，∴1，2，3不能作为直角三角形的三边长，符合题意；
B：∵72+242＝49+576＝625＝252，∴7，24，25能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
C：∵62+82＝36+64＝100＝102，∴6，8，10能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
D：∵92+122＝81+144＝225＝152，∴9，12，15能作为直角三角形的三边长，该选项不符合题意，
故选：A．
【点评】主要考查了利用勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
变式1．（2024秋•宝安区期末）在△ABC中，若AC＝b，AB＝c，BC＝a，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＝c2﹣b2B．∠B﹣∠C＝∠A
C．a＝1，b=3，c＝4D．∠B＝45°，∠C＝45°
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a2+b2＝12+（3）2＝4，c2＝42＝16，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故C符合题意；
D、∵∠B＝45°，∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
变式2．（2024春•万年县校级月考）以下选项不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：3：4B．AB＝25，BC＝7，AC＝24
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．AB：BC：AC＝5：12：13
【分析】根据条件利用三角形内角和定理、勾股定理逆定理分别进行判断即可．
【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝1：3：4，
∴∠C=180°×41+3+4=90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B．∵AB＝25，BC＝7，AC＝24，72+242＝252，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C=180°×53+4+5=75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
D．∵AB：BC：AC＝5：12：13，
设AB＝5x，BC＝12x，AC＝13x，
∴（5x）2+（12x）2＝（13x）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
变式3．（2024春•乐陵市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，DA＝24，且∠B＝90°，下列结论中：①∠D＝90°；②∠A+∠C＝180°；③∠C＝120°；④S四边形ABCD＝204．其中正确的结论是（ ）
A．②B．①②C．①④D．①③④
【分析】先根据勾股定理得到AC2＝AB2+BC2＝625，进而证明CD2+AD2＝AC2，推出△ACD是直角三角形，且∠D＝90°，由四边形内角和定理得到∠BAD+∠BCD＝360°﹣∠D﹣∠B＝180°，再由S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC得到S四边形ABCD＝234，据此可判断①②④；根据现有条件无法得到∠C＝120°，即可判断③．
【解答】解：如图所示，连接AC，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴AC2＝AB2+BC2＝202+152＝625，
∵CD＝7，DA＝24，
∴CD2+AD2＝72+242＝625，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠D＝90°，故①正确；
∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣∠D﹣∠B＝180°，故②正确；
S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12×15×20+12×7×24=150+84=234，故④错误；
根据现有条件无法得到∠C＝120°，故③错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
考点2、根据三边满足的关系式判断三角形的形状
【解题思路】解题过程中主要运用了非负数的性质和勾股定理的逆定理，已知三角形三边长，判断三角形是否为直角三角形，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.
例2．（2023春•同江市期中）△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则（ ）
A．边a的对角是直角B．边b的对角是直角
C．边c的对角是直角D．是等腰三角形
【分析】根据平方差公式将（a+b）（a﹣b）＝c2展开，然后整理，即可得到a、b、c的关系，再根据勾股定理的逆定理即可判断该三角形为直角三角形，确定直角，从而可以判断哪个选项中的说法符合题意．
【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝c2，
∴a2﹣b2＝c2，
∴a2＝b2+c2，
又∵△ABC的三边为a、b、c，
∴该三角形为直角三角形，∠A＝90°，
∴a边的对角是直角，
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、平方差公式，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
变式1．（2024春•岚皋县期末）已知三角形三边长为a，b，c，如果a−6+|b﹣10|+（c﹣8）2＝0，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形
B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形
D．不是直角三角形
【分析】根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性得出a﹣10＝0，b﹣8＝0，c﹣6＝0，再根据勾股定理的逆定理求出答案即可．
【解答】解：∵a−6+|b﹣10|+（c﹣8）2＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣10＝0，c﹣8＝0，
∴a＝6，b＝10，c＝8，
∵62+82＝102，即a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形（b为斜边），
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根，绝对值，偶次方的非负性和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
变式2．（2024秋•市中区校级月考）若三角形的三边满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，则此三角形的形状是 ．
【分析】根据绝对值，偶次方的非负性可得c2﹣a2﹣b2＝0，a﹣b＝0，从而可得c2＝a2+b2，a＝b，然后根据勾股定理的逆定理即可解答．
【解答】解：∵|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，
∴c2﹣a2﹣b2＝0，a﹣b＝0，
∴c2＝a2+b2，a＝b，
∴此三角形是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值，偶次方的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
变式3．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
小明的解题过程如下：
因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①
所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2），②
所以c2＝a2+b2，③
所以△ABC是直角三角形．④
请根据上述解题过程回答下列问题：
（1）小明的解题过程中，从第 （填序号）步开始出现错误；
（2）请你将正确的解答过程写下来．
【分析】（1）观察解答过程可知，第①步为已知条件，第②步为因式分解，第③步忽略了a2﹣b2＝0的可能；
（2）接下来根据以上的分析，写出正确的步骤，可推出a＝b或c2＝a2+b2，由此确定三角形的形状即可．
【解答】解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误；错误的原因是忽略了a2﹣b2＝0的可能．
（2）正确的解法为：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．
移项得c2（a2﹣b2）﹣（a2﹣b2）（a2+b2）＝0，
因式分解得（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，
则当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，c2＝a2+b2，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
【点评】本题考查了因式分解，勾股定理的逆定理，会把等式变形并会把等式的左边分解因式是解决问题的关键．
考点3、勾股定理及其逆定理解决面积问题
【解题思路】不规则图形的面积不能直接求得，往往通过割补转化法将不规则图形的面积割补为规则图形的面积的和与差，本题中通过连线构造出直角三角形，将不规则图形面积转化为两个直角三角形的面积差，利用勾股定理求出各线段的长，从而计算三角形的面积.
