1.2.1 提单项式公因式（教学课件）湘教版2025-2026学年八年级数学上册

1.2.1 提单项式公因式教学幻灯片分页内容第 1 页：标题页标题：1.2.1 提单项式公因式副标题：初中数学 [对应年级]授课教师：[教师姓名]日期：[授课日期]第 2 页：复习回顾回顾因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。回顾公因式定义：多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。问题引入：上节课我们知道公因式可以是单项式或多项式，本节课我们重点学习公因式是单项式的情况 —— 提单项式公因式。学习意义：提单项式公因式是因式分解中最基础的方法，是后续学习其他因式分解方法的前提。第 3 页：学习目标知识目标：明确单项式公因式的概念；熟练掌握确定单项式公因式的方法；能运用提单项式公因式法对多项式进行因式分解。能力目标：通过观察多项式各项的特征，培养分析和归纳能力；在分解因式过程中，提高代数式变形的准确性和熟练度。情感目标：感受数学知识的逻辑性和严谨性，在解决问题中获得成就感，增强学习数学的信心。第 4 页：知识点 1—— 单项式公因式的概念定义：当多项式的公因式是一个单项式时，这个公因式叫做单项式公因式。特征：由数字因数和字母因式组成，是多项式各项都含有的单项式。示例：多项式\(3x + 6\)的公因式是单项式\(3\)。多项式\(ab - ac\)的公因式是单项式\(a\)。多项式\(x^2y + xy^2\)的公因式是单项式\(xy\)。与公因式关系：单项式公因式是公因式的一种特殊形式，公因式还可以是多项式。第 5 页：知识点 2—— 确定单项式公因式的方法系数部分：取多项式各项系数的最大公约数。示例：多项式\(8x^2 + 12x\)中，8 和 12 的最大公约数是 4。字母部分：取各项都含有的相同字母。取相同字母的最低次幂。示例：多项式\(6a^3b^2 - 4a^2b^3 + 2a^2b\)中，相同字母为\(a\)、\(b\)；\(a\)的最低次幂是\(a^2\)，\(b\)的最低次幂是\(b\)，所以字母部分公因式是\(a^2b\)。组合公因式：将系数的最大公约数与字母部分的公因式相乘，得到单项式公因式。示例：上述多项式的单项式公因式是\(2×a^2b = 2a^2b\)（6、-4、2 的最大公约数是 2）。第 6 页：例题 1—— 确定单项式公因式例 1：找出下列多项式的单项式公因式。（1）\(5x^3 - 10x^2\)解析：系数 5 和 - 10 的最大公约数是 5；相同字母是\(x\)，最低次幂是\(x^2\)；公因式是\(5x^2\)。（2）\(12a^2b^3 - 8a^3b^2 + 4a^2b\)解析：系数 12、-8、4 的最大公约数是 4；相同字母是\(a\)、\(b\)，\(a\)的最低次幂是\(a^2\)，\(b\)的最低次幂是\(b\)；公因式是\(4a^2b\)。（3）\(-6m^3n^2 + 3m^2n - 9mn\)解析：系数 - 6、3、-9 的最大公约数是 3（注意符号，先不考虑负号）；相同字母是\(m\)、\(n\)，\(m\)的最低次幂是\(m\)，\(n\)的最低次幂是\(n\)；公因式是\(3mn\)（后续处理符号）。第 7 页：知识点 3—— 提单项式公因式的分解步骤步骤详解：第一步：确定多项式各项的单项式公因式。第二步：用公因式去除多项式的每一项，得到另一个因式（确保另一个因式中不再含有该公因式）。第三步：把多项式写成公因式与另一个因式的积的形式，即\(ma + mb + mc = m(a + b + c)\)（其中\(m\)是单项式公因式）。示例演示：分解因式\(8x^3y^2 + 12x^2y^3\)。第一步：确定公因式为\(4x^2y^2\)。第二步：计算每一项除以公因式的结果，\(8x^3y^2÷4x^2y^2 = 2x\)，\(12x^2y^3÷4x^2y^2 = 3y\)。第三步：写成积的形式，\(8x^3y^2 + 12x^2y^3 = 4x^2y^2(2x + 3y)\)。第 8 页：例题 2—— 提单项式公因式分解因式（一）例 2：分解因式。（1）\(6a^2b - 9ab^2\)解析：公因式是\(3ab\)；\(6a^2b÷3ab = 2a\)，\(-9ab^2÷3ab = -3b\)；结果为\(3ab(2a - 3b)\)。