1.3.1利用平方差公式进行因式分解（教学课件）湘教版2025-2026学年八年级数学上册

1.3.1 利用平方差公式进行因式分解教学幻灯片分页内容第 1 页：标题页标题：1.3.1 利用平方差公式进行因式分解副标题：初中数学 [对应年级]授课教师：[教师姓名]日期：[授课日期]第 2 页：复习回顾与引入回顾整式乘法公式：我们学过平方差公式的整式乘法形式，即\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。问题引入：根据因式分解与整式乘法的互逆关系，你能将\(a^2 - b^2\)分解因式吗？（由整式乘法公式逆向可得\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)）引入概念：像这样利用平方差公式将多项式分解因式的方法，叫做利用平方差公式进行因式分解。学习意义：平方差公式是因式分解的重要方法之一，能快速分解特定形式的多项式，为解决更复杂的因式分解问题提供工具。第 3 页：学习目标知识目标：理解因式分解中平方差公式的推导过程；掌握平方差公式的结构特征和适用条件；能熟练运用平方差公式对多项式进行因式分解。能力目标：通过观察多项式的结构特征，培养判断多项式是否适用平方差公式的能力；在因式分解过程中，提高代数式变形的灵活性和准确性。情感目标：体会整式乘法与因式分解的互逆关系，感受数学知识的逻辑性和严谨性，激发学习数学的兴趣。第 4 页：知识点 1—— 平方差公式的因式分解形式公式推导：由整式乘法平方差公式\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)，逆向运用可得因式分解的平方差公式：\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)。语言描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。图形解释：结合正方形面积差模型，边长为\(a\)的正方形面积减去边长为\(b\)的正方形面积（\(a > b\)），可转化为长为\((a + b)\)、宽为\((a - b)\)的长方形面积，直观体现公式的几何意义。公式本质：将二项式的平方差形式转化为两个一次多项式的乘积形式。第 5 页：知识点 2—— 平方差公式的结构特征项数特征：多项式是二项式，即由两项组成。符号特征：两项的符号相反，一项为正，一项为负。形式特征：两项都能写成平方的形式，即可以表示为\(□^2 - △^2\)的形式（其中\(□\)和\(△\)可以是单项式或多项式）。示例分析：多项式\(x^2 - 9\)：是二项式，两项符号相反（\(x^2\)为正，\(-9\)为负），\(x^2 = x^2\)，\(9 = 3^2\)，符合平方差公式特征。多项式\(4a^2 - b^2\)：二项式，符号相反，\(4a^2=(2a)^2\)，\(b^2 = b^2\)，符合特征。多项式\(x^2 + y^2\)：两项符号相同，不符合特征；多项式\(x^3 - 4\)：\(x^3\)不是平方形式，不符合特征。第 6 页：例题 1—— 判断是否适用平方差公式例 1：下列多项式中，能利用平方差公式分解因式的是（ ）A. \(x^2 + y^2\) B. \(-x^2 - y^2\) C. \(x^2 - y^3\) D. \(-x^2 + y^2\)解析：A 选项两项符号相同，不符合；B 选项可化为\(-(x^2 + y^2)\)，两项符号相同，不符合；C 选项\(y^3\)不是平方形式，不符合；D 选项可化为\(y^2 - x^2\)，是二项式，符号相反，且都是平方形式，符合。答案：D例 2：下列多项式能否用平方差公式分解因式？若能，指出公式中的\(a\)和\(b\)分别是什么。（1）\(m^2 - 1\) 能，\(a = m\)，\(b = 1\)（2）\(4x^2 - 9y^2\) 能，\(a = 2x\)，\(b = 3y\)（3）\(x^2 + 2x\) 不能（不是平方差形式）（4）\((a + b)^2 - c^2\) 能，\(a = a + b\)，\(b = c\)第 7 页：知识点 3—— 利用平方差公式分解因式的步骤步骤详解：第一步：判断多项式是否符合平方差公式的结构特征（二项式、符号相反、两项都是平方形式）。第二步：将多项式写成\(□^2 - △^2\)的形式，明确\(□\)和\(△\)分别代表的代数式。第三步：套用平方差公式\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)，将多项式分解为\((□ + △)(□ - △)\)。第四步：检查分解结果是否彻底，若有公因式需先提取公因式，再用公式分解。示例演示：分解因式\(9a^2 - 16b^2\)。第一步：符合特征（二项式、符号相反、\(9a^2=(3a)^2\)，\(16b^2=(4b)^2\)）。第二步：写成\((3a)^2 - (4b)^2\)，其中\(□ = 3a\)，\(△ = 4b\)。第三步：套用公式得\((3a + 4b)(3a - 4b)\)。第四步：结果无公因式，分解彻底。第 8 页：例题 2—— 直接运用平方差公式分解因式例 2：分解因式。（1）\(x^2 - 25\)解析：\(x^2 - 25 = x^2 - 5^2=(x + 5)(x - 5)\)。（2）\(16m^2 - 9n^2\)解析：\(16m^2 - 9n^2=(4m)^2 - (3n)^2=(4m + 3n)(4m - 3n)\)。