例1．（2024春•海淀区校级期中）在△ABC中，三边长分别为3，4，5，那么△ABC的面积为（ ）
A．12B．6C．152D．125
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，进而可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，三边长分别为3，4，5，
∵32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=12×3×4＝6．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
变式1．（2024春•明水县期末）有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，从中选出三根恰好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是（ ）
A．6cmB．10cmC．7.5cmD．13.5cm
【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只能选3cm、4cm、5cm围成一个三角形，刚好是直角三角形，两直角边是3厘米和4厘米；根据“三角形的面积＝底×高÷2”进行解答，继而选择即可．
【解答】解：三角形的边必须符合两边之和大于第三边，所以只能选3cm、4cm、5cm围成一个三角形是三角形，
∵32+42＝52，
∴3cm、4cm、5cm围成的三角形是直角三角形，
面积是：3×4÷2＝6（cm2）；
故选：A．
【点评】本题考查三角形的三边关系和三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形的三边关系和三角形的面积公式，是解答此题的关键．
变式2．（2024秋•上蔡县期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是（ ）
A．48m2B．114m2C．122m2D．158m2
【分析】连接AC，先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD＝90°，最后根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC=AB2+BC2=92+122=15（m），
∵CD＝8m，AD＝17m，
∴AC2+CD2＝152+82＝289，AD2＝172＝289，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
=12AB•BC+12AC•CD
=12×9×12+12×15×8
＝54+60
＝114（m2），
∴这块菜地的面积为114m2，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
变式3．（2024春•桦甸市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝3，AD=14．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）利用勾股定理解Rt△ABC即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，则四边形ABCD的面积等于Rt△ABC与Rt△ACD面积之和．
【解答】解：（1）∵AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，
∴AC=AB2+BC2=12+22=5；
（2）∵CD＝3，AD=14，AC=5，
∴CD2+AC2=32+(5)2=14=(14)2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×1×2+12×5×3=1+352，
∴四边形ABCD的面积为1+352．
【点评】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
考点4、巧添辅助线构造直角三角形
【解题思路】当问题中没有呈现直角三角形，但需要用勾股定理时，就要通过添加辅助线构造直角三角形.
例4．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AB⊥BC，则阴影部分的面积为（ ）
A．24B．36C．48D．12
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，进而可得出结论．
【解答】解：如图，连接AC．
∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC=32+42=5．
∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC=12×5×12−12×3×4＝30﹣6＝24．
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，先根据题意判断出△ACD是直角三角形是解答此题的关键．
变式1．（2024秋•沈阳月考）如图，△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AD为△ABC的角平分线，则CD＝ ．
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠C＝90°，然后根据角平分线的性质可得DC＝DE，最后根据△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵AC2+BC2＝92+122＝225，AB2＝152＝225，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积，
∴12AC•BC=12AC•CD+12AB•DE，
∴AC•BC＝AC•CD+AB•DE，
∴9×12＝9CD+15DE，
∴CD＝DE＝4.5，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
变式2．如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则△ABC的面积为 ．
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．先运用SAS证明△ADC≌△EDB，得出BE＝13．再由勾股定理的逆定理证明出∠BAE＝90°，即可求解．
【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．
在△ADC与△EDB中，
AD=DE∠ADC=∠EDBCD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝13．S△BDE＝S△ADC，
∴S△ABE＝S△ABC，
在△ABE中，AB＝5，AE＝12，BE＝13，
∴AB2+AE2＝BE2，
∴∠BAE＝90°．
∴S△ABC＝S△ABE=12×AB×AE＝30，
故答案为：30．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，综合性较强，难度中等．题中延长中线的一倍是常用的辅助线的作法．
变式3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．
（1）求证：AB⊥BC．
（2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠ABC＝90°即可；
（2）设CD＝k，则AB＝BC＝3k，由∠ABC＝90°，可得AC2＝18k2，在Rt△ACD中，根据AC2＝CD2+AD2，构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AC．
∵CD⊥AD，
∴AD2+CD2＝AC2，
∵AD2+CD2＝2AB2，AB＝BC，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC．
（2）设CD＝k，则AB＝BC＝3k，
∵∠ABC＝90°，
∴AC2＝18k2，
在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2，
∴18k2＝172+k2，
∴k=17，
∴CD=17，AB＝BC＝317，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+AD+CD＝17+717．
【点评】本题考查勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
考点5、勾股定理的逆定理的实际应用
【解题思路】解答此类问题的关键是应从实际问题入手，将其转化为数学问题，利用勾股定理及其逆定理来解答即可结合.