（2）\(x^3y^2 + x^2y^3 - x^2y^2\)解析：公因式是\(x^2y^2\)；\(x^3y^2÷x^2y^2 = x\)，\(x^2y^3÷x^2y^2 = y\)，\(-x^2y^2÷x^2y^2 = -1\)；结果为\(x^2y^2(x + y - 1)\)（注意不要漏项）。（3）\(5x(x - 2) - 3(x - 2)\)解析：此题为干扰项，公因式是多项式\((x - 2)\)，非单项式公因式，后续学习。第 9 页：知识点 4—— 提单项式公因式的注意事项（一）注意事项 1：公因式要提尽。含义：提取公因式后，另一个因式中不能再含有公因式。反例：分解\(4x^2 - 8x\)时，错误结果\(2x(2x - 4)\)（\(2x - 4\)还能提取公因式 2）；正确结果\(4x(x - 2)\)。注意事项 2：不要漏项。含义：多项式有几项，提取公因式后括号内就应有几项，特别注意常数项为 1 或 - 1 的情况。反例：分解\(x^2 + x\)时，错误结果\(x(x)\)（漏掉常数项 1）；正确结果\(x(x + 1)\)。第 10 页：例题 3—— 提单项式公因式分解因式（二）例 3：分解因式（强化公因式提尽和不遗漏项）。（1）\(12x^3 - 6x^2 + 3x\)解析：公因式是\(3x\)；\(12x^3÷3x = 4x^2\)，\(-6x^2÷3x = -2x\)，\(3x÷3x = 1\)；结果为\(3x(4x^2 - 2x + 1)\)。（2）\(8a^3b^2c - 12ab^3c + 4ab^2c\)解析：公因式是\(4ab^2c\)；\(8a^3b^2c÷4ab^2c = 2a^2\)，\(-12ab^3c÷4ab^2c = -3b\)，\(4ab^2c÷4ab^2c = 1\)；结果为\(4ab^2c(2a^2 - 3b + 1)\)。第 11 页：知识点 5—— 提单项式公因式的注意事项（二）注意事项 3：首项系数为负时先提负号。操作方法：若多项式的首项系数是负数，应先提取负号，使括号内的首项系数为正数，提取负号后各项都要变号。示例：分解\(-3x^2 + 6xy - 3x\)，先提取\(-3x\)，得到\(-3x(x - 2y + 1)\)（注意各项符号变化）。注意事项 4：公因式中字母的指数是最低次幂。强调：相同字母的指数取最低次幂，而非最高次幂或其他次数。反例：分解\(x^3 + x^2\)时，错误提取\(x^3\)得到\(x^3(1 + x^{-1})\)（出现负指数，不符合整式要求）；正确提取\(x^2\)得到\(x^2(x + 1)\)。第 12 页：例题 4—— 首项为负的提公因式分解例 4：分解因式（首项系数为负）。（1）\(-5x^2 + 15x - 10\)解析：首项为负，先提取\(-5\)；\(-5x^2÷(-5) = x^2\)，\(15x÷(-5) = -3x\)，\(-10÷(-5) = 2\)；结果为\(-5(x^2 - 3x + 2)\)。（2）\(-a^3b + a^2b^2 - ab^3\)解析：首项为负，先提取\(-ab\)；\(-a^3b÷(-ab) = a^2\)，\(a^2b^2÷(-ab) = -ab\)，\(-ab^3÷(-ab) = b^2\)；结果为\(-ab(a^2 - ab + b^2)\)。第 13 页：典型例题 —— 综合应用例 5：分解因式\(2x^2y - 4xy^2 + 2xy\)。解析：第一步确定公因式，系数 2、-4、2 的最大公约数是 2；相同字母是\(x\)、\(y\)，最低次幂分别是\(x\)、\(y\)，公因式是\(2xy\)。第二步每一项除以公因式，\(2x^2y÷2xy = x\)，\(-4xy^2÷2xy = -2y\)，\(2xy÷2xy = 1\)。结果为\(2xy(x - 2y + 1)\)。例 6：分解因式\(-3m^3n + 6m^2n^2 - 3mn^3\)。解析：首项为负，先提取\(-3mn\)；\(-3m^3n÷(-3mn) = m^2\)，\(6m^2n^2÷(-3mn) = -2mn\)，\(-3mn^3÷(-3mn) = n^2\)。结果为\(-3mn(m^2 - 2mn + n^2)\)（后续可继续分解，但本节课到此为止）。第 14 页：易错点总结公因式确定错误：系数部分未取最大公约数，如将\(6x + 9\)的公因式错定为 2（正确是 3）。字母部分漏取或取错次数，如\(x^3y + x^2y^2\)的公因式错定为\(x^3y\)（正确是\(x^2y\)）。分解过程错误：提取公因式后漏项，尤其是常数项 1 或 - 1，如\(ax + ay\)分解为\(a(x + )\)（漏掉\(y\)）或\(a(x)\)（漏掉\(y\)）。