（3）\(\frac{1}{4}a^2 - b^2\)解析：\(\frac{1}{4}a^2 - b^2=(\frac{1}{2}a)^2 - b^2=(\frac{1}{2}a + b)(\frac{1}{2}a - b)\)。（4）\(-x^2 + 1\)解析：先整理为\(1 - x^2=1^2 - x^2=(1 + x)(1 - x)\)。第 9 页：知识点 4—— 先提公因式再用平方差公式重要原则：当多项式各项有公因式时，应先提取公因式，再运用平方差公式分解因式。示例分析：分解因式\(3x^3 - 3x\)。第一步：提取公因式\(3x\)，得\(3x(x^2 - 1)\)。第二步：\(x^2 - 1\)符合平方差公式特征，分解得\(3x(x + 1)(x - 1)\)。注意事项：提取公因式后，剩余的因式若符合平方差公式特征，必须继续分解，确保分解彻底。反例：分解\(2a^3 - 2ab^2\)时，错误结果\(2a(a^2 - b^2)\)（未继续分解）；正确结果\(2a(a + b)(a - b)\)。第 10 页：例题 3—— 提公因式后用平方差公式例 3：分解因式。（1）\(2x^2 - 8\)解析：先提取公因式\(2\)，得\(2(x^2 - 4)\)；\(x^2 - 4 = x^2 - 2^2=(x + 2)(x - 2)\)；结果为\(2(x + 2)(x - 2)\)。（2）\(a^3b - ab\)解析：提取公因式\(ab\)，得\(ab(a^2 - 1)\)；\(a^2 - 1=(a + 1)(a - 1)\)；结果为\(ab(a + 1)(a - 1)\)。（3）\(-4x^3y + 9xy^3\)解析：先提取公因式\(-xy\)，得\(-xy(4x^2 - 9y^2)\)；\(4x^2 - 9y^2=(2x)^2 - (3y)^2=(2x + 3y)(2x - 3y)\)；结果为\(-xy(2x + 3y)(2x - 3y)\)。第 11 页：知识点 5—— 平方差公式的拓展应用（多项式作为底数）拓展形式：当\(□\)和\(△\)是多项式时，平方差公式仍然适用，即\((m + n)^2 - (p + q)^2=[(m + n) + (p + q)][(m + n) - (p + q)]\)。分解步骤：将多项式底数看作一个整体，确定\(□\)和\(△\)。套用平方差公式分解。去括号后化简，检查是否能继续分解。示例分析：分解因式\((x + y)^2 - (x - y)^2\)。第一步：看作\(□^2 - △^2\)，其中\(□ = x + y\)，\(△ = x - y\)。第二步：套用公式得\([(x + y) + (x - y)][(x + y) - (x - y)]\)。第三步：去括号化简，\((2x)(2y)=4xy\)。第 12 页：例题 4—— 多项式作为底数的平方差分解例 4：分解因式。（1）\((a + 2b)^2 - 9c^2\)解析：看作\((a + 2b)^2 - (3c)^2=[(a + 2b) + 3c][(a + 2b) - 3c]=(a + 2b + 3c)(a + 2b - 3c)\)。（2）\(4(x + y)^2 - (x - y)^2\)解析：看作\([2(x + y)]^2 - (x - y)^2=[2(x + y) + (x - y)][2(x + y) - (x - y)]\)；去括号化简得\((3x + y)(x + 3y)\)。（3）\(x^2 - (y^2 - 2y + 1)\)解析：先将后一项化为平方形式，\(x^2 - (y - 1)^2=[x + (y - 1)][x - (y - 1)]=(x + y - 1)(x - y + 1)\)。第 13 页：典型例题 —— 综合应用平方差公式分解例 5：分解因式\(x^4 - 16\)。解析：先看作\((x^2)^2 - 4^2=(x^2 + 4)(x^2 - 4)\)；\(x^2 - 4\)继续用平方差公式分解得\((x + 2)(x - 2)\)；最终结果为\((x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)\)（注意\(x^2 + 4\)不能再分解）。例 6：分解因式\((a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2\)。解析：先展开看作\(a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2=a^4 - 2a^2b^2 + b^4\)（此步骤可省略）；直接看作平方差形式\((a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2=[(a^2 + b^2) + 2ab][(a^2 + b^2) - 2ab]\)；再用完全平方公式得\((a + b)^2(a - b)^2\)（体现公式综合应用）。第 14 页：易错点总结公式应用条件错误：对不符合平方差公式特征的多项式强行套用公式，如对\(x^2 + y^2\)分解为\((x + y)(x - y)\)（错误）。忽略两项符号必须相反的条件，如分解\(-x^2 - y^2\)时强行套用公式（应先提取负号，且无法用平方差公式分解）。分解步骤错误：多项式有公因式时未先提取公因式，直接套用公式，如分解\(2x^2 - 8\)时错误得\((\sqrt{2}x + 2\sqrt{2})(\sqrt{2}x - 2\sqrt{2})\)（正确应先提公因式）。分解不彻底，提取公因式或套用公式后未检查剩余因式是否可继续分解，如\(x^4 - 16\)分解为\((x^2 + 4)(x^2 - 4)\)后未继续分解。