例5．（2024春•旅顺口区期中）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B．若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东60°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．北偏西60°B．南偏西60°C．南偏西30°D．南偏东30°
【分析】依照题意画出图形，根据路程＝速度×时间可求出PA、PB，根据PA、PB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出∠APB＝90°，结合∠NPA的度数即可求出∠SPB和∠NPB′的度数，此题得解．
【解答】解：依照题意画出图形，
甲的路程PA＝40×15＝600（m），乙的路程PB＝20×40＝800（m），AB＝1000m，
∵6002+8002＝10002，
∴PA2+PB2＝AB2，
∴△APB为直角三角形，且∠APB＝90°．
∵∠NPA＝60°，
∴∠SPB＝∠NPB′＝30°，
∴乙客轮的航行方向为南偏东30°或北偏西30°，
∴乙客轮的航行方向可能是南偏东30°，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根据PA、PB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理找出∠APB＝90°是解题的关键．
变式1．（2024春•开福区校级月考）如图所示，三个村庄A，B，C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价260万元/km，修这条公路的最低造价是多少？
【分析】首先得出BC2+AB2＝122+52＝169，AC2＝132＝169，然后利用其逆定理得到∠ABC＝90°确定最短距离，然后利用面积相等求得BD的长，最终求得最低造价．
【解答】解：∵BC2+AB2＝122+52＝169，
AC2＝132＝169，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
当BD⊥AC时BD最短，造价最低．
∵S△ABC=12AB•BC=12AC•BD，
∴BD=AB⋅BCAC，即BD=5×1213=6013（km）．
∴6013×260＝1200（万元）．
答：最低造价为1200万元．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，利用垂线段最短得出当BD⊥AC时BD最短，造价最低，再利用三角形面积求出是解题关键．
变式2．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船与货船速度的比为4：3，出发1小时后，客船比货船多走了5海里．货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．
（1）求两船的速度分别是多少？
（2）求客船航行的方向．
【分析】（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依据客船每小时比货船多走5海里，列方程求解即可；
（2）依据AB2+AC2＝BC2，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，再根据货船沿东偏南10°方向航行，即可得到客船航行的方向为北偏东10°方向．
【解答】解：（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依题意得
4x﹣3x＝5．
解得x＝5，
∴4x＝20，3x＝15，
∴两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；
（2）由题可得，AB＝15×2＝30，AC＝20×2＝40，BC＝50，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
又∵货船沿东偏南10°方向航行，
∴客船航行的方向为北偏东10°方向．
【点评】此题主要考查了方向角以及勾股定理的应用，正确得出AB的长是解题关键．
变式3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域．我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，12分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行60海里，乙巡逻艇每小时航行25海里，乙巡逻艇的航向为南偏西40°．
（1）求甲巡逻艇的航行方向；
（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，6分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
【分析】（1）过点C作CD∥BE，根据题意可得：∠CBE＝40°，AF∥BE，AB＝13海里，AC＝12海里，BC＝5海里，从而利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，进而可得∠ACB＝90°，然后利用平行线猪脚模型进行计算，可求出∠FAC＝50°，即可解答；
（2）先求出甲、乙巡逻艇航行6分钟的路程，再利用（1）的结论，然后根据勾股定理进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）过点C作CD∥BE，
由题意得：∠CBE＝40°，AF∥BE，AB＝13海里，AC＝60×1260=12（海里），BC＝25×1260=5（海里），
∴AC2+BC2＝169，AB2＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵CD∥BE，
∴∠DCB＝∠CBE＝40°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝50°，
∵AF∥BE，
∴∠FAC＝∠ACD＝50°，
∴甲巡逻艇的航行方向是南偏东50°；
（2）由题意得：
甲巡逻艇航行6分钟的路程＝60×660=6（海里），
乙巡逻艇航行6分钟的路程＝25×660=2.5（海里），
∴6分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距的距离=62+2．52=6.5（海里），
∴6分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距6.5海里．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
考点6、用勾股定理的逆定理进行证明
【解题思路】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理,灵活运用它们的性质解题是关键.
