福建省福州现代中学八年级上学期中考试数学试卷 （解析版）-A4

这是一份福建省福州现代中学八年级上学期中考试数学试卷 （解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题4分，共40分）
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 研究表明，甲型流感球形病毒细胞的直径约为，用科学记数法表示这个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：．
故选C．
3. 若分式 的值为0， 则x的值为（ ）
A. 0B. 2C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】考查了分式的值为0，正确把握相关定义是解题关键．
利用分式的值为0，则其分子为零，进而求出答案．
【详解】解：若分式 的值为0，
则且，
解得：，
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则及完全平方公式分别判断得出答案．
【详解】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，,故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、积的乘方运算及完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5. 下列分式的变形中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．依据分式的基本性质回答即可．
【详解】解：A．由左到右的变形符合分式的基本性质，故A正确；
B．，不成立，故B错误；
C．，故C错误；
D．，不成立，故D错误．
故选：A．
6. 如图，两个三角形全等，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形性质，根据图形确定的对应角，再根据全等三角形对应角相等即可得到答案，解题的关键是利用全等三角形对应角相等解答．
【详解】解：∵两个三角形全等，根据全等三角形对应角相等，
∴，
故选：B．
7. 如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值．
【详解】解：过D作于F，
∵是的角平分线，，
∴，
∵，的面积为9，
∴
∴，
∴，
故选：C．
8. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答．
【详解】解：由作图可知，
在和中，
，
∴，
∴，
故选：D．
9. 已知，则代数式的值是（ ）
A. 2B. 1C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，根据完全平方公式进行求解即可．
【详解】解：∵
又，
，
∴
∴，
故选：C．
10. 根据，，，的规律，则的个位数字是（ ）
A. 7B. 5C. 3D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘法相关的规律、数字类规律探索等知识点．由题意可发现规律，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律，即可解答．
【详解】解：根据题意得：，
把代入得：，
∴，
∵，
∴的末位数字是按1，3，7，5为一个循环的，
∵，
∴的末位数字为1．
故选D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 计算：_____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，根据进行计算，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：1
12. 分式和的最简公分母为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．即可求解，熟练掌握最简公分母的相关知识是解题的关键．
【详解】解：分式，的最简公分母为，
故答案为：．
13. 化简的结果是____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了分式混合运算， 熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．先算括号里面的，然后按照分式除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
14. 如图，在的正方形网格中标出了∠1、∠2和∠3，则___________．
【答案】##135度
【解析】
【分析】证明，得到，推出，由是等腰直角三角形，得到，进而求出答案．
【详解】解：如图，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理：是解题的关键．
15. 等腰三角形的两边满足，则这个三角形的周长为______．
【答案】17
【解析】
【分析】已知等式配方变形后，利用非负数的性质求出与的值，即可确定出等腰三角形周长．
【详解】解：，
，
，
∴，，
∴，，
当3是腰时，三边长为3，3，7，不符合三角形三边关系；
当3是底边时，三边长为3，7，7，符合三角形三边关系，周长为．
则这个三角形的周长为17．
故答案为：17．
【点睛】此题考查了完全平方公式应用，非负数的性质，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16. 如图，中，的角平分线于D，E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，延长交于点H．设交于点O，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，最大面积为．
【详解】解：延长交于点H．设交于点O，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴当时，的面积最大，最大面积为，
∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为，
故答案为：．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了多项式除以单项式，多项式乘多项式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据多项式除以单项式的运算法则计算，即可作答．
（2）根据多项式乘多项式，单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答．
小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
18. 把下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
（2）先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，进行因式分解，
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
19. 先化简再求值：，其中a＝﹣3．
【答案】，．
【解析】
【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【详解】解：
=，
