2026年北师大八年级数学下册 1.4 线段的垂直平分线第1课时 线段的垂直平分线（课件）

1.4 线段的垂直平分线第一章 三角形的证明 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 观察： 已知点 A 与点 A′ 关于直线 l 对称，如果线段 AA′ 沿直线 l 折叠，则点 A 与点 A′ 重合，AD = A′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线 l 既平分线段 AA′，又垂直于线段 AA′.●●lAA′D21(A)我们把垂直且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线.如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，… 是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系．P1A ____P1BP2A ____ P2BP3A ____ P3B＝＝＝线段垂直平分线的性质 将△ABC 沿直线 l 对折，由于 l 是线段 AB 的垂直平分线，因此点 A 与点 B 重合. 从而线段 PA 与线段 PB 重合，于是 PA = PB.猜想：点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等． 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.由此你能得到什么结论？你能证明这一结论吗？已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB， 点 P 在 l 上.求证：PA = PB．证明：∵ l⊥AB，∴ PA = PB．∴△PCA≌△PCB (SAS)．又 AC = CB，PC = PC，∴∠PCA =∠PCB．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.练一练： 1. 如图所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3B它是真命题吗？你能证明吗？ 线段垂直平分线的判定定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论① 当点 P 在线段 AB 上时，∵ PA = PB，∴ 点 P 为线段 AB 的中点，显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上；② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示.∵ PA = PB，∴△PAB 是等腰三角形.过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C.∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线.即 PC⊥AB，且 AC = BC.∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：应用格式：∵ PA = PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.证明：∵ AB = AC，∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线).同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.∴ 点A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).证明：延长 AO 交 BC 于点 D.∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO (SSS).∴∠BAO ＝ ∠CAO.∵ AB＝AC，∴ AO⊥BC.∵ OB＝OC，OD＝OD，∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL).∴ BD＝CD.∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC.D线段的垂直平分线的性质和判定性质到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上内容判定内容作用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等作用见垂直平分线，得线段相等判断一个点是否在线段的垂直平分线上1. 如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的是 　 (　　) A. AB 垂直平分 CD B. CD 垂直平分 AB C.AB 与 CD 互相垂直平分 D.CD 平分∠ACBA3. 如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC于 E，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则△BCE 的周长是 cm.162. 已知线段 AB，在平面上找到三个点 D、E、F，使 DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合共有 　　　种.无数