例6．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．
（1）证明：AP＝CQ；
（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连接PQ，证明：△PQC是直角三角形．
【分析】（1）根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP＝CQ；
（2）设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a，由已知可判定△PBQ为正三角形，从而可得到PQ＝4a，再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形．
【解答】解：（1）猜想：AP＝CQ，
证明：∵∠ABP+∠PBC＝60°，∠QBC+∠PBC＝60°，
∴∠ABP＝∠QBC．
又∵AB＝BC，BP＝BQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP＝CQ；
（2）证明：由PA：PB：PC＝3：4：5，
可设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a，
连接PQ，在△PBQ中，
由于PB＝BQ＝4a，且∠PBQ＝60°，
∴△PBQ为正三角形．
∴PQ＝4a．
于是在△PQC中
∵PQ2+QC2＝16a2+9a2＝25a2＝PC2
∴△PQC是直角三角形．
【点评】此题考查学生对等边三角形的性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用．
变式1．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．
如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数．
小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE＝CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？
（2）请根据（1）的思想解决以下问题：
如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．
【分析】（1）如图1，首先证明BE2＝PE2+PB2，得到∠BPE＝90°；证明∠CPE＝45°即可解决问题．
（2）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP＝60°；其次证明PQ2+CQ2＝PC2，得到∠PQC＝90°，求出∠AQC＝150°，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE＝90°
PC＝EC＝2；BE＝PA＝3；
由勾股定理得：PE2＝22+22＝8；
∵PB2＝1，BE2＝9，
∴BE2＝PE2+PB2，
∴∠BPE＝90°，
∵∠CPE＝45°，
∴∠BPC＝135°．
（2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ；
则AP＝AQ，∠PAQ＝60°，QC＝PB＝4；
∴△APQ为等边三角形，∠AQP＝60°，PQ＝PA＝3；
∵PQ2+CQ2＝32+42＝25，PC2＝52＝25，
∴PQ2+CQ2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，∠AQC＝60°+90°＝150°，
∴∠APB＝∠AQC＝150°．
【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
变式2．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，
使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；
（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，
BC=CF∠BCD=∠FCECD=CE，
∴△BCD≌△FCE（SAS），
∴∠DBC＝∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
（2）解：由题意补全图形如下：
CD＝CH．
证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，
∵AC⊥BF，BC＝CF，
∴AB＝AF，
由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，
∵AB2＝AE2+BD2，
∴AF2＝AE2+EF2，
∴∠AEF＝90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠DHE＝90°，
又∵CD＝CE，
∴CH＝CD＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，证明△BCD≌△FCE是解题的关键．
考点7、勾股数
【解题思路】判断三个数是否为勾股数，关键是看这三个数是否为正整数且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方.
例7．下列各组数据是勾股数的一组是（ ）
A．3，4，5B．0.3，0.4，0.5
C．1，1，2D．13，14，15
【分析】根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵32+42＝52，∴能构成勾股数，符合题意；
B、0.3，0.4，0.5不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
C、1，1，2中，2不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
D、∵132+142≠152，∴不能构成勾股数，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
变式1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．4，5，6C．6，8，9D．7，24，25
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数判定则可．
【解答】解：A、12+22≠32，不是勾股数，不符合题意；
B、42+52≠62，不是勾股数，不符合题意；
C、62+82≠92，不是勾股数，不符合题意；
D、72+242＝252，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．
变式2．（2024春•荆州月考）下列各组数据中，为勾股数的是（ ）
A．5，1，2B．6，8，10C．3，4，5D．1，2，3
【分析】根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、5不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意；
B、62+82＝100，102＝100，且100＝100，是勾股数，故此选项符合题意；
C、3，4，5都不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意；
D、12+22≠32，不是勾股数，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了勾股数，关键明白解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足a2+b2＝c2且a，b，c为正整数．
变式3．下列各组数中，能构成勾股数的是（ ）
A．1，1，2B．1，3，2C．6，8，10D．5，12，15
【分析】根据勾股数的定义进行逐一判定即可：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数．
【解答】解：A、∵2不是正整数，
∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
B、∵3不是正整数，
∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
C、∵62+82＝102，
∴这一组数能构成勾股数，符合题意；
D、∵52+122≠152，
∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的概念．
考点8、勾股数的规律猜想题
【解题思路】对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32+42=52，若把它扩大2倍、3倍，就分别得到62+82=102和92+122=152，…若把它扩大n倍（n为正整数），就得到（3n）2+（4n）2=（5n）2.