首项为负时未变号，如\(-x^2 + x\)分解为\(-x(x + 1)\)（正确是\(-x(x - 1)\)）。公因式未提尽，导致另一个因式仍有公因式，如\(4x^2 - 8x\)分解为\(2x(2x - 4)\)（正确是\(4x(x - 2)\)）。第 15 页：课堂练习 1—— 基础题练习 1：选择题（1）多项式\(6x^2y - 9xy^2 + 3x^2y^2\)的单项式公因式是（ ）A. \(3x\) B. \(3y\) C. \(3xy\) D. \(3x^2y^2\)（2）分解因式\(-4x^3 + 8x^2 - 4x\)的结果正确的是（ ）A. \(-4x(x^2 - 2x + 1)\) B. \(4x(-x^2 + 2x - 1)\) C. \(-4x(x^2 + 2x + 1)\) D. \(-x(4x^2 - 8x + 4)\)练习 2：分解因式（1）\(7a^2b - 14ab^2\)（2）\(x^3y^3 + x^2y^2 - xy\)（3）\(-12x^2 + 18x - 6\)第 16 页：课堂练习 2—— 提高题练习 3：分解因式（1）\(2a^2b^3c - 4ab^2c^2 + 6a^3b^2c\)（2）\(-x^2y + xy^2 - xyz\)练习 4：已知多项式\(x^2y + xy^2 = xy(x + y)\)，当\(x + y = 5\)，\(xy = 3\)时，求该多项式的值。第 17 页：作业布置基础作业：教材第 [X] 页习题 [X] 第 1、2 题（只做提单项式公因式的题目）。提高作业：（1）分解因式\(3x^2(x - 2) - 6x(x - 2)\)（提示：先确定公因式）。（2）若\(a + b = 4\)，求多项式\(a^2b + ab^2 - 4b\)的值（先因式分解再代入）。拓展作业：思考如何分解因式\(2x^{n+1} - 4x^n + 2x^{n-1}\)（\(n\)为大于 1 的整数）。2025-2026学年湘教版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题；（重点）2. 能简单运用提公因式法进行因式分解.（难点）问题：整数 18，42，60 的最大公因数是什么？18 = 6×342 = 6×760 = 6×106思考：多项式 z2 + yz 中每一项的因式分别是什么？你发现什么？每一项中均有因式 zz2 的因式是 z 和 zyz 的因式是 y 和 zpa + pb + pc提单项式公因式分解因式几个多项式的相同因式称为它们的公因式.相同因式 p问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ x2 ＋ x相同因式 x(a + b + c)pa + pb + pcp= 像上面这样，如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法.找 3 x 2 – 6 x y 的公因式.系数：最大公因数3字母：相同的字母x 所以公因式是 3x指数：相同字母的最低次数1问题2 如何确定一个多项式的公因式？正确找出多项式的公因式的步骤：3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即相同字母的最低次数.1. 定系数：对于整数系数的多项式来说，公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数；2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；找一找：下列各多项式的公因式是什么？3aa23mn-2xy(1) 3x + 6y(2) ab - 2ac(3) a2 - a3(4) 9m2n - 6mn (5) - 6x2y - 8xy2 例1 把 4x2－6x3 因式分解．分析： 1. 定系数：多项式由 4x² 和 －6x3 这两项组成，它们的系数分别为 4，－6，不考虑其符号，则 4 与 6 的最大公因数是 2；2. 定字母：这两项都含有字母 x，3. 定指数： x 的最低次数为 2. 因此，可提出公因式 2x².解：4x2－6x3 = 2x²(2－3x).例2 把 8x²y4－12xy²z 因式分解．解： 8x²y4－12xy²z＝ 4xy² · 2xy²－4xy² · 3z＝4xy²(2xy²－3z). 三名同学对多项式 2x²＋4x 进行因式分解，结果如下：(1) 2x² + 4x = 2(x² + 2x)；(2) 2x² + 4x = x(2x + 4)；(3) 2x² + 4x = 2x(x + 2).