7.2平行线 课件人教版数学七年级下册

7.2 平行线第七章 相交线与平行线知1－讲感悟新知知识点平行线的概念1前提条件没有公共点感悟新知注意(1)在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:相交和平行.(2)线段或射线平行是指它们所在的直线平行.知1－讲感悟新知知1－讲特别提醒1. 不在同一平面内的直线, 在不相交时也可能不平行.2. 平行是相互的，如a ∥ b 与b ∥ a 表示的意义相同.知1－练感悟新知下列说法正确的是( )A. 两条直线不平行则相交B. 在同一平面内，没有公共点的两条射线必平行C. 在同一平面内，若两条线段平行，则它们不相交D. 在同一平面内，若两条线段没有公共点，则它们平行例1解题秘方：判断两条射线或线段是否平行，要延长或反向延长，看它们有没有交点.知1－练感悟新知解：答案：C知1－练感悟新知1-1. 下列说法正确的是( )A. 不相交的两条线段是平行线B. 不相交的两条直线是平行线C. 不相交的两条射线是平行线D. 在同一平面内，不相交的两条直线是平行线D感悟新知知2－讲知识点平行线的画法2过直线外一点画已知直线的平行线感悟新知知2－讲知2－讲感悟新知特别提醒1. 经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.3. 画图过程中要注意：(1)直尺定好位置后，不能移动；(2)三角尺要始终保持“紧靠”状态.感悟新知知2－练例2如图7.2-1，在∠AOB内有一点P，过点P画PC∥OA，交OB 于点C；过点P画PD∥OB，交OA于点D. 知2－练感悟新知解：如图7.2-2 所示.解题秘方：按照过直线外一点画已知直线的平行线的步骤依次进行.知2－练感悟新知2-1. 按要求画图： 如图，过点C 画CE∥AD 交BA 的延长线于点E. 解：如图所示．感悟新知知3－讲知识点平行线的基本事实及其推论31. 平行线的基本事实过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 特别提醒：平行线基本事实的前提是过直线外一点，若点在直线上，则不可能有已知直线的平行线. 感悟新知知3－讲2. 平行线基本事实的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行. 表达方式：如果a ∥ c，b ∥ c，那么a ∥ b. 知3－讲感悟新知特别解读1.“有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性.2. 平行线的基本事实在推理过程中常用来说明直线的唯一性.3. 平行线基本事实的推论体现了平行线的传递性.感悟新知知3－练例3如图7.2-3，直线a ∥ b，b ∥ c，d 与a 相交于点M. 解题秘方：根据平行线的基本事实及其推论判定两条直线的位置关系.感悟新知知3－练(1)试判断直线a，c的位置关系，并说明理由； 解：a ∥ c.理由：因为a∥b，b∥c，所以a∥c . (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)感悟新知知3－练(2)判断c与d 的位置关系，并说明理由. 解：c 与d 相交.理由：因为直线a，d都过点M，且a∥c，所以c与d相交. (过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行)知3－练感悟新知3-1. 下列说法正确的 是( )A. 一条直线的平行线有且只有一条B. 如果直线a ∥ c ， b ∥ c ，那么a ∥ b C. 如果a ∥ b，a ∥ c，那么b ⊥ c D. 过一点一定存在一条直线与已知直线平行B感悟新知知4－讲知识点平行线的判定4前面我们讲的平行线的画法，应用的就是判定方法1感悟新知知4－讲感悟新知知4－讲感悟新知知4－讲除了上面三种判定方法外，还有以下三种利用位置关系判定两直线平行的方法：(1)平行线的定义；(2)平行线基本事实的推论(平行线的传递性)；(3)在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 简记成：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.感悟新知知4－讲特别解读1. 符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”.2. 这三种判定方法都是由角的数量关系来判定两条直线的位置关系.感悟新知知4－讲特别提醒要识别一对角是由哪两条直线被第三条直线所截而成的角，要从组成角的两边入手：两个角共线的边所在的直线就是截线，即第三条直线，另外两边所在的直线就是两条被截线. 