（2）若h＞1，且h为整数，则h2+1,h2﹣1,2h 是一组勾股数.
变式1．（2024•桓台县二模）观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ．
【分析】①3＝2×1+1；4＝2×1×（1+1）；5＝2×1×（1+1）+1；②5＝2×2+1；12＝2×2×（2+1）；13＝2×2×（2+1）+1；③7＝2×3+1；24＝2×3×（3+1）；25＝2×3×（3+1）+1；④9＝2×4+1；40＝2×4×（4+1）；41＝2×4×（4+1）+1；……，观察得出规律：第n组勾股数的第一个数为2n+1，第二个数为2×n×（n+1）＝2n（n+1），第三个数为2×n×（n+1）+1＝2n2+2n+1，即可解决问题．
【解答】解：①3＝2×1+1；4＝2×1×（1+1）；5＝2×1×（1+1）+1．
②5＝2×2+1；12＝2×2×（2+1）；13＝2×2×（2+1）+1．
③7＝2×3+1；24＝2×3×（3+1）；25＝2×3×（3+1）+1．
④9＝2×4+1；40＝2×4×（4+1）；41＝2×4×（4+1）+1．
……
则第n组勾股数的第一个数为：2n+1，第二个数为：2×n×（n+1）＝2n（n+1），第三个数为：2×n×（n+1）+1＝2n2+2n+1，
∴第8组勾股数为：17，144，145，
故答案为：17，144，145．
【点评】本题考查的是勾股数以及规律型问题，根据数据的关系得出规律是解题的关键．
变式2．（2024秋•盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝ ．（提示：5=32+12，13=52+12，…）
【分析】它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二．
【解答】解：由题意得：a2+1442＝1452，
a2＝1452﹣1442，
a＝17．
故答案为：17．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理逆定理．
变式3．（2024秋•海门区期末）满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
（1）请把下列三组勾股数补充完整：
① ，8，10 ②5， ，13 ③8，15， ．
（2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．请你帮小敏证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组．
（3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m+n的值．
【分析】（1）根据勾股数的定义即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求解；
（3）先化简得：7，24，25，可得24＝2×3×4，25＝42+32，7＝42﹣32，依此可求m＝4，n＝3，再代入计算即可求解．
【解答】解：（1）①6，8，10； ②5.12，13；③8，15，17．
故答案为：6，12，17；
（2）证明：∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+n4﹣2m2n2+4m2n2＝m4+n4+2m2n2，
（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2，
∴（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，
∴m2﹣n2，m2+n2，2mn是勾股数；
（3）化简得：7，24，25，
∵偶数24＝2×3×4，25＝42+32，7＝42﹣32，
∴m＝4，n＝3，
∴m+n＝7．
【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
考点9、勾股定理及逆定理的综合应用
【解题思路】勾股定理及逆定理的综合应用，首先根据勾股定理的逆定理证得三角形是直角三角形，然后再用勾股定理是解决问题．
例9．（2024•阳泉一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB＝25m，BC＝9m，CD＝12m，DA＝20m，∠C＝90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（ ）
A．40800元B．91600元C．60800元D．48000元
【分析】连接BD，根据勾股定理得到BD=BC2+CD2=92+122=15（m），根据勾股定理的逆定理得到∠ADB＝90°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接BD，
∵BC＝9m，CD＝12m，∠C＝90°，
∴BD=BC2+CD2=92+122=15（m），
∵AB＝25m，AD＝20m，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形ABCD的面积=12×12×9+12×20×15=204（平方米），
∴204×200＝40800（元），
答：铺满该区域需要的费用是40800元，
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，得出△DBC是直角三角形是解题关键．
变式1．如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则△ABC的面积为 ．
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．先运用SAS证明△ADC≌△EDB，得出BE＝13．再由勾股定理的逆定理证明出∠BAE＝90°，即可求解．
【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．
在△ADC与△EDB中，
AD=DE∠ADC=∠EDBCD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝13．S△BDE＝S△ADC，
∴S△ABE＝S△ABC，
在△ABE中，AB＝5，AE＝12，BE＝13，
∴AB2+AE2＝BE2，
∴∠BAE＝90°．
∴S△ABC＝S△ABE=12×AB×AE＝30，
故答案为：30．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，综合性较强，难度中等．题中延长中线的一倍是常用的辅助线的作法．
变式2．（2024春·江西赣州·八年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=14AB，求证：∠FEC=90°．
