2026年北师大八年级数学下册 1.2 等腰三角形第3课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质（课件）

1.2 等腰三角形第一章 三角形的证明 第3课时 等边三角形的判定及含 30° 角的直角三角形的性质 观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形又如何判定呢？等边三角形的判定一个三角形满足什么条件就是等边三角形? 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：1. 三个角都相等的三角形是等边三角形；2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.已知：如图，∠A =∠B =∠C.求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵∠A =∠ B，∴ AB = AC = BC.∴ AB = AC.∵∠B =∠C，∴ AC = BC.定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.∴ △ABC 是等边三角形.已知：若 AB＝AC，∠A＝60°.求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵ AB = AC，∠A = 60°，∴ AB = AC = BC.∴∠A =∠B =∠C.∴ △ABC 是等边三角形.定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.证明：∵ AB = AC，∠B = 60° (已知)，∴∠C =∠B = 60° (等边对等角).∴∠A = 60° (三角形内角和定理).∴∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ABC 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等 边三角形).已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°．求证：△ABC 是等边三角形．第二种情况：有一个底角是 60°.【验证】操作：用两个含有 30° 角的三角板， 你能拼成一个怎样的三角形？你能说出所拼成的三角形的形状吗？猜想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？合作探究含 30° 角的直角三角形的性质已知：如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°.求证： BC = AB.分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题“线段相等”问题∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，证明：延长 BC 至点 D，使 CD＝BC，连接 AD.∴ △ABD 是等边三角形( 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形).∴ AB＝AD ( 全等三角形的对应边相等).∴△ABC≌△ADC (SAS). ∵ AC＝AC，∴∠ACD＝90°，∠B＝60°. 几何语言：在△ABC 中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中， 30° 角所对的直 角边等于斜边的一半)定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．例3 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°， CD 是腰 AB 上的高， 求证：CD ＝ AB.证明：在△ABC 中，∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).∴∠DAC＝∠B + ∠ACB ＝15° + 15°＝30°. ∵ CD 是腰 AB 上的高，∴∠ADC＝90°.1. 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形．有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．2. 含 30° 角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．1. 已知△ABC 中，∠A = ∠B = 60°，AB = 3 cm，则 △ABC 的周长为_____cm.92. 在△ABC 中，∠B = 90°，∠C = 30°，AB = 3，则 AC =_____，BC =______．ABC330°63. 已知：如图，AB = BC ，∠CDE = 120°， DF∥ BA， 且 DF 平分∠CDE.求证：△ABC 是等边三角形.∴△ABC 是等边三角形.又∵∠CDE＝120°，DF 平分∠CDE，∴∠FDC＝∠ABC＝ 60°.∴△ABC 是等腰三角形，∴∠EDF＝∠FDC＝60°.又∵ DF∥ BA，