确定了被截线，根据平行线的判定方法就可判断是哪两条直线平行.感悟新知知4－练如图7.2-4，根据下列条件，可判定哪两条直线平行？并说明根据.例4知4－练感悟新知思路导引：感悟新知知4－练(1)∠ABD=∠CDB； 解：由∠ABD= ∠CDB可判定AB∥CD，根据是内错角相等， 两直线平行. 感悟新知知4－练(2)∠CBA+∠BAD=180°； 解：由∠CBA+ ∠BAD=180°可判定BC∥AD，根据是同旁内角互补，两直线平行. 感悟新知知4－练(3)∠ABC=∠DCE. 解：由∠ABC= ∠DCE可判定AB∥DC，根据是同位角相等，两直线平行. 知4－练感悟新知4-1. 如图所示. (1)如果∠ 1= ∠ 2, 那么_____∥ _____, 依据是________________________. (2)如果∠ 3= ∠ 4, 那么_____ ∥ _____ , 依据是________________________ . ADBC(或BE或CE)内错角相等，两直线平行ABCD内错角相等，两直线平行知4－练感悟新知(3)如果∠ B= ∠ 5, 那么 _____ ∥ _____, 依据是_________________________ . (4)如果∠D+ ∠BCD= 180 ° , 那么 _____ ∥ _____, 依据是________________________ . ABCD同位角相等，两直线平行ADBC(或BE或CE)同旁内角互补，两直线平行知5－讲感悟新知知识点平行线的性质51. 平行线的性质知5－讲感悟新知知5－讲感悟新知2. 平行线的判定与性质的区别与联系平行线的性质是由两条直线的位置关系(平行)得出角的数量关系；平行线的判定是由角的数量关系得出两条直线的位置关系(平行). 图示如下：知5－讲感悟新知特别提醒同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的前提是两直线平行，不能一看到同位角、内错角就认为它们相等，一看到同旁内角就认为它们互补.知5－练感悟新知例5如图7.2-5，AB∥CD，BC∥AE，∠ 1=50°，求∠A，∠B， ∠C的度数. 解题秘方：准确区分平行线和截线，找到同位角、内错角、同旁内角，进而利用平行线的性质求解. 知5－练感悟新知解：∵AB∥CD， ∴∠A= ∠ 1=50°(两直线平行，同位角相等). ∵BC∥AE， ∴∠C= ∠ 1=50°(两直线平行，内错角相等)， ∠A+ ∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补). ∴∠B=180°- ∠A=130°. 另解: ∵ AB ∥ CD,∴∠ B+ ∠ C=180° .∴∠ B=180° - ∠ C=130°知5－练感悟新知5-1. 如图，AB∥CD ， AB∥EG ， DF∥BG ， 且∠ 1=65 °， 求∠ 2， ∠ 3，∠ 4 的度数. 知5－练感悟新知解：∵AB∥CD，AB∥EG，∴CD∥EG(平行于同一条直线的两条直线平行)．∴∠2＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)．∵DF∥BG，∴∠3＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°.∵AB∥EG，∴∠4＝∠3＝115°(两直线平行，同位角相等)．平行线题型利用平行线的性质求角的度数1将一个含30°角的三角尺和直尺如图7.2-6 所示摆放，若∠ 1=50°，则∠ 2 的度数是( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 例6解题秘方：根据平行线的性质得出∠ 2 和∠ 4 的相等关系，并求出∠ 3 的度数，再结合平角的定义求出∠ 4 的度数，问题得解.解：如图7.2-6 所示.∵ a ∥ b ，∴∠ 3= ∠ 1=50°，∠ 2= ∠ 4.(两直线平行，同位角相等)∴∠ 4=180°-60°- ∠ 3=70°.∴∠ 2= ∠ 4=70°.答案：C教你一招三角尺的形状有两种，一种是等腰直角三角形，两个锐角都是45 °；另一种是含30 °角的直角三角形， 另一个锐角是60° .如图7.2-7，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，C，D两点分别落在点C′，D′的位置，C′E交AF于点G，测得∠1=55°，求∠2 的度数. 例7思路导引：解：方法一 由折叠可得∠GEC=2 ∠ 1=110°. 