【分析】由正方形的性质和已知求得AF=1，FD=3，由中点的性质得AE=EB=2，利用勾股定理求得EF，EC，FC，再根据勾股定理的逆定理，即可得出结论．
【解答】证明：∵正方形ABCD的边长为4，且AF=14AB，
∴AF=1，FD=3，DC=BC=4，
∵E为AB的中点，
∴AE=EB=2，
在Rt△AEF中，EF=AF2+AE2=12+22=5，
在Rt△DFC中，FC=DF2+DC2=32+42=5，
在Rt△EBC中，EC=EB2+BC2=22+42=25．
∴EC2+EF2=FC2，
∴△EFC是以EC、EF为直角边的直角三角形，
∴∠FEC=90°．
【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理及正方形的性质，利用勾股定理求出三角形三边长，再利用勾股定理逆定理解答是证明此题的关键．
变式3．（2024秋•七星关区期末）如图，在△ACD中，点B在边CD上，连接AB，已知AB＝10，AC＝8，BC＝6，AD+BD＝26．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）求AD和BD的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可证得结论．
（2）设AD＝x，在Rt△ACD中，由勾股定理求出x，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AC2+BC2＝82+62＝102＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°；
（2）解：设AD＝x，则BD＝26﹣x，
∴CD＝BC+BD＝6+26﹣x＝32﹣x．
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2+CD2＝AD2，
即82+（32﹣x）2＝x2，
解得x＝17，
则26﹣x＝26﹣17＝9，
故AD的长为17，BD的长为9．
【点评】本题主要考查了勾股定理和逆定理，根据勾股定理的逆定理证得△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
1．（2024春•湛江期中）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2B．1，3，2C．4，5，6D．2，3，5
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得．
【解答】解：A、1+1＝2，不能构成三角形，则此项不符合题意；
B、12+(3)2=22，能构成直角三角形，则此项符合题意；
C、42+52＝41≠62，不能构成直角三角形，则此项不符合题意；
D、22+(3)2≠(5)2，不能构成直角三角形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
2．（2024•鼓楼区校级三模）下列各组数中是勾股数的为（ ）
A．3，4，5B．1，1，2C．7，8，9D．13，84，85
【分析】根据勾股数的意义逐个判断即可．
【解答】解：A．3和5不是正整数，不是勾股数，故本选项不符合题意；
B．2不是正整数，不是勾股数，故本选项不符合题意；
C．∵72+82＝49+64＝113，92＝81，
∴72+82≠92，不是勾股数，故本选项不符合题意；
D．∵132+842＝169+7056＝7225，852＝7225，
∴132+842＝852，并且13、84、85都是正整数，所以13、84、85是勾股数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股数的定义，能熟记勾股数的定义（已知a、b、c为正整数，如果一个三角形的三边为a、b、c，且满足两数的平方和等于第三个数的平方，那么这三个数是勾股数）是解此题的关键．
3．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小小同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．据此规律，当a＝45时，b的值是（ ）
A．1011B．1012C．1013D．1014
【分析】满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数；由表格中的规律，得到c＝b+1，由a2+b2＝c2，即可求出b的值．
【解答】解：由表格中的数据得：a2+b2＝c2，c＝b+1，
∴a2+b2＝（b+1）2，
当a＝45时，452+b2＝（b+1）2，
∴b＝1012．
故选：B．
【点评】本题考查勾股数，关键是掌握表格中数的变化规律．
4．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③AB：BC：AC＝3：4：5；④∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180，
解得：x＝30°，
∴∠C＝30°×3＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵AB：BC：AC＝3：4：5，
设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
④∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝3∠A＝180，
解得：∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC不是直角三角形；
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③共3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
5．如图，已知△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，那么AC边上的中线BD的长为（ ）
A．52B．6C．132D．4
【分析】由勾股定理的逆定理，判断三角形为直角三角形，再根据直角三角形的性质直接求解．
【解答】解：∵AB＝5，BC＝12，AC＝13，
∴AB2+BC2＝52+122＝132＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴BD=12AC=132．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形斜边上的中线，解决此题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，明确了直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半之后此题就不难了．
