1.2.3 等边三角形的判定与含30 °角的直角三角形的性质--北师大版（新教材）八年级数学下册同步培优备课课件

北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件1.2.3 等边三角形的判定与含30 °角的直角三角形的性质第一章 三角形的证明及其应用授课教师： . 班 级： . 时 间： . 学习目标1. 探索等边三角形的判定条件并证明，运用所学知识进行相关的证明和计算。2.探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程。进行新课一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴进行交流。（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B=∠C，∴∠A=∠B=∠C=60°。∵∠B =∠A = 60° ，∴AC = BC（等角对等边）。∵∠B =∠C = 60°，∴AC = AB ，∴AC = AB = BC ，∴△ABC 是等边三角形。（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。证明： ①若 AB =AC，∠A =60°，则∠B = ∠C = (180°– ∠A)÷2=60°，∴∠A =∠B =∠C = 60°，∴AB=AC=BC，∴△ABC 是等边三角形。60°（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。60°证明： ②若AB＝AC，∠B= 60°，∴∠C=∠B=60°。则∠A = 180°– ∠B –∠C = 60°，∴∠A =∠B =∠C = 60°，∴AB=AC=BC，∴△ABC 是等边三角形。1．根据下列条件，不能判定△ABC是等边三角形的是(　　)A．∠A＝∠B＝∠CB．AB＝AC，且∠B＝∠CC．∠A＝∠B＝60°D．AB＝AC，且∠B＝60°B 返回2．在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的长为(　　)A．3 B．4 C．5 D．6C 返回几何语言：在△ABC中， ∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。几何语言：在△ABC中， ∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)∴△ABC是等边三角形等边三角形的判定证明等边三角形的思路：三角形等边三角形等腰三角形练一练如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE // DA。若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是_________________________。∠BCE=60°(或∠BEC=∠BCE等，答案不唯一)3．将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为________。2 cm 返回4．[延安期中]如图，一艘轮船从A地出发，向南偏西40°的方向行驶100 n mile到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100 n mile到达C地，则A，C两地相距__________。 100 n mile 返回（1）用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？（2）在上述拼接过程中，你发现了什么结论？发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半。发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半。已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。求证：BC = AB。证明：如图，延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD。∵∠ACB = 90°，∴∠ACD = 90°。∵AC = AC，∴△ABC ≌ △ADC（SAS）。∴AB = AD(全等三角形的对应边相等)。已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。求证：BC = AB。在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理)。∵∠BAC = 30°，∠ACB=90°，∴∠B= 180°－30°－90°=60°。已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。求证：BC = AB。∴△ABD 是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)。∴BC = BD = AB。几何语言：含30°角的直角三角形的性质：5．(4分)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，CE∥DA，∠ECB＝60°，求证：△BCE是等边三角形。 证明：∵CE∥DA，∴∠A＝∠BEC。又∵∠A＝∠B，∴∠B＝∠BEC。∵∠ECB＝60°，∴∠B＝∠BEC＝60°，∴△BCE是等边三角形。 返回6．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝4，则AC的长为(　　)A．1 B．1.5 C．2 D．2.5C 返回例3 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半。证明：在△ABC 中，∵AB = AC，∠B = 15°，∴∠ACB =∠B = 15°(等边对等角)。∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)。∵CD 是腰 AB 上的高，∴∠ADC = 90°。∴CD = AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)。∴CD= AB。D 返回8．[教材P16“随堂练习”第2题变式]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AB的长等于(　　)A．5 B．6 C．8 D．12C 返回D 返回10．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D。求证：CD＝2AD。 证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°。∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴在Rt△ACD中，CD＝2AD。 返回11．如图，直线AB∥CD，EG＝FG，∠1＝100°，∠2＝20°，则△EFG的形状为(　　)A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．无法确定C 返回B 返回13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8。若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为________。6或12 返回14．(8分)[永州期中]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE，CE交AD于点F，且AF＝DF。(1)求证：AE＝DC；证明：∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD。∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D。又∵AF＝DF，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE≌△DFC，∴AE＝DC。(2)若∠E＝60°，CE平分∠BCD，请判断△BCE的形状，并说明理由。 解：△BCE是等边三角形。理由如下：由(1)知∠EAD＝∠D，∴BE∥CD。∴∠ECD＝∠E＝60°。∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD＝60°，∴∠BCE＝∠E＝60°，∴∠B＝180°－∠BCE－∠E＝60°，即∠BCE＝∠E＝∠B，∴△BCE是等边三角形。 返回课堂小结定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。等边三角形的判定：含30°角的直角三角形的性质：定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。