初中北师大版（2024）第一章 勾股定理1 探索勾股定理课时作业

这是一份初中北师大版（2024）第一章 勾股定理1 探索勾股定理课时作业，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解 《 周髀算经 》 时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则 (sinθ−csθ)2=（ ）
A . 15 B . 55 C . 355 D .95
2.下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A . 12，8，5 B . 3，4，5 C . 9，13，15 D . 16 ， 18 ，110
3.如图，黑色部分长方形的面积为（ ）
A . 24 B . 30 C . 40 D . 48
4.下列哪个条件能判定 △ABC为直角三角形（ ）
A .a:b:c=6:24:25
B .∠A=∠B−2∠C
C . a=32 ， b=42 ，c=52
D .∠A:∠B:∠C=1:1:2
5.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9，BB′=5，B′C′=6，在线段AB的三等分点E（靠近点A）处有一只蚂蚁，B′C′中点F处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ ）
A . 10 B . 106 C . 5+3 5 D . 6+34
6.下列条件不能判断三角形是直角三角形的是（ ）
A . 三个内角的比为3：4：5
B . 三个内角的比为1：2：3
C . 三边的比为3：4：5
D . 三边的比为7：24：25
二、填空题
1.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT的面积分别为 S1、S2、S3 ． 若 S1+S2+S3=18 ， 则 S2的值是 ________ .
2.如图，点 P是矩形 ABCD内任意一点，连结 PA，PB，PC，PD ， 记 ∠PAB=θ1，∠PBC=θ2，∠PCD=θ3，∠PDA=θ4 ， 则下列各结论一定成立的有 ________ （填序号）
① S△PAD+S△PBC=S△PAB+S△PCD；②若 ∠APB=80°，∠DPC=50° ， 则 θ1−θ2+θ3−θ4=50°；
③ PA2+PC2=PB2+PD2；④ S△ABP=S△ADP ， 则P在对角线 AC上
3.如图所示的圆柱体中底面圆的半径是 2π ，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是 ________ ．（结果保留根号）．
4.如图，正方体的棱长为5，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ________
5.如图，两条互相垂直的直线 m、 n交于点 O ， 一块等腰直角三角尺的直角顶点 A在直线 m上，锐角顶点 B在直线 n上， D是斜边 BC的中点，过点 D作 DE⊥OD交直线 n于点 E ． 已知 OD=7 ， BC=4 ， 则 S△AOB= ________ ．
三、作图题
1.如图，所给方格图中每个小正方形的边长均为1.
（1） 在图①中画出 ΔABC关于直线MN对称的 △A1B1C1；
（2） 如图②，AC是直线MN同侧固定的两个点：
(i)请直接写出线段AC的长度；
(ii)请在直线MN上画一点B，使 AB+BC的值最小
2.问题背景：
在 △ABC中， AB、 BC、 AC三边的长分别为 5、 10、 13 ， 求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点 △ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处， AB=22+12=5 ， BC=10 ， AC=13），如图①所示．这样不需求 △ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求 △ABC面积的方法叫做构图法．
（1） 请你将 △ABC的面积直接填写在横线上：______．
（2） 思维拓展：若 △ABC三边的长分别为 5a、 22a、 17aa>0 ， 请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 △ABC ， 并求出它的面积．
（3） 探索创新：若 △ABC三边的长分别为 m2+16n2、 9m2+4n2、 2m2+n2（ m>0 ， n>0 ， 且 m≠n），求这个三角形的面积．
（4） 直接写出当x为何值时，函数 y=x2+9+12−x2+4有最小值，最小值是多少？
3.请在方格内画出 △ABC ， 使它的顶点都在格点上，且三边长1， 2 ， 5 ，
（1） 求 △ABC的面积；
（2） 求出最长边上的高．
4.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
四、综合题
1.已知一次函数 y=12x+4与 x轴交于点 A ， 与 y轴交于点 B ， 点 C与点 A关于 y轴对称．
（1） 求直线 BC的函数解析式；
（2） 设点 M(m,0)是一个动点，且 m≠0 ， 过点 M作 y轴的平行线交直线 AB于点 P ， 交直线 BC于点 Q ．
①若 S△PQB=2S△AMP ， 求 m的值；
②连接 BM ， 若 ∠BMP=∠BAC ， 求点 P的坐标．
2.定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1） 已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.
（2） 已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长.
3.勾股定理是一条古老的数学定理。它有很多种证明方法。我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾
股定理)”带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
（1） 请你根据图（1）中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．
（2） 以图(1)中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图（2））。请你利用图（2）证明勾股定理．
五、解答题
1.已知：如图，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12．求图形的面积．
2.如图，数学兴趣小组要测量旗杆 AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端 A的绳子垂到地面多出一段的长度为2米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点 C处，到旗杆底部 B的距离为6米．
（1） 求旗杆 AB的高度；
（2） 小明在 C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点 E处，问小明需要后退几米（即 CD的长）？
3.如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向 260km的 B处有一台风中心，沿 BC方向以 15km/h的速度移动，已知城市 A到 BC的距离 AD=100km ．
（1）台风中心经过多长时间从 B移动到 D点？
（2）已知在距台风中心 30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点 D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？
六、阅读理解
1.阅读：
材料一：含 30°角的直角三角形， 30°角所对的直角边等于斜边的一半；
材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
完成以下问题：在 △ABC中， ∠BAC=120° ， 点 D是边 BC上的一点．
（1） 已知 AB=AC ．
①如图1，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120°得到线段 AE ， 连接 CE、DE ． 若 ∠DEC=90° ， 求 BDCD的值；
②如图2，以 AD为边在其右侧作 ∠DAF=60° ， 交边 BC于点 F ， 若 CF=4 ， BC=10 ， 求 DF之长；
（2） 如图3，点 D是边 BC的中点，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120°得到线段 AE ， 连接 CE ， 点 M是边 AB上一点，连接 CM ， 满足 ∠ACE=∠AMC ， 已知 CE=6 ， AM=4 ， 求 BM之长．
2.[阅读理解]
如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长.
解：设BD＝x，则CD＝7﹣x.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2 ，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2 ，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2.
又∵AB＝4，AC＝6，
∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2.
解得x＝ 2914 ，
∴BD＝ 2914 .
∴AD＝ AB2−BD2 ＝ 325514 .
[知识迁移]
（1） 在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D.
i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；
ii）若AD＝12，求线段BC的长.
（2） 如图2，在△ABC中，AB＝ 2545 ，AC＝ 5292 ，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ ABD' ，连接CD′，若AD＝ 252 ，求线段 CD' 的长.
3.一、阅读理解：
在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；
（1）若∠C为直角，则a2+b2=c2；
（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2；
（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．
二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．