6．一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为60cm，则其面积为 ．
【分析】先设三角形的三边长分别为3x，4x，5x，再由其周长为60cm求出x的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵三角形的三边长的比为3：4：5，
∴设三角形的三边长分别为3x，4x，5x．
∵其周长为60cm，
∴3x+4x+5x＝60，解得x＝5，
∴三角形的三边长分别是15，20，25．
∵152+202＝252，
∴此三角形是直角三角形，
∴S=12×15×20＝150（cm2）．
故答案为：150cm2．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AB上一点，联结CD，BD＝5，DC＝12，BC＝13，则AB＝ ．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，从而可得∠BDC＝90°，然后利用平角定义可得∠ADC＝90°，再设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣5，最后在Rt△ADC中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：在△BDC中，BD＝5，DC＝12，BC＝13，
∴BD2+CD2＝25+144＝169，BC2＝169，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°，
设AB＝AC＝x，则AD＝AB﹣BD＝x﹣5，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，
∴（x﹣5）2+144＝x2，
解得：x＝16.9，
∴AB＝AC＝16.9，
故答案为：16.9．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
8．已知，如图，∠C＝90°，BC＝4，CD＝3，AD＝12，AB＝13，则四边形ABCD的面积是 ．
【分析】连接BD，先在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ADB是直角三角形，然后根据四边形ABCD的面积＝△BCD的面积+△ABD的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：连接BD，
∵∠C＝90°，BC＝4，CD＝3，
∴BD=BC2+CD2=42+32=5，
∵AD＝12，AB＝13，
∴AD2+BD2＝122+52＝169，AB2＝132＝169，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ADB是直角三角形，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△BCD的面积+△ABD的面积
=12BC•CD+12BD•AD
=12×4×3+12×5×12
＝6+30
＝36，
故答案为：36．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
9．（2024秋•兴隆县期末）已知a，b，c满足|a−8|+b2−10b+25+（c−18）2＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【分析】（1）利用已知条件以及绝对值的性质确定a，b，c的值即可；
（2）根据三角形的三边关系判断能构成直角三角形．
【解答】解：（1）∵|a−8|+b2−10b+25+（c−18）2＝0，
∴a−8=0，（b﹣5）2＝0，c−18=0，
∴a＝22，b＝5，c＝32；
（2）∵（22）2+（32）≠52，
∴不能构成直角三角形．
【点评】此题主要考查了绝对值；二次根式；非负数的性质，关键是掌握绝对值、算术平方根和偶次幂具有非负性．
10．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数．
如：3，4，5都是正整数，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股数．
（1）当n是大于1的整数时，2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，说明理由；
（2）当n是大于1的奇数时，若n，n2−12，x是勾股数，且x＞n，x＞n2−12，求x．（用含n的式子表示）
【分析】（1）根据勾股数的定义即可得出结论；
（2）根据勾股数解答即可．
【解答】解：（1）2n，n2﹣1，n2+1是勾股数，
理由：∵（2n）2+（n2﹣1）2
＝4n2+n4﹣2n2+1
＝n4+2n2+1
＝（n2+1）2，
∴2n，n2﹣1，n2+1是勾股数；
（2）∵n，n2−12，x是勾股数，且x＞n，x＞n2−12，
∴x2＝n2+（n2−12）2
＝n2+n4−2n2+14
=n4+2n2+14
=(n2+1)24，
∴x=n2+12．
【点评】本题主要考查了勾股数以及乘法公式的运用，掌握勾股数的定义以及完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
11．（2024秋•宿城区校级期中）寻求某些股数的规律．
（1）对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32+42＝52，若把它扩大若把它扩大2倍，3倍就分别是62+82＝102和92+122＝152，…若把它扩大11倍，就得到 ，若把它扩大若把它扩大n倍（n为正整数），就得到 ；
（2）对于任意一个大于1的奇数，存在下列勾股数：
若勾股数为3，4，5，因为32＝52﹣42；
若勾股数为5，12，13，则有52＝12+13；
①若勾股数为7，24，25，则有 ；
②若勾股数为17，a，b（a＜b），根据以上的规律，求a、b的值．
【分析】（1）先分别求出3，4，（5分）别扩大11倍和扩大n倍后的数，再根据勾股数的定义可得答案；
（2）①仿照题意可得答案；②根据题意找到规律（2n+1）2＝m+m+1，（2n﹣1）2＝（m+1）2﹣m2（m、n都为正整数），则172＝a+b，b＝a+1，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵3，4，（5分）别扩大11倍得到33，44，55，
∴332+442＝552，
3，4，5别扩大11倍得到3n，4n，5n，
