湘教版（2024）八年级数学上册 第5章 直角三角形（试卷含答案）

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第5章 直角三角形 一、选择题（每题3分，共30分） 1．在Rt△ABC中，若一个锐角等于45∘ ，则另一个锐角的度数为（ ） A. 40∘ B. 45∘ C. 50∘ D. 60∘ 【答案】B 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘ ，∠A=30∘ ，且AB=6，则BC=（ ） （第2题） A. 10 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两个锐角对应相等 B. 一个锐角和斜边对应相等 C. 两条直角边对应相等 D. 一条直角边和斜边对应相等 【答案】A 4．边长分别是下列各组数的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. 5，10，13 B. 5，7，8 C. 8，25，27 D. 7，24，25 【答案】D 5．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点.若△ABD的面积为9，AB=6，则线段DP的长不可能是（ ） （第5题） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5.5 【答案】A 6．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=36∘ ，则∠DCB的度数为（ ） A. 54∘ B. 64∘ C. 72∘ D. 75∘ 【答案】A 7．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断出∠B是不是直角.这样做的依据是（ ） （第7题） A. 勾股定理 B. 勾股定理的逆定理 C. 三角形内角和定理 D. 直角三角形的两锐角互余 【答案】B 8．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ） （第8题） A. △ABC三条中线的交点 B. △ABC三边的垂直平分线的交点 C. △ABC三条角平分线的交点 D. △ABC三条高线的交点 【答案】C 9．我国古代数学家赵爽拼成的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形（如图），如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2=ab+10，那么小正方形的面积为（ ） （第9题） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 10．如图，在△ABC中，∠C=90∘ ，AC=8，BC=6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE=6，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为（ ） （第10题） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】A 二、填空题（每题3分，共24分） 11．若直角三角形的两条直角边长分别为12和16，则它的斜边上的中线长为. 【答案】10 12．如图，PM⊥OA，PN⊥OB,垂足分别为M，N，PM=PN,∠BOC=20∘ ，则∠AOB=_ _ _ _ _ _ . （第12题） 【答案】40∘ 13．如图，AB=DC，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （第13题） 【答案】AE=DF（答案不唯一） 14．已知a，b，c是△ABC的三边长且c=5，a，b满足关系式a−4+b−32=0，则△ABC的最大内角为_ _ _ _ _ _ . 【答案】90∘ 15．如图，甲，乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12nmile/h的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1h后甲，乙两艘轮船分别到达A，B两地，且AB=20nmile，则乙轮船每小时航行nmile. （第15题） 【答案】16 16．勾股定理的表达式a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解a,b,c通常叫作勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：3,4,5，5,12,13，7,24,25，⋯ .分析这些勾股数组可以发现：4=1×3+1，12=2×5+1，24=3×7+1，⋯ .分析上面的规律，第5个勾股数组为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】11,60,61 17．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，E的边长分别是4，3，4，16，则正方形D的面积是_ _ . （第17题） 【答案】215 18．如图，已知AD//BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF=4cm，AB=5cm. 则下列结论：①PF⊥BC;②PE=PF；③△ABP≌△PBF；④△APB的面积为5cm2.其中正确结论的序号是_ _ . 【答案】①②④ 三、解答题（共66分） 19．（6分）如图，AD，BE为△ABC的高，AD，BE相交于点H，∠C=50∘ ，求∠BHD的度数. 解：因为AD是△ABC的高，所以∠ADC=90∘ ，所以∠BHD+∠HBD=90∘ .因为BE是△ABC的高，所以∠AEB=90∘ ，所以∠HBD+∠C=90∘ ，所以∠BHD=∠C.