上述结果正确吗？用提公因式法分解因式时，你认为应注意什么？注意：公因式要提尽.(1)错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 x.(2)错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 2.(3) 正确. 注意：某项提出莫漏 1.例3 把多项式 5x²－3xy＋x 因式分解.分析： 1. 定系数：多项式由 5x²，－3xy 和 x 这三项组成，它们的系数分别为 5，－3，1，不考虑其符号，则5，3，1的最大公因数是 1；2. 定字母：这三项都含有字母 x，3. 定指数： x 的最低次数为1.因此，可提出公因式x.解：5x²－3xy＋x＝x(5x－3y＋1).例4 把多项式 －3x²＋6xy－3xz 因式分解.注意：首项有负常提负.分析：多项式 －3x²＋6xy－3xz 的首项系数为负数，一般先将负号提取出来，此时括号内各项都要改变符号，然后进行因式分解.解：－3x²＋6xy－3xz = －(3x²－6xy＋3xz)=－3x(x－2y＋z).1.因式分解：(1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 3a²－9ab；(3) －5a² + 25a.解：(1) 3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3).(2) 3a²－9ab = 3a(а－3b).(3) －5a² + 25a = －5a(a－5).2. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值.所以 原式＝ab(a ＋ b)＝4×7＝28.解：因为 a＋b＝7，ab＝4，方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可.1. 多项式 15m3n2 + 5m2n - 20m2n3 的公因式是（　　）A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2 2. 下列多项式的因式分解，正确的是（　　）A．12xyz - 9x2y2 = 3xyz（4 - 3xyz） B．3a2y - 3ay + 6y = 3y（a2 - a + 2） C．- x2 + xy - xz = - x（x2 + y - z） D．a2b + 5ab - b = b（a2 + 5a） BC3. 把下列各式分解因式：(1) 8m2n + 2mn = _____________；(2) 12xyz - 9x2y2 = _____________；(3) - x3y3 - x2y2 - xy = _________________.2mn ( 4m + 1)3xy ( 4z - 3xy) - xy ( x2y2 + xy + 1)4. 把 - 24x3 - 12x2 + 28x 分解因式.5. 简便计算：(1) 1.992 + 1.99 × 0.01； (2) 20002 + 2000 - 20012；(3) (- 2)101 + (- 2)100.(2) 原式 = 2000×(2000+1) - 20012 = 2000×2001 - 20012 = 2001×(2000 - 2001) = -2001．解：(1) 原式 = 1.99(1.99 + 0.01) = 3.98.(3) 原式 = (- 2)100×(- 2 + 1) = 2100×(- 1) = - 2100.6. 已知 2x + y = 4，xy = 3，求代数式 2x2y + xy2 的值.解：2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12. B  A  返回 B    返回      返回        返回 BA. 6 B. 7 C. 8 D. 9  返回 30  返回 0  返回2. 确定公因式的方法： 一看系数，二看字母，三看指数.1. 提公因式法分解因式步骤 (分两步)：第一步，找出公因式；第二步，提公因式.3. 用提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽；（2）小心漏项；（3）多项式的首项取正号.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！