由题意得AD∥BC，C′E∥D′F， ∴∠C′GF=∠GEC=110°(两直线平行，同位角相等)， ∠ 2+ ∠C′GF=180°(两直线平行，同旁内角互补). ∴∠ 2=180°- ∠C′GF=180°-110°=70°. 方法二 由题意得AD∥BC， ∴∠GFE= ∠ 1(两直线平行，内错角相等)， ∠DFE+ ∠ 1=180°(两直线平行，同旁内角互补). 又∠ 1=55°，∴∠GFE=55°，∠DFE=180°-55°=125°. 由折叠可得∠D′FE= ∠DFE=125°， ∴∠ 2= ∠D′FE- ∠GFE=125°-55°=70°. 方法三 由折叠可得∠GEF= ∠ 1=55°. 由题意得AD∥BC，C′E∥D′F， ∴∠GFE= ∠ 1=55°(两直线平行，内错角相等)， ∠GEF+ ∠D′FE=180°(两直线平行，同旁内角互补). ∴∠D′FE=180°- ∠GEF=180°-55°=125°. ∴∠ 2= ∠D′FE- ∠GFE=125°-55°=70°. 审题技巧在长方形的折叠问题中，隐含着相等的角、长方形的对边平行等条件，要充分利用这些条件，实现角度之间的转化.如图7.2-8，在三角形ABC 中，F，H是BC边上的点， G，D是AC边上的点，且∠ FGA= ∠HDA. 在AB上取一点E，使∠BED+∠B=180°. 说明∠CFG=∠EDH. 题型综合利用平行线的判定与性质解决问题2例8解题秘方：已知条件中没有平行线，需要先利用判定寻找平行线，再利用平行线的性质得到角的数量关系，通过等量代换说明结论.解：∵∠FGA= ∠HDA， ∴FG∥HD(同位角相等，两直线平行). ∴∠CFG= ∠CHD(两直线平行，同位角相等). ∵∠BED+ ∠B=180°， ∴ED∥BC(同旁内角互补，两直线平行). ∴∠EDH= ∠CHD(两直线平行，内错角相等). ∴∠CFG= ∠EDH. 方法点拨综合分析法：对于比较复杂的说明题, 可先从要说明的结论入手，分析要得到这个结论需要哪些条件, 再从已知条件开始推理，看由这些条件能推导出哪些结论, 最后把两个方面综合起来，找到解题思路，写出推理过程，这种分析问题的方法称为综合分析法.[新考法 逆向思维法]国家倡导绿色出行，数数的爸爸给他买了一辆单车. 图7.2-9 ①是该单车放在水平地面的实物图，图7.2-9 ② 是其示意图，其中AB，CD都与地面l 平行，∠BCD=60 °，∠BAC= 55°，当∠MAC为多少度时，AM//CB ？ 例9思路导引：解：∵AB，CD都与地面l 平行， ∴AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行). ∴∠BAC+ ∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)， 即∠BAC+ ∠ACB+ ∠BCD=180°. ∵∠BCD=60°，∠BAC=55°，∴∠ACB=180°-60°-55°=65°. 故当∠MAC=∠ACB=65°时，AM∥CB(内错角相等，两直线平行) 解题通法解决实际问题的关键是读懂题意，从实际问题中抽象出数学问题，然后利用相关知识进行解答.[新视角 类比探究题]如图7.2-10，AB∥CD，分别探究下面四个图中∠APC与∠A，∠C之间的关系.题型作平行线，利用平行线的性质探究角的关系3例10解题秘方：分别过拐点作已知直线的平行线，利用平行线的性质求解.解：图7.2-10 ①中，∠APC+ ∠A+ ∠C=360°. 理由：如图7.2-10 ①，过点P作PE∥AB. ∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD. ∴∠ 1+ ∠A=180°，∠ 2+ ∠C=180°. ∴∠ 1+ ∠A+ ∠ 2+ ∠C=360°. 又∵∠APC= ∠ 1+ ∠ 2，∴∠APC+ ∠A+ ∠C=360°. 图7.2-10 ②中，∠APC= ∠A+ ∠C. 理由：如图7.2-10 ②，过点P作PE∥AB. ∵ AB∥CD，∴ PE∥AB∥CD. ∴∠A=∠1，∠2=∠C. ∵∠APC= ∠ 1+ ∠ 2，∴∠APC= ∠A+ ∠C． 图7.2-10 ③中，∠APC+ ∠A= ∠C. 理由：如图7.2-10 ③，过点P作PE∥AB，则∠ EPA+ ∠A=180°. ∵∠ EPA= ∠APC+ ∠ 1，∴∠APC+ ∠ 1+ ∠A=180°， ∴∠APC+ ∠A=180°- ∠ 1. ∵AB∥CD，PE∥AB， ∴PE∥CD. ∴∠ 1+ ∠C=180°， ∴∠C=180°- ∠ 1. ∴∠APC+ ∠A= ∠C.. 另解 如图7.2-11，过点P 作PE ∥ AB. ∵ AB∥ CD， ∴ PE ∥ CD. ∴∠ EPC =∠ C. ∵∠EPC =∠1+∠APC， ∴∠ C=∠ 1+ ∠APC . ∵ PE ∥ AB， ∴∠ 1= ∠ A. ∴∠APC+ ∠A=∠ C. 