符号处理错误：对首项为负的多项式处理不当，如\(-x^2 + y^2\)分解为\(-(x + y)(x - y)\)（正确应为\((y + x)(y - x)\)）。多项式作为底数时去括号符号错误，如\((x - y)^2 - z^2\)分解为\((x - y + z)(x - y + z)\)（正确应为\((x - y + z)(x - y - z)\)）。第 15 页：课堂练习 1—— 基础题练习 1：选择题（1）分解因式\(x^2 - 1\)的结果是（ ）A. \((x + 1)(x - 1)\) B. \((x + 1)^2\) C. \((x - 1)^2\) D. \(x(x - 1)\)（2）下列分解因式正确的是（ ）A. \(a^2 - 4b^2=(a + 4b)(a - 4b)\) B. \(x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)\)C. \(4m^2 - n^2=(4m + n)(4m - n)\) D. \(-9 + y^2=-(3 + y)(3 - y)\)练习 2：分解因式（1）\(a^2 - 4\)（2）\(9x^2 - 16y^2\)（3）\(3x^2 - 3\)第 16 页：课堂练习 2—— 提高题练习 3：分解因式（1）\(x^3y - xy^3\)（2）2025-2026学年湘教版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化 思想．（重点）2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进 行因式分解．（难点） 如图，在边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么等式？a2 - b2 = (a + b)(a - b)用平方差公式进行因式分解想一想：多项式 x2 - y2 有什么特点？你能将它因式分解吗？是 x，y 两数的平方差的形式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式： 像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.x²－25＝ ＝ .在平方差公式中，将 y 用 5 代入得到等式：(x＋5)(x－5)＝ ＝ .x²－5²x²－25把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x²－25因式分解：x²－5²(x＋5)(x－5)(5x)2 - (2y)2例1 把多项式 25x²－4y² 因式分解. = (5x+2y)(5x-2y).xxyy x2 - y2 =解：原式 =5x2y5x5x2y2y2y分析 由 25x²＝(5x)² 和 4y²＝(2y)² 可知，√××辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来因式分解？为什么？√√（1）a2 + b2（2） - a2 - b2 - ( a2 + b2 )y2 - x2（3） - x2 + y2（4）x2 - 25y2( x + 5y )( x - 5y )（5）m2 - 1( m + 1 )( m - 1 )方法总结：公式中的 x、y 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.xxyy x2 - y2 = 把多项式 (x＋y)²－(x－y)² 因式分解. 解：原式＝[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝2x·2y＝4xy.例2 把多项式 x4－y4 因式分解.解： x4－y4＝( x2 )2－( y2 )2＝( x2＋y2 )(x2－y2 )＝( x2＋y2 )( x＋y )(x－y ). 分解因式：(1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2.针对训练＝(2m＋4n)(4m＋2n)解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b).(2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n )＝4(m＋2n)(2m＋n)．例3 把多项式 x5－x3y² 因式分解.分析：多项式 x5－x3y² 的各项有公因式 x3，故应先提公因式，然后运用公式法进行因式分解. 解：x5－x3y²＝x3(x2－y²) ＝x3( x＋y )(x－y).方法总结：因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.因式分解：(1) 5m2a4 － 5m2b4； (2) a2 － 4b2 － a － 2b.针对训练 ＝ ( a＋2b )( a－2b－1 ).＝ 5m2( a2＋b2)( a＋b )( a－b ).解：(1) 原式＝ 5m2( a4－b4 )＝ 5m2( a2＋b2)( a2－b2 )(2) 原式＝ ( a2－4b2 )－( a＋2b )＝ ( a＋2b )( a－2b )－( a＋2b )例4 把多项式 x4 － 9 因式分解.解： x4－9＝( x2 )2－32＝( x2＋3 )( x2－3 )  方法总结：在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.