福建省福州市鼓楼区福州立志中学八年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份福建省福州市鼓楼区福州立志中学八年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了考试结束后，考生只交答题卡等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
l．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必在答题卡规定的位置填写考生的班级、姓名、座位号等信息．
2．第I卷选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试卷上答题无效．
3．考试结束后，考生只交答题卡．
第I卷
一．选择题（每小题4分，共40分）
1. 下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”是解题的关键．
【详解】解：A.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.图形不轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2. 给出下列计算：其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法、积的乘方，根据运算法则逐项计算即可判断．
【详解】解：A，，计算错误；
B，，计算正确；
C，，计算错误；
D，，计算错误；
故选B．
3. 若三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系；根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出的取值范围．
【详解】解：，，
，
的值可以是．
故选：．
4. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握三种判定定理的内容是解题的关键；由已知有，且它们的夹角是对顶角也相等，则由可判定这两个三角形全等．
【详解】解：在与中，
，
∴；
故选：B．
5. 若，则可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的基本性质进行判断即可．
【详解】解：根据分式的基本性质：分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，A、B选项是分子分母同时减或加2，不符合题意；
D选项是分子分母同时平方，不符合题意；
C选项是分子分母同时乘2，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟记分式的基本性质，准确进行判断．
6. 如图，中，，，是的中线，点在上，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由等腰三角形中三线合一，可得是的角平分线，再根据得出，结合三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：中，， 是的中线，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
故选D．
7. 若是完全平方式．则的值可能是（ ）
A. 6或B. 18C. 12或D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查完全平方式，形如的式子为完全平方式，据此求解．
【详解】解：，
若是完全平方式．则，
即的值可能是12或，
故选C．
8. 如图，，，边上存在一点，使得．下列描述正确的是（ ）
A. 是垂直平分线与的交点
B. 是的垂直平分线与的交点
C. 是的平分线与的交点
D. 是以点为圆心，长为半径的弧与边的交点
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线的性质，由，，可得，推出点P在线段的垂直平分线上，即可求解．
【详解】解：，，
，
点P在线段的垂直平分线上，
是垂直平分线与的交点，
故选A．
9. 如图，中，，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（ ）

A. 2B. 3C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，角平分线的性质，三角形面积求法．由作图知，得到平分,由角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得方程，解方程即可得解.
【详解】解：如图，过点作于点，设,

由作图知，平分,
又∵,，
,
,
，
,
，
,即，
故选：．
10. 若，，则的值是（ ）
A. 1025B. 1998C. 2011D. 2050
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握灵活应用完全平方公式，先根据完全平方公式把已知条件中的两个等式展开，然后相加，再根据等式的基本性质求出答案即可．
【详解】解：，
，，
得：，
，
故选：．
第II卷
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：（﹣1）0＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】零指数幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.
【详解】解：（﹣1）0＝1．
【点睛】本题考查了零指数幂，准确掌握即可解题.
12. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解决此题的关键，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点关于轴的对称点坐标为，
故答案为： ．
13. 若，则的值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键，先根据多项式乘多项式的运算法则计算，由题意得出，即可得出的值．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
14. 若，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，先根据同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，把所求幂写成含有的形式，再整体代入计算即可．
【详解】解：,
，
故答案为：．
15. 如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为__________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键，作交的延长线于点,由是的角平分线，得,则,进而即可根据“”证明,得,最后利用三角形面积公式即可得解.
【详解】解：如图，作交的延长线于点,
，是的角平分线，
,,
,
,，
,
在和中，
,
,
,
，
故答案：．
16. 如图，中，，，，，点，在线段上，以为边在外作等边，点是的中点，连接，连接，在右侧作等边，连接，连接，则的最小值是__________．

【答案】
【解析】
【分析】如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，连接,作点关于的对称点,连接,则,以为边向外作等边三角形,作直线，证明，推出，推出点N在直线上运动，作点C关于的对称点，连接交于点,求出可得结论．
【详解】解：如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，连接,作点关于的对称点,连接,则,