图7.2-10 ④中，∠A= ∠APC+ ∠C. 理由：如图7.2-10 ④，过点P作PE∥AB， 则∠ 1+ ∠A=180°，即∠ 1=180°- ∠A. ∵AB∥CD，PE∥AB，∴PE∥CD. ∴∠EPC+ ∠C=180°，即∠ 1+ ∠APC+ ∠C=180°. ∴ 180°-∠A+∠APC+∠C=180°. ∴∠A=∠APC+∠C. 技巧点拨两条平行线间存在拐点时，通常过拐点作已知直线的平行线，构造出位置角，为应用平行线的性质创造条件.易错提醒只能作一条直线的平行线，与另一条直线的平行关系需根据平行线的传递性进行说明.已知P 是任意一点，过点P 画一条直线与BC 平行，则这样的直线( )A. 有且只有一条 B. 有两条C. 不存在 D. 有一条或不存在例11易错点 忽视平行线的基本事实的前提致错错解：A 正解：分点P 在BC 上和不在BC 上两种情况，根据平行线的基本事实解答即可. 若点P 在直线BC 上，则不能画出与BC 平行的直线；若点P 不在直线BC 上，则过点P 有且只有一条直线与BC 平行. 答案：D 诊误区：在应用平行线的基本事实时，一定要看清是否有“过直线外一点”这个条件，若点不在直线外，则不存在过已知点且与已知直线平行的直线.[中考· 长沙]如图7.2-12，AB ∥ CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F， 直线EG与直线CD交于点G．若∠1=70°， ∠ 2=50°，则∠GEF的度数为( )A. 50° B. 60° C. 65° D. 70° 考法利用平行线的性质求角的度数1例12试题评析：本题考查平行线的性质及角的和差运算，根据平行线的性质求出∠AEG的度数，再由平角的定义求出∠GEF的度数.解：∵AB∥CD，∴∠AEG=∠2=50°(两直线平行，同位角相等). ∵ ∠ 1=70 °，∴ ∠GEF=180 °- ∠ 1- ∠AEG=180°-70°-50°=60°． 答案：B[中考·金华]如图7.2-13，已知∠1=∠2=∠3=50°，则∠ 4 的度数是( )A.120° B.125° C.130° D.135°考法利用平行线的判定与性质求角的度数2例13试题评析：本题考查平行线的判定与性质，解题关键是根据角度关系先判定两直线平行，再利用平行线的性质求角度.解：如图7.2-13，∵∠ 1= ∠ 3=50°，∴ a ∥ b(同位角相等，两直线平行).∴∠ 5+ ∠ 2=180°(两直线平行，同旁内角互补).∵∠ 2=50°，∴∠ 5=130°.∴∠ 4= ∠ 5=130°.答案：C[中考·扬州]如图7.2-14，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE=130 °，∠CDF=150 °，则∠EGF的度数是( )A. 60° B. 70°C. 80° D. 90° 考法平行线的性质在跨学科问题中的应用3例14试题评析：本题考查平行线的性质和对顶角的性质，先根据平行线的性质求出∠BGP，∠DGP的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等即可求出∠EGF． 解：∵PQ∥AB，PQ∥CD， ∴ ∠ ABE+ ∠ BGP=180 °，∠ CDG+ ∠DGP=180°(两直线平行，同旁内角互补). ∵∠ABE=130°，∠CDF=150°， ∴∠BGP=50°，∠DGP=30°. ∴ ∠ EGF= ∠ BGD= ∠ BGP+ ∠ DGP= 50°+30°=80°. 答案：C1.平面内有三条直线a，b，c，下列说法： ①若a ∥ b，b ∥ c，则a ∥ c； ②若a ⊥ b，b ⊥ c，则a ⊥ c. 其中正确的是( ) A. ① B. ② C. ①② D. 都不正确A2. [新考向传统文化中考·河北]榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD=( )A.70° B.100°C.110° D.130°C3. [期末·石家庄裕华区]已知直线BC, 嘉嘉和琪琪想画出BC的平行线，他们的方法如图，下列说法正确的是( )A. 嘉嘉和琪琪的方法都正确B. 嘉嘉的方法不正确，琪琪的方法正确C. 嘉嘉的方法正确，琪琪的方法不正确D. 