当a=时，原式=．
【点睛】本题考查分式的运算，分母有理化，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
20. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）4．
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键．
（1）利用角平分线的性质定理即可证明；
（2）证明，得，由即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
21. 证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．按下列步骤证明上述命题（根据所画图形，用符号表示已知和求证，并写出证明过程）：
已知：
求证：
证明：

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据题意画出图形，然后用数学语言叙述命题，然后根据题意求证即可．
【详解】已知：在△ABC和中，，，AD与分别是边上的中线，且AD=，
求证：．
证明：∵分别是和边上的中线，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
在和中
，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的条件是解题的关键．
22. 如图所示，在中，．
（1）实践与操作：
尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①在边上求作一点，使得，连接；
②作边的垂直平分线，交于点，交于点．
（2）猜想与证明：
试猜想线段与线段有怎样的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2），见解析
【解析】
【分析】（1）①以点为圆心，以BA为半径，画弧，交于点，则点D即为所求作的点；
②根据线段垂直平分线的基本作图要领规范作图即可．
（2）过点作于点，连接，根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，根据，即可证明结论．
【小问1详解】
解：①如图1，点即为所求；
②如图2，即为所求．
【小问2详解】
解：．理由如下：
过点作于点，连接，如图3，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的基本作图，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
23. 【示例】（1）在等腰三角形中，若，求的度数．
分析：都可能顶角或底角，因此需要分类，据此可求出___________．
【应用】（2）若等腰三角形周长为，则__________．
【拓展】（3）如图，将一个边长为、、的直角三角形与另一个三角形拼成一个等腰三角形，图就是其中的一种拼法，请你画出其他可能的情形（不少于种），并在图上标出所拼成等腰三角形的腰的长度（每种情形用一个图形单独表示，并用①、②、③…编号）
【答案】（1）；（2）、或；（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角、等边对等角等知识点，理解题意、弄清问题中对所作图形的要求成为解答本题的关键．
（1）都可能是顶角或底角，因此需要分是顶角、为底角且为顶角、为底角且为底角三种情况解答；
（2）都可能是底或腰，因此需要分为底、为腰且为腰、为腰且为底三种情况解答即可；
（2）将一个边长为、、的直角三角形拼上一个三角形后拼成一个等腰三角形，据此画出图形即可．
【详解】解：（1）当为顶角时，
当为底角且为顶角时，
为底角且为底角时，
故答案为：或；
（2）当为底边，为腰时，；
当为腰，为腰时，；
当为腰，为底边时，；
综上所述，的长度是、或，
故答案为：、或；
（3）如图所示，共有6种情况．
24. 阅读下面的材料，并解答后面的问题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为，可设．
因为，
所以，
所以，解得，所以．
这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的和的形式，
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值为_________；
（2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的值；
（3）利用分离常数法，求分式的取值范围．
【答案】（1）、、、；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式运算、阅读理解能力，解决本题的关键是读懂材料中的解题方法，仿照材料中提供的思路解题．
根据分离常数法，可得：，根据分式值为整数，可得为整数，所以可得或，分情况求出的值即可；
首先把拆成，根据拆成的形式为，可得，，把、用含的代数式表示出来，然后再整体代入求值即可；
首先利用分离常数法把分离成，根据平方的非负性可得0>−1x2+2≥−12，根据不等式的性质可得．
【小问1详解】
解：由分离常数法可得：，
若分式值为整数，即为整数，亦即为整数，
故或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
即可取、、、；
【小问2详解】
解：，
，，
，，
故答案为：；
【小问3详解】
解：
，
∴0>−1x2+2≥−12，
∴2+0>2−1x2+2≥32，
，
即．
25. 在平面直角坐标系中，点、点分别在轴和轴的正半轴上，并且．点在第一象限，，且．
（1）如图1，直接写出点的坐标．
（2）如图2，若点A运动到的位置，点运动到的位置，保持，求的值；
（3）如图3，若点不变，点，点分别运动至轴，轴，点A关于轴的对称点为点，点A关于直线PB的对称点为点C，点是直线上的动点，作，，连接，当取最小值时，求点坐标．
【答案】（1）
（2）8 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查坐标与图形、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）由非负数的性质以及坐标与图形可得求出，如图1：过点作于轴于，则四边形是矩形，再证明可得，进而得到即可解答；
（2）由证得可得，进而得到，然后代入数据即可解答；
（3）如图3：连接，证明可得；如图4，作直线于x轴交于点D，证明可得，进而得到；如图5，作H关于的对称点，连接，根据轴对称的性质可得；如图6，当三点共线时，取得最小值为，再证明可得，最后根据中点的性质即可解答．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
如图1：过点作于轴于，则四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【小问2详解】
解：由（1）得，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：如图3：连接，
点A，点分别运动至轴，轴，
点A关于x轴的对称点为点，点A关于直线PB的对称点为点C
，
，
，
在和中，
，
，
；
如图4，作直线于x轴交于点D，
，
，
在和中，
，
点R在直线上运动
，
，
，
如图5，作H关于的对称点，连接，
，
，
又关于的对称点，
，
，
如图6，当三点共线时，取得最小值为，
∵，
，
在和中，
，
，即点是的中点