初中数学4 线段的垂直平分线授课课件ppt

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4.线段的垂直平分线 （第1课时）1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理. 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理证明意识和能力。学习目标已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.求证：PA=PB.证明：∵ MN⊥AB，∴ ∠PCA=∠PCB=90°，∵ AC=BC，PC=PC，∴ △PCA≌△PCB(SAS).∴ PA=PB(全等三角形的对应边相等).知识点1 线段垂直平分线的性质定理如果点P与点C重合，那么结论显然成立.知识点1 线段垂直平分线的性质定理定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.符号语言：∵ 点P在直线MN上， MN⊥AB于点C，AC=BC，∴ PA=PB.注意：线段垂直平分线上的“点”是任意一点，这个点到线段两个端点的距离相等是指它与已知线段的两个端点所连线段的长度相等.已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.求证：PA=PB.证明：∵ MN⊥AB，∴ ∠PCA=∠PCB=90°，∵ AC=BC，PC=PC，∴ △PCA≌△PCB(SAS).∴ PA=PB(全等三角形的对应边相等).知识点1 线段垂直平分线的性质定理如果点P与点C重合，那么结论显然成立.知识点1 线段垂直平分线的性质定理定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.符号语言：∵ 点P在直线MN上， MN⊥AB于点C，AC=BC，∴ PA=PB.注意：线段垂直平分线上的“点”是任意一点，这个点到线段两个端点的距离相等是指它与已知线段的两个端点所连线段的长度相等.知识点1 线段垂直平分线的性质定理跟踪训练 如图所示，PO是AB的垂直平分线，则下列结论正确的有 (　　)① PA=PB；② OA=OB；③ ∠A=∠B；④ ∠APO=∠BPO.A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ②③④C跟踪训练 在△ABC中，DE是AC的垂直平分线.若△ABD的周长为13 cm，则AB+BC=　　　　cm； 知识点1 线段垂直平分线的性质定理分析： ∵ DE是AC的垂直平分线，∴ AD=CD (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).∵ AB+BD+AD=13cm，∴ AB+BC=AB+BD+CD=AB+BD+AD=13 cm.13知识点1 线段垂直平分线的性质定理思考你能写出“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”这个定理的逆命题吗?逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗?请证明自己结论的正确性.已知：如图，线段AB，PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C，则PC是△PAB的高.∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.∴PC是△PAB的中线（三线合一）.∴AC=BC.∴直线MN是线段AB的垂直平分线.∴点P在线段AB的垂直平分线上.知识点2 线段垂直平分线的判定定理BMPANC符号语言：∵ PA=PB，∴ 点P在线段AB的垂直平分线MN上.知识点2 线段垂直平分线的判定定理定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.注意：由PA=PB只能判定点P一定在线段AB的垂直平分线上，但不能判定过点P的直线就是线段AB的垂直平分线，因为过点P的直线有无数条.知识点2 线段垂直平分线的判定定理如图，DE是线段AB的垂直平分线，则下列结论一定成立的是（ ）A.ED=CD B.AE=ACC.AD=BD D.BD=ACC你能写出这个定理的逆命题吗？定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。逆命题已知：线段 AB，点 P 是平面内一点，且 PA = PB。求证：点 P 在 AB 的垂直平分线上。证明：∵ PA=PB，∴ 点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上。①当点P在线段AB上时：②当点P在线段AB外时：证法一：过点P 作PC⊥AB，垂足为C。∵PA = PB， PC = PC，∴Rt△PAC ≌Rt△PBC(HL)。∴AC = BC，即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。证法二：取AB的中点C，连接PC。∵ AP=BP，PC=PC，AC=BC，∴ △APC≌△BPC(SSS)。∴ ∠PCA=∠PCB。又∵ ∠PCA+∠PCB=180°，∴ ∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。②当点P在线段AB外时：证法三：过点P作∠APB的角平分线，交AB于点C。∵ AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，∴ △APC≌△BPC(SAS)。∴ AC=BC，∠PCA=∠PCB。又∵ ∠PCA+∠PCB=180°，∴ ∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。②当点P在线段AB外时：线段的垂直平分线的判定：线段的垂直平分线可以看成是到线段两端距离相等的所有点(无穷个点）的集合。线段是一个轴对称图形，垂直平分线是它的一条对称轴。到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需找出这样满足条件的两个点即可作出线段的垂直平分线。例1 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC。求证：直线 AO 垂直平分线段 BC。证明：∵ AB = AC，∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）。同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上。证明：设直线 AO 交 BC 于点 D，∵ AB = AC，AO = AO，OB = OC ，∴ △ABO ≌ △ACO (SSS)。∴ ∠BAO = ∠CAO，又∵ AB = AC，∴ AO ⊥ BC。∵ OB = OC ，OD = OD ，∴ Rt△DBO ≌ Rt△DCO (HL)。∴ BD = CD。∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC。D如图，AC=AD，BC=BD，则下列结论：①AB垂直平分CD；②CD平分∠ACB；③BA平分∠CBD；④∠ACD=∠ADC；⑤CD垂直平分AB。其中正确的是__________。（填序号）①③④1. 还记得用尺规作线段垂直平分线的方法吗?试用本节所学的定理解释其中的道理.解：因为“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，所以我们只需利用尺规作出到已知线段两个端点的距离分别相等的两个点，然后利用“两点确定一条直线”即可作出已知线段的垂直平分线. B3. 已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点.求证：∠ECF=∠EDF.证明：∵ AB是线段CD的垂直平分线，∴ EC=ED，FC=FD(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)，∴ ∠ECD=∠EDC，∠FCD=∠FDC(等边对等角)，∴ ∠ECD+∠FCD=∠EDC+∠FDC，即∠ECF=∠EDF.4. 如图，OM垂直平分AB，ON垂直平分AC，BC与OM，ON分别交于点D，E，连接AD，AE.若BC=10，求△ADE的周长.证明：∵ OM垂直平分AB，点D在OM上， ∴ BD=AD.同理可得CE=AE.∴ △ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10.5. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点.求证：DG垂直平分EF.证明：如图所示，连接ED，FD.∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C.又BE=CD，BD=CF，∴ △BED≌△CDF(SAS)，∴ ED=DF，∴点D在线段EF的垂直平分线上.又G为EF的中点，∴ GE=FG，∴点G在线段EF的垂直平分线上，∴ DG垂直平分EF.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上判定定理作辅助线的依据性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段的垂直平分线