嘉嘉和琪琪的方法都不正确A4. [中考·福建]在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠ 1 的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° A5. [中考·深圳 新趋势跨学科综合]如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO=122°，∠BON= 90°，则入射角∠AON的度数为( ) A.22° B.32° C.35° D.122° B6. [母题中考· 湖南教材P19 习题T3]如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，如果第一次转弯时∠CAB=145°，那么∠ABD=_______．145°7. [新视角 条件开放题]如图，A，D，E三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，如果添加一个条件，使AB∥CD，则可以添加的条件为_____________________(添加一个符合题意的条件即可)∠A＝∠CDE(答案不唯一)8. 如图，将木条a，b 与c 钉在一起，∠ 1=80°，∠ 2=50°，要使木条a 与b 平行，木条a 旋转的度数至少是______.30°9. [期中·西安长安区]某县积极推进“乡村振兴计划”，要对一段水渠进行扩建. 如图， 已知现有水渠从A地沿北偏东50°的方向到B 地，又从B 地沿北偏西20 ° 的方向到C地. 现要从C地出发修建一段新水渠CD，使CD∥AB，则∠BCD的度数为_______. 110°10.[月考·广州白云区] 如图，按要求画图. (1)经过点D画DE∥CB，交AB于点E. (2)经过点D画DF⊥AB，垂足为F. 解：(1)如图所示．(2)如图所示．11. 如图，已知BE⊥AC于点E，FG⊥AC于点G，∠ 1= ∠ 2，请判断∠ADE与∠ABC 的大小关系，并说明理由. 解：∠ADE＝∠ABC.理由如下：∵BE⊥AC，FG⊥AC，∴BE∥FG(同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)．∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行)．∴∠ADE＝∠ABC(两直线平行，同位角相等)．12. [中考·武汉]如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，∠B=80°. (1)求∠BAD的度数； 解：∵AD∥BC，∴∠B＋∠BAD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠B＝80°，∴∠BAD＝180°－80°＝100°.(2)若AE 平分∠ BAD 交BC 于点E， ∠ BCD=50°，试说明：AE∥DC. 解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝50°.∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE＝50°(两直线平行，内错角相等)．又∠BCD＝50°，∴∠BEA＝∠BCD.∴AE∥DC(同位角相等，两直线平行)．13. [新视角综合应用探究题]在学习完相交线与平行线后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，李老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能. (1)【问题初探】如图①，已知AE∥DC， ∠C= ∠DAE，试说明AD与BC的位置关系. 小明同学写出下列推理过程，请填写推理依据，补充完整. 解：因为AE∥DC， 所以∠C= ∠AEB，依据是 ______________________. 又因为∠C= ∠DAE， 所以∠AEB= ∠DAE. 由∠ AEB= ∠DAE得AD∥ BC，依据是______________________ . 两直线平行，同位角相等内错角相等，两直线平行(2)【拓展探究】在(1)的条件下，∠DFE， ∠ ADF，∠ AEB 三个角的关系为∠DFE=∠ADF+∠AEB，请说明理由. 解：如图所示，过点F作FG∥AD，∴∠DFG＝∠ADF.∵AD∥BC，∴FG∥BC，∴∠GFE＝∠AEB，∴∠DFE＝∠DFG＋∠EFG＝∠ADF＋∠AEB.(3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图②，工作篮底部与支撑平台平行，已知∠ 1=31 °，请求出∠ 2+ ∠ 3 的度数. 解：如图所示，∠1，∠2，∠3的顶点分别为C，B，F，依题意，得EF∥CD，过点B作BA∥CD，∴EF∥AB，∠ABC＝∠1＝31°，∴∠3＋∠FBA＝180°，∴∠2＋∠3＝∠3＋∠FBA＋∠ABC＝180°＋31°＝211°.