初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）19.1 二次根式及其性质公开课教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）19.1 二次根式及其性质公开课教学设计，共6页。教案主要包含了方法总结，针对练习，例2（教材P4例题）等内容，欢迎下载使用。
第2课时 二次根式的性质
教学设计
课题
19.1第2课时 二次根式的性质
授课人
教学目标
1.理解二次根式的非负性，正确区分(a≥0)和(a≥0)，能运用二次根式的性质计算和化简.
2.通过对二次根式的性质的探究，提高学生的思维能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力.
教学重点
掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算.
教学难点
二次根式基本性质的应用.
授课类型
新授课
课时
1
教学步骤
师生活动
设计意图
复习导入
上一课时我们学习了二次根式及其相关知识，你还记得二次根式的概念吗？被开方数需要满足什么条件？
一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫作二次根式，“”称为二次根号．
被开方数大于或等于零.
通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知
1.a≥0（a≥0）
思考：二次根式 a 中被开方数 a 的取值范围是 a≥0，那么 a 的取值范围是什么？
当 a＞0 的时候，a 表示 a 的算术平方根，则 a ＞0；
当 a＝0 的时候，a 表示 0 的算术平方根，则 a ＝0.
当 a≥0 时，a 是非负数，即 a ≥0.
（链接例1、针对练习）
2.（a）²=a（a≥0）
利用下图，你能推测 a 和 a 有什么关系吗？
能得到a ⋅ a ＝ a
根据算术平方根的意义填空，并说出得到的结论及依据．
（1）(3)2＝ 3 ； （2）(0.5)2＝ 0.5 ；
（3）(13)2＝ 13 ； （4）(0)2＝ 0 ．
一般地，二次根式有下面的性质：
（a）2＝a（a≥0）.
因为 a（a≥0）表示 a 的算术平方根，
所以将 a 的算术平方根平方，得（a）2＝a.
（链接例2）
3.a2=a（a≥0）
填空：
22=______； 0.12=______；(23)2=______；02=______．
根据算术平方根的意义，可以得到
22=2； 0.12=0.1；(23)2=23；02=0．
一般地，a2＝a(a≥0).
思考 当a为任意实数时，a2都有意义.如果上式中的a为负实数，那么上式还成立吗？为什么？
填空：22= 2 ， |2|＝ 2 ；
(−5)2= 5 ， |－5|＝ 5 ；
02= 0 ， 0＝ 0 ．
请比较左右两边的式子，议一议：a2与a有什么关系？
当 a≥0 时，a2＝ a ；当 a＜0 时 ，a2＝ －a ．
可以得到 a2＝a.
一般地，二次根式有下面的性质：
a2＝a＝a(a≥0；−aa＜0．
根据算术平方根的意义，无论 a 是正数、0 或负数， a2 的算术平方根可以记为 a2．
当 a≥0 时，a2 ＝a；当 a＜0 时，a2＝－a．
而当 a≥0 时， |a|＝a；当 a＜0 时，|a|＝－a．
所以 a2 ＝|a|．
（链接例3、例4）
a2(a≥0)与 a2 的异同
通过由特殊到一般，帮助学生总结出二次根式的性质，培养学生观察，归纳总结的能力.
典例精析
【例1】若|a−2|+b−3+(c−4)2=0，求a-b+c的值.
【解】由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
【方法总结】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
【针对练习】 已知y =x−3+3−x+8,求3x+2y的算术平方根.
【解】由题意得x−3≥0,3−x≥0,
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
【例2（教材P4例题）】 计算：
（1）(1.5)2＝ 1.5 ;
（2）(25)2＝ 22×(5)2＝4×5＝20 .
【方法总结】（1）利用二次根式的性质：（a）2＝a（a≥0）.
（2）同时利用二次根式的性质和(ab)2＝a2b2.
【例3】 化简：
（1）16； （2） (−5)2；
（3）10−2； （4）（3.14−π）2.
【解】（1）16=42=4；
（2）(−5)2=52=5；
（3）10−2=(10−1)2=|10−1|=10−1.
（4）（3.14−π）2=|3.14−π|=π−3.14.
【方法总结】☀注意 a2 ＝|a|，而3.14＜π，要注意a的正负性.
【例4】 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
a2−b2+(a−b)2.
【解】由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-（a-b）
=-2a.
【方法总结】☀注意 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
在实际的化简计算中再次区别(a)2和a2，让学生深刻理解二次根式的性质，并熟练的运用二次根式解决问题.针对典例所讲，让学生再次深刻理解二次根式的性质，熟练的运用二次根式进行化简计算.
随堂检测
1．下列计算正确的是( A )
A．－(6)2＝－6 B．(3)2＝9
C．(16)2＝±16 D．−(−1625)2=1625
2．把 414 写成一个正数的平方的形式是( B )
A.(212)2 B.(174)2
C.(±212)2 D.(±174)2
3.化简：
（1）（−9）²＝ 9 ; （2）(−4)2＝ 4 ;
（3）−(−27)2= -27 ; （4）(42)2= 32 .
4. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a-2|+(a−1)2
的结果是 1 .
5．计算：
（1）−72−72
（2）−112+−132
【解】（1）−72−72＝−7−7＝7−7＝0
（2）−112+−132
＝ 112+−13＝11+13＝24
6.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b=3−a+2a−6+4，求此三角形的周长．
【解】由题意得3−a≥0,2a−6≥0,
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结
1. 本节课的学习，你有哪些收获？
二次根式的性质(a)2=a(a≥0) (双重非负性)
a2=a=a (a>0) 0 (a=0)−a (a