2026年北师大八年级数学下册 1.4 线段的垂直平分线第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图（课件）

1.4 线段的垂直平分线第一章 三角形的证明 第2课时 三角形三边的垂直平分线与作图 1. 回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.2. 线段的垂直平分线的作法.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形，那么，你能用尺规作出满足一定条件的等腰三角形吗?尺规作图尝试交流： (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗? 如果能，能作几个? 所作出的三角形都全等吗?(2) 已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？梳理上述作图过程，请你总结“已知底边和底边上的高，用尺规作这个等腰三角形”的方法和步骤。 已知：线段 a，h. 求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a， 高 AD = h.Dah作法：1. 作线段 BC = a；2. 作线段 BC 的垂直平分线 l 交 BC 于点 D；3. 在 l 上作线段 DA，使 DA＝h .4. 连接 AB，AC.则△ABC 为所求的等腰三角形. 还记得用尺规过直线 l 上一点 P 作 l 的垂线的方法吗？这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题。如果点 P 在直线 l 外呢？此时，还能运用这种转化的方法吗？请你试一试，并与同伴进行交流。3. 作线段 AB 的垂直平分线 m.2. 以点 P 为圆心，以 PQ 的长为半径作弧，交直线 l 于 A，B.作法： ● P l m1. 任取一点 Q，使点 Q 与点 P 在直线 l 两旁.直线 m 就是所要作的直线.已知直线 l 和线外一点 P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.例2 已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线 PD 与边 BC 的垂直平分线 PE 相交于点 P。求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P。分析：要证明点 P 在边 AC 的垂直平分线上，需要什么条件？已知的两条垂直平分线相交于点 P，由此你能得到哪些相关的结论？三角形三边的垂直平分线的性质证明：如图，连接 PA，PB，PC。∴点 P 在 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，∴ PA = PB = PC。∴PA = PB，( 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 )。同理，PB = PC。 ∵点 P 在 AB 的垂直平分线上， 即边 AC 的垂直平分线经过点 P。应用格式：∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点，∴ PA = PB = PC．定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.1.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点处；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.1. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.2. 已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.1. 如图，等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 20°．线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，则∠CBE 等于 ( )A．80° 　　 B．70° C．60° D．50°C2. 如图所示，在△ABC 中，∠B＝22.5°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，DF⊥AC 于点 F， 并与 BC 边上的高 AE 交于 G. 求证：EG＝EC. 证明：连接 AD. ∵点 D 在线段 AB 的垂直平分线上，∴EG＝EC.∴△DEG≌△AEC (ASA).∴∠CAE＝∠CDF.∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°.又∵ DF⊥AC，∴∠DFC＝∠AEC＝90°.∴ AE＝DE. ∵ AE⊥BC，∴∠DAE＝∠ADE＝45°.∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.∴ DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°.作法：(1) 作直线 l.3. 已知：线段 a.求作：△ABC，使∠ACB = 90°，AC = BC = a.aa(5) 连接 AB. △ABC 就是所求作的三角形.(4) 在射线 CE 上截取 CA = a，在射线 CM 上截取 CB = a.(3) 作线段 DE 的垂直平分线 MN 交 DE 于 C.(2) 在直线 l 上任取一条线段 DE.