9.1 因式分解的概念（教学课件）-2025-2026学年八年级数学下册（苏科版2024）

第九章 因式分解 9.1 因式分解的概念学 习 目 标12了解因式分解的概念．体会因式分解与整式乘法的区别与联系，并会运用整式的乘法运算检验因式分解的正确性，强化运算能力．问题引入 我们曾经学习过数的整除问题，7＋72能被8整除吗？99＋992能被100整除吗？如何把7＋72，99＋992化成几个整数乘积的形式？若a是正整数，a＋a2能被a＋1整除吗？a＋a2＝a(a＋1)，因为a是正整数，所以a＋a2能被a＋1整除．和积7＋72＝7×(1＋7)＝7×8，所以7＋72能被8整除．99＋992＝99×(1＋99)＝99×100，所以99＋992能被100整除．观察思考观察下列两组等式，说出它们的区别和联系．m(a＋b)＝ma＋mb(x＋1)(x－2)＝x2＋3x＋2ma＋mb＝m(a＋b)x2＋3x＋2＝(x＋1)(x－2)第①组等式表示两个整式的乘法运算，第②组等式是把一个多项式表示成两个整式的乘积形式，它们是互逆的变形．①②概念解读 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式分解（factorization）．因式分解也可称为分解因式．因式分解的对象：一个多项式（不能是单项式）因式分解的结果：几个整式（不能出现分式等）的积因式分解的本质：一种恒等变形（只改变形式）多项式＝整式×整式×…×整式因式分解与整式乘法是方向相反的变形典例分析例 判断下列从左到右的变形中，哪些是整式乘法，哪些是多项式的因式分解．(1) m(a＋2b)＝ma＋2mb； (2) 15xy＋25xy2＝5xy(3＋5y)；(3) (y＋3)(y－3)＝y2－9； (4) a2＋4b2＋4ab＝(a＋2b)2．解：(1)(3)是整式乘法，(2)(4)是多项式的因式分解．新知巩固判断下列从左到右的变形中，哪些是因式分解，哪些不是．(1) ab＋ac＋d＝a(b＋c)＋d；(2) a2－1＝(a＋1)(a－1)；(3) (a＋1)(a－1)＝a2－1；(4) (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd．不是不是是不是数学活动观察下面图形的剪拼过程，写出相应的等式．x2＋5x＋6＝(x＋3) (x＋2)(x＋3) (x＋2)＝x2＋5x＋6谈谈因式分解与整式乘法有什么联系？请举例说明．归纳总结因式分解与整式乘法的区别与联系：（1）由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式（和差化积）.（2）一种恒等变形．（1）由整式的积的形式转化成和差形式（多项式）（积化和差）.（2）一种乘法运算．互逆 探究思考写出两个整式A写B，使得A＝B(a＋3)．答案不唯一．可以先确定右边的式子B，再利用整式乘法展开得到左边的式子A．解：如B＝a，A＝a2＋3a．新知巩固1. 在下面式子的左边和右边的括号中各填入一个整式，使这 个式子的左边与右边相等．（ ）＝（ ）（2a＋1）．a2a2＋a新知巩固2. 已知多项式a2＋6a＋k可以分解为 (a＋2) 与 (a＋4) 的乘积， 求k的值．解：∵ a2＋6a＋k＝(a＋2) (a＋4)， (a＋2) (a＋4)＝a2＋2a＋4a＋8＝a2＋6a＋8， ∴ a2＋6a＋k＝a2＋6a＋8． k＝8．思维提升 四块矩形卡纸的面积之和为ab＋a＋b＋1，你能把这个多项式写成两个多项式乘积的形式吗？ab＋a＋b＋1＝(a＋1) (b＋1)课堂小结因式分解的概念定义与整式乘法的关系把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式分解．因式分解与整式乘法是方向相反的变形．感谢聆听！ 第九章 因式分解