做一做：用简便方法计算：(1) 6.12－3.92； (2) 0.122－0.882.解：(1) 原式＝( 6.1＋3.9 )( 6.1－3.9 ) ＝10×2.2＝22.(2) 原式＝( 0.12＋0.88 )( 0.12－0.88 )＝1×(－0.76 )＝－0.76.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.例6 试说明：当 n 为整数时，多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除．即多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除．解：原式 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n • 2 = 8n.因为 n 为整数，所以8n 一定能被 8 整除，方法总结：说明整除问题的基本思路，就是将代数式化为整式的乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．例7 已知 x2 - y2 ＝ - 2，x ＋ y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值．所以 x - y＝ - 2 ②.解：因为 x2 - y2＝( x ＋ y )( x - y )＝ - 2，x ＋ y ＝ 1 ①，联立 ①② 组成二元一次方程组，方法总结：在与 x2 - y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立组成方程组求值.1. 下列多项式中能用平方差公式因式分解的是（　　）A．a2 ＋ ( - b)2 B．5m2 - 20mnC．- x2 - y2 D． - x2 ＋ 9D2. 因式分解 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（　　）A．3( x2 + 4x + 3 ) B．3( x2 + 2x + 3 )C．( 3x + 3 )( x + 3 ) D．3( x + 1 )( x + 3 ) D3. 若 a + b = 3，a - b = 7，则 b2 - a2 的值为（　　）A．- 21 B．21 C．- 10 D．10A4. 把下列各式因式分解：(1) 16a2 - 9b2 =__________________； (2) ( a + b )2 - ( a - b )2 =_______； (3) 9xy3 - 36x3y =____________________； (4) - a4 + 16 =______________________.( 4a + 3b )( 4a - 3b )4ab9xy( y + 2x )( y - 2x )( 4 + a2 )( 2 + a )( 2 - a )5. 若 ( 2x )n - 81 可分解成 ( 4x2 + 9 )( 2x + 3)( 2x - 3 )，则 n 的值是______.46. 已知 4m + n = 40，2m - 3n = 5，求 (m + 2n)2 - (3m - n)2 的值．原式 = -40×5 = -200.解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n)= (4m + n)(3n - 2m)= -(4m + n)(2m - 3n).当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时，7. 如图，在边长为 6.8 cm 的正方形钢板上，挖去 4 个边长为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面积．解：根据题意，得剩余部分面积为：6.82 - 4×1.62＝ 6.82 - (2×1.6)2＝ 6.82 - 3.22＝ (6.8 + 3.2)(6.8 - 3.2)＝ 10×3.6＝ 36 (cm2).答：剩余部分的面积为 36 cm2.8. (1) 992 - 1 能被 100 整除吗？解：(1) 因为 992 - 1 = ( 99 + 1)( 99 - 1 ) = 100×98，所以 ( 2n + 1)2 - 25 能被 4 整除.(2) n 为整数，( 2n + 1)2 - 25 能否被 4 整除？所以 992 - 1 能被 100 整除.(2) 原式 = ( 2n + 1 + 5 )( 2n + 1 - 5 )= ( 2n + 6 )( 2n - 4 ) = 2( n + 3) × 2( n - 2 ) = 4( n + 3 )( n - 2 ). CA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 返回   A. 大于零B. 小于零C. 等于零D. 不能确定AB 返回     返回          返回  （1）事实上，明明的解法是错误的，造成错误的原因是__________________；公因式没有提取完（2）请给出这个问题的正确解法.  返回 CA. 3种B. 4种C. 5种D. 6种 返回 A   返回 CA. 8B. 9C. 10D. 11  返回平方差公式分解因式公式a2 - b2 = ( a + b )( a - b )步骤一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！