∴（3n）2+（4n）2＝（5n）2，
故答案为：332+442＝552，（3n）2+（4n）2＝（5n）2；
（2）解：①由题意得，72＝49＝25+24，
故答案为：72＝25+24；
②32＝52﹣42，32＝5+4，
52＝132﹣122，52＝12+13，
72＝252﹣242，72＝49＝25+24，
……，
以此类推，（2n+1）2＝m+m+1，（2n﹣1）2＝（m+1）2﹣m2（m、n都为正整数），
∴172＝a+b，b＝a+1，
∴172＝289＝2a+1，
∴a＝144，
∴b＝a+1＝145．
【点评】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，正确理解题意找到规律是解题的关键．
12．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠C＝90°，点E是AB上一点，AB＝DE＝5，若AD＝3，BE＝1，求CD的长．
【分析】先根据勾股定理逆定理证明△ADE是直角三角形，得出AD⊥AB，根据DC⊥BC，BD平分∠ABC，即可得出结果．
【解答】解：∵AB＝DE＝5，BE＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝4，
∵AE2+AD2＝42+32＝25，
DE2＝52＝25，
∴AE2+AD2＝DE2，
∴△ADE是直角三角形，
∴∠A＝90°
∴AD⊥AB，
∵∠C＝90°
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，
∴CD＝AD＝3．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理判断△ADE是直角三角形．
13．（2024秋•裕华区期末）某社区开辟了一块四边形空地打造绿化带（阴影部分）．如图，现测得AB＝AD＝13m，BC＝8m，CD＝6m，且BD＝10m．
（1）试说明∠BCD＝90°；
（2）求绿化带的面积．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理证得△BCD是直角三角形，即可求得∠BCD＝90°；
（2）过A作AE⊥BD于E，由等腰三角形的性质求得BE，再由勾股定理求得AE，由三角形的面积公式可求得S△ABD和S△BCD，即可求得结论．
【解答】解：（1）△BCD中，BC＝8m，CD＝6m，BD＝10m，
∴BC2+CD2＝82+62＝100（m2），BD2＝102＝100（m2），
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°；
（2）过点A作AE⊥BD于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AD，
∴BE＝DE=12BD＝5（m），
在Rt△ABE中，AB＝13m，
∴AE=AB2−BE2=132−52=12（m），
∴S△ABD=12BD•AE=12×10×12＝60（m2），
∵S△BCD=12BC•CD=12×8×6＝24（m2），
∴S阴影部分＝S△ABD﹣S△BCD＝60﹣24＝36（m2），
即绿化带的面积为36m2．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
14．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．
（1）求四边形花圃ABCD的面积；
（2）求C到AD的距离．
【分析】（1）连接AC．根据勾股定理求得AC的长，从而根据勾股定理的逆定理发现直角三角形ACD，就可求得该四边形的面积．
（2）根据等面积法即可求出C到AD的距离．
【解答】解：连接AC．
∵∠B＝90°，
∴AC=AB2+BC2=5cm．
∵52+122＝132，
∴△ADC是直角三角形．
∴S四边形ABCD=12×3×4+12×12×5=36m2．
（2）过点C作CH⊥AD于点H，如上图：
根据等面积法得12AD•CH=12AC•CD，即12×13×CH=12×5×12，
解得CH=6013，即C到AD的距离是6013cm．
【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理的内容是解题的关键．
15．（2024•北京模拟）已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点．若∠EDF＝90°，且BE2+FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°．
【分析】延长FD到G使GD＝DF，连接BG，EG，证△BDG≌△CDF，推出BG＝FC，∠C＝∠GBD，求出∠EBG＝90°，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】证明：延长FD到G使GD＝DF，连接BG，EG，
∵D为BC中点，
∴BD＝DC，
∵在△BDG和△CDF中，BD=DC∠FDC=∠BDGDG=DF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝FC，∠C＝∠GBD，
∴BG∥AC，
∵ED⊥DF，
∴EG＝EF，
∵BE2+FC2＝EF2，
∴BG2+BE2＝EG2，
∴∠ABG＝90°，
∵BG∥AC，
∴∠A+∠ABG＝180°，
∴∠BAC＝90°．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
勾股定理
勾股定理的逆定理
条 件
在Rt△ABC中，∠C=90°
在△ABC中，a2 + b2 = c2
结 论
a2 + b2 = c2
∠C=90°
区 别
勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”.
勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”.
联 系
两者都与三角形的三边有关系.
a
3
5
7
9
11
…
b
4
12
24
40
60
…
c
5
13
25
41
61
…
勾股定理
勾股定理的逆定理
条 件
在Rt△ABC中，∠C=90°
在△ABC中，a2 + b2 = c2
结 论
a2 + b2 = c2
∠C=90°
区 别
勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”.
勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”.
联 系
两者都与三角形的三边有关系.
a
3
5
7
9
11
…
b
4
12
24
40
60
…
c
5
13
25
41
61
…