北师大版（2024）数学八年级下册 1.2 等腰三角形 第1课时（课件+教案）

北师版-数学-八年级下册第一章 三角形的证明及其应用2　等腰三角形第1课时　等腰三角形与等边三角形的性质已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.完成下列各题：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝______．根据是____________；(2)若AD是△ABC的角平分线，BC＝8，则CD＝____．根据是___________；(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝_______；(4)若BD＝CD，则AD____BC，∠BAD＝___________.∠C等边对等角4三线合一20°⊥∠CAD【探究1】等腰三角形的性质 我们曾经探索过等腰三角形的一些性质，请你选择其中一条性质进行证明.定理 等腰三角形的两个底角相等.这一定理可以简述为：等边对等角.已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.分析：有哪些结论可以证明两个角相等?还记得利用折纸的方法探索等腰三角形的性质吗?这对你有什么启发?轴对称的性质、全等三角形的对应角相等.构造全等三角形来推导角相等.证明：如图，取BC的中点D，连接AD.∵ AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴ △ABD≌△ACD(SSS).∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).还有其他证法吗?有.如图所示，作等腰三角形ABC顶角的平分线AD.∵ AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴ △ABD≌△ACD(SAS)，∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征?为什么?思考·交流如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC， AD是中线.根据△ABD≌△ACD，可知∠BAD=∠CAD，所以 AD是等腰三角形ABC 顶角的角平分线.根据△ABD≌△ACD，还可知∠ADB=∠ADC，因为∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=∠ADC=90°.所以AD⊥BC，即AD是等腰三角形ABC底边上的高.等腰三角形的性质定理 ：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).注意：“三线合一”即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”.符号语言：在△ABC中，∵ AB=AC， ∠1=∠2 (已知)，∴ BD=CD，AD⊥BC (“三线合一”).12或∵ AB=AC， BD=CD (已知)，∴ ∠1=∠2，AD⊥BC (“三线合一”).或∵ AB=AC， AD⊥BC (已知)，∴ BD=CD，∠1=∠2 (“三线合一”).有关等腰三角形性质的一些结论(1) 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等. (2) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.(3) 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角的度数等于顶角度数的一半. 证明：在Rt△BHC中，∠B=90°-∠HCB，  【探究2】等边三角形的性质等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么性质呢？尝试·交流已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC.求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角).又∵AC＝BC，∴∠A＝∠B(等边对等角)，∴∠A＝∠B＝∠C.在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都重合.BCA每条边上的中线、高和这边所对的角的平分线都重合(3条)三个角都相等，且都是60°轴对称图形(3条对称轴)轴对称图形(1条对称轴)两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条)两腰相等三条边都相等等边三角形与等腰三角形的性质归纳回顾·反思回顾七年级下册及本节研究等腰三角形性质的过程，你积累了哪些研究图形性质的经验？一般会先研究一般图形的性质，然后再研究特殊图形的性质，并围绕其边、角进行研究，若是三角形，还要研究其高、中线、角平分线的性质.【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．【方法指导】利用等腰三角形的性质定理，等边对等角求△ABC各角度数．解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.【例2】如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.【方法指导】利用等边三角形的性质定理证明△ABE和△CBD全等得到AE＝CD.证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴∠ABC＝∠CBD＝60°，AB＝BC，BE＝BD. ∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD.【例3】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________.15°【方法指导】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACD＝120°.又∵CG＝GD，∴∠CDG＝30°，∴∠FDE＝150°.又∵DF＝DE，∴∠E＝15°.【例4】如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE∥BC.证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ABC＝∠BCA＝∠DCE＝60°.∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.∴△DBC≌△EAC(SAS).又∵∠DBC＝∠BCA＝60°，∴∠BCA＝∠EAC.∴AE∥BC.∴∠DBC＝∠EAC.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，简述为“三线合一”等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°等腰三角形等边三角形性质定理等腰三角形的两个底角相等，简述为“等边对等角”性质定理 D2．若(a－5)2＋|b－10|＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为_______．3．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是_____________________．2570°和40°或55°和55°4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE.(1)求∠ECD的度数；解：(1)∵DE是AC的垂直平分线，∴CE＝AE.又∵∠A＝36°，∴∠ECD＝∠A＝36°.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE.(2)若CE＝5，求BC的长．(2)∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°.∵∠ECD＝36°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°.∴∠BEC＝180°－∠B－∠BCE＝72°＝∠B.∴BC＝CE＝5.5. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，BC=8，求CD的长.解：∵ AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴ AD是△ABC底边BC上的中线， 6. 如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.解：∵ △ADE是等边三角形，∴ AD=DE=EA，∠ADE=∠DAE=60°.又D，E是BC的三等分点，∴ BD=DE=EC，∴ AD=BD，∴ ∠B=∠BAD.∵ ∠ADE=∠B+∠BAD=60°，∴ ∠BAD=∠B=30°.同理可得∠EAC=∠C=30°，∴ ∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠EAC=30°+60°+30°=120°.这节课的收获是什么？