6.4.5 三角形的重心2025—2026学年苏科版数学九年级下册培优教学课件

1. 情境导入（5 分钟）问题 1：展示两张大小不同但形状相同的照片（如同一风景的原图与缩略图），提问：“这两张照片有什么共同点和不同点？”问题 2：展示地图与实际地形的关系，提问：“地图上的距离与实际距离有什么联系？”引出课题：图形的相似。2. 探究新知（20 分钟）活动 1：观察与分类展示几组图形（如等边三角形、正方形、长方形、任意五边形等），引导学生分类并讨论：“哪些图形形状相同但大小不同？”归纳定义：形状相同的图形称为相似图形（similar figures）。强调：相似图形的大小不一定相同，但形状必须完全相同。活动 2：相似多边形的性质以两个相似三角形为例，引导学生测量对应角和对应边的比例。结论：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。相似比：对应边的比值称为相似比（similarity ratio）。活动 3：判定相似多边形反例分析：展示两个边成比例但角不相等的多边形，提问：“它们是否相似？为什么？”总结：相似多边形必须同时满足对应角相等和对应边成比例。3. 例题解析（10 分钟）例题 1：已知四边形 ABCD∽四边形 A’B’C’D’，AB=4，A’B’=6，∠A=80°，求相似比及∠A’的度数。分析：相似比 = AB:A’B’=4:6=2:3；对应角∠A’=∠A=80°。例题 2：判断两个矩形是否相似，已知矩形甲边长为 3 和 6，矩形乙边长为 4 和 8。分析：对应边比例均为 1:2，对应角均为 90°，因此相似。4. 巩固练习（10 分钟）练习 1：教材习题（判断图形是否相似，计算相似比）。练习 2：小组合作设计两个相似多边形，并说明理由。5. 课堂小结（5 分钟）学生总结：相似图形的定义、相似多边形的性质。教师补充：相似比的意义及判定方法。四、作业布置基础题：教材课后习题（必做）。拓展题：测量家中两个相似物体（如书本与练习本）的边长，计算相似比。思考题：相似图形与全等图形的关系是什么？五、教学资源多媒体课件（含几何画板动态演示）。实物投影仪展示学生作品。六、教学反思通过生活实例降低抽象概念的理解难度。需关注学生对 “对应角”“对应边” 的理解是否到位，避免比例计算错误。教案设计说明：结合直观观察与数学推理，帮助学生从感性认识过渡到理性认识。注重知识的实际应用，培养学生用数学解决问题的能力。知5－讲知识点三角形的重心51. 定义 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.2. 符号语言 如图6.4-12， 在△ABC中，AD、BE、CF分别是△ABC的三条中线，且它们相交于点G，则点G是△ABC的重心．反之，也成立．知5－讲3. 特别解读 根据三角形相似的性质能得出：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2 的两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点的对边中点的距离的2 倍.知5－练 知5－练如图6.4-13，已知点M是△ABC的重心，AB＝18，MN∥AB，则MN＝_______．例 5解题秘方：紧扣三角形重心的性质，结合相似三角形的知识列式计算求解．6知5－练 知5－练特别提醒三角形重心的性质与“由平行，得相似”的结论在填空、选择题中可以直接应用，而在证明题中不能直接应用，需要增加适当的说理.6 返回2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，则AB的长为________．△AEB 返回3.[2024泰州高港区期中]如图，在⊙O中，AB＝AC，则△ABD∽________，若AC＝12，AE＝8，则AD＝________．186 返回4.[2024淮安清江浦区校级月考]如图，在△ABC中，点D是△ABC的重心，S△BDE＝2，则△AEC的面积是________．5.[2024海安校级月考]如图，点G是△ABC的重心，连接AG并延长交BC于点D，过点G作EF∥AB交BC于点E，交AC于点F.若AB＝12，求EF的长． 返回6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：BD＝BF； 返回B 返回7.如图，点G为△ABC的重心，△ABC的三边长满足AB＞BC＞CA，记△GAB，△GBC，△GCA的面积分别为S1，S2，S3，则有(　　)A．S1＞S2＞S3 B．S1＝S2＝S3C．S1＜S2＜S3 D．S1，S2，S3的大小关系不确定 返回8.[2024无锡梁溪区校级模拟]有一个直角三角形的两直角边分别为8和15，则这个直角三角形的重心与它的外心之间的距离为________． 返回189.如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP的延长线于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为________．210.如图，在△ABC中，AN＝2CN，M是AB的中点，BN，CM相交于点O，设△BOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若△ABC的面积为12，则S1－S2＝________．【点拨】在△ABC中，AN＝2CN，△ABC的面积为12，∴易得△ABN的面积为8，△BNC的面积为4.∵△BOM的面积为S1，△CON的面积为S2，∴四边形AMON的面积为8－S1，△BOC的面积为4－S2.∵M是AB的中点，∴△CBM的面积＝△ACM的面积．∴S1＋4－S2＝8－S1＋S2，整理，得S1－S2＝2. 返回11.如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图①，图②，图③中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为点P，称△ABC这样的三角形为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.探索三角形相似的条件相似三角形的判定平行线分线段成比例相似三角形的判定定理三角形的重心平行线截对应线段成比例平行线截三角形相似