,
,
,
,
,
是等边三角形，,
平分,
,
,
,
，
如上图，作交x轴于点H，
，
，
，
由勾股定理得，，
,
如上图，以为边向外作等边三角形,作直线,
是等边三角形，
,,
,
,
,
,
点在直线上运动，作点关于的对称点,连接交于点,
，
,
,
,
垂直平分线段,
,，
,，
,
,
,
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路程问题，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含度的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
三．解答题（共9题，共86分）
17. 分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
(1)先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的法则是解决此题的关键．
(1)先按照积的乘方和同底数幂的乘法的运算法则进行计算，再合并同类项即可；
(2)按照多项式除以单项式的运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，2，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算-化简求值，平方差公式等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键，先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
20. 如图，点，，，在一条直线上，，，，垂足分别为，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查直角三角形全等的判定和性质，根据已知条件证明，即可得出．
【详解】证明：，，
和是直角三角形，
，
，即，
在和中，
，
，
．
21. 如图，点是上一点，，，垂足分别为，，，点是上一点，．求证：．

【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键，由,得,即可由,根据“”证明,得,由,得,由等腰三角形的判定即可得解．
【详解】证明：,,
,
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
22. 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2，请你写出，，之间等量关系是__________；
（2）根据（1）中的结论，若，，求的值；
（3）拓展应用：若，，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）3
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，理解图形中各部分面积之间的关系是解题关键．
（1）4个小长方形面积与中间小正方形面积之和等于大正方形面积，由此列式；
（2）利用（1）中结论，将，代入计算即可；
（3）由，得，由得，再利用完全平方公式即可求解．
【小问1详解】
解：，，之间的等量关系是：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，，
，
；
【小问3详解】
解：，，
，
，
，
，
．
23. 如图，在Rt中，，，平分，交于点．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线（要求：保留作图痕迹，不写作法．）
（2）记直线与，的交点分别是点，．
①求证：；
②当时，求的长．
【答案】（1）详见解析
（2）①详见解析②的长为6
【解析】
【分析】(1)利用尺规作出线段的垂直平分线即可；
(2)①由(1)知，为AB的中点，由直角三角形的性质即可得解，②连接，先证出是等边三角形，然后利用等解三角形的性质得出即可得解．
【小问1详解】
解：如图所示，直线是所求作的线段的垂直平分线；
【小问2详解】
解：①由(1)知，为AB的中点，
，，
，，
；
②如图，
,
,
,
是的垂直平分线，
,
,
是等边三角形，
,
,
平分,
,
,
,
．
【点睛】本题主要考查了基本作图-作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形30度的性质等知识，熟练掌握其性质并正确添加辅助线是解决此题的关键．
24. （1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：．
①分解因式：；
②若．，都是正整数且，求的值；
（2）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值．
【答案】（1）①；②19；（2）
【解析】
【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的应用：
（1）①参照题干，利用分组分解法求解；②由，都是正整数，得，都是整数，且，结合求出a，b的值，代入计算可得答案；
（2）将变形为，代入得，可得答案．
【详解】解：（1）①
；
②，
，
，都是正整数，
，都是整数，且，
又，
，或，
解得或（不合题意，舍去），
；
（2），
，
，
，，
，
整式的最小值为．
25. 如图1，在中，，，是边上不与，重合的一个定点．于点，交于点，且，，的延长线相交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）如图2，若是的中点，求证：．
【答案】（1）详见解析
（2） （3）详见解析
【解析】
【分析】(1)由等腰直角三角形的性质即可得证；
(2)依据题意，设与的交点为，由,有，即可得,即得,从而；
(3)依据题意，延长交于点,连接,,知,,而是的中点，有,可得,从而,可证,,得,,即可得,进而即可得解．
【小问1详解】
证明：，，于点，
，，
且，
，
；
【小问2详解】
解：设与的交点为,如图：
,
，
，
，
,
,
,
,
,
,
；
【小问3详解】
证明：如图，延长交于点,连接,
,
,
，
是的中点，
,
,
,
，
,
，
,
由(2)知，,
,
，
，
,
,
,
,
且
．