又因为∠C=50∘ ，所以∠BHD=50∘ . 20．（6分）如图，D为△ABC的边BC上的一点，AB=20，AC=13，AD=12，DC=5，求BD的长. 解：因为AC=13，AD=12，DC=5，且52+122=169=132，所以DC2+AD2=AC2，所以△ACD是直角三角形，∠ADC=90∘ ，所以∠ADB=180∘−∠ADC=90∘ .因为AB=20，AD=12，所以BD=AB2−AD2=202−122=16. 21．（8分）如图，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE=CF.求证：AD平分∠BAC. 证明：因为AD是△ABC的中线，所以CD=BD. 因为DF⊥AC，DE⊥AB，所以∠CFD=∠BED=90∘ . 在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD=BD,CF=BE, 所以Rt△CDF≌Rt△BDE，所以DF=DE. 又因为DF⊥AC，DE⊥AB，所以AD平分∠BAC. 22．（8分）如图，在△ABC中，∠A=30∘ ，∠ACB=90∘ ，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，连接CE. （1） 若AD=6，求CD的长； （2） 判断△BCE的形状，并说明理由. 【答案】 （1） 解：因为∠A=30∘ ，∠ACB=90∘ ，所以∠ABC=60∘ . 因为BD平分∠ABC，所以∠DBA=∠CBD=12∠ABC=30∘ ，所以∠A=∠DBA，所以DB=DA=6， 所以CD=12BD=3. （2） △BCE是等边三角形.理由：因为DB=DA，DE⊥AB，所以BE=EA.在Rt△ACB中，因为∠A=30∘ ，所以BC=12AB=BE=EA，所以△BCE是等边三角形. 23．（9分）如图，在△ABC中，已知AB=10，BC=8，AC=6，CD是△ABC的中线，CE⊥AB于点E. （1） 求CD的长； （2） 求DE的长. 【答案】 （1） 解：由BC=8，AC=6,得BC2+AC2=82+62=100， 由AB=10,得AB2=102=100,所以AB2=BC2+AC2， 所以△ABC为直角三角形,且∠ACB=90∘ . 又因为CD是△ABC的中线, 所以CD=12AB=5. （2） 由（1）知△ABC为直角三角形,且∠ACB=90∘ ， 又因为CE⊥AB,所以S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CE，所以12×8×6=12×10×CE,解得CE=4.8.易知△CDE为直角三角形,所以由勾股定理,得DE2=CD2−CE2=52−4.82=1.96，所以DE=1.4. 24．（9分）如图，某两名同学为了测量风筝离地面AE的高度，测得牵线放风筝的同学的头顶与风筝的水平距离为8m.已知牵线放风筝的同学的身高为1.6m，放出的风筝线长度为17m（其中风筝本身的长宽忽略不计）. （1） 求此刻风筝离地面的高度； （2） 为了不与空中障碍物相撞，放风筝的同学要使风筝沿CD方向下降9m，若该同学站在原地收线，请问他应该收回多少米？ 【答案】 （1） 解：由题意，得BC=17m，∠BDC=90∘ ，BD=8m，DE=1.6m.在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=BC2−BD2=172−82=15m，所以CE=CD+DE=15+1.6=16.6m， 所以此刻风筝离地面的高度为16.6m. （2） 如图，设风筝沿CD方向下降9m至点M，此时风筝线为BM，则CM=9m，所以DM=CD−CM=15−9=6m，所以BM=BD2+DM2=82+62=10m.所以BC−BM=17−10=7m，所以放风筝的同学要使风筝沿CD方向下降9m，若该同学站在原地收线，他应收回7m. 25．（10分）如图，A，B两个小镇在河流CD的同侧，到河边的距离分别为AC=6km，BD=14km，且CD=15km，现要在河边建一座自来水厂，向A，B两镇直接供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最低，并求出总费用是多少. 解：如图，作点A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD交于点M，连接AM，过点A′作A′K⊥BD，交BD的延长线于点K， 易知A′C=AC=6km，AM=A′M， 所以AM+BM=A′M+BM=A′B， 易知AM+BM的最小值为A′B的长，此时铺设水管的费用最低. 因为BD⊥CD，AA′⊥CD， 所以AA′//BD，同理可得CD//A′K. 由平行线之间的距离处处相等可得DK=A′C=6km，A′K=CD=15km，所以BK=BD+DK=20km，所以A′B=152+202=25km.所以此时的总费用为25×3=75（万元）. 26．（10分）在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E. （1） 若B，C在DE的同侧（如图①）,且AD=CE，求证：AB⊥AC. （2） 若B，C在DE的两侧（如图②），且AD=CE，其他条件不变，AB与AC仍互相垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由. 【答案】 （1） 证明：因为BD⊥DE，CE⊥DE， 所以∠ADB=∠CEA=90∘ . 在Rt△ABD和Rt△CAE中，因为AB=CA,AD=CE, 所以Rt△ABD≌Rt△CAE.所以∠DBA=∠EAC. 又因为∠DAB+∠DBA=90∘ ，所以∠DAB+∠CAE=90∘ .所以∠BAC=90∘ .所以AB⊥AC. （2） 解：AB与AC仍互相垂直.证明： 因为BD⊥DE,CE⊥DE,所以∠ADB=∠CEA=90∘ . 在Rt△ABD和Rt△CAE中，因为AB=CA,AD=CE, 所以Rt△ABD≌Rt△CAE.所以∠DAB=∠ECA. 又因为∠CAE+∠ECA=90∘ ，所以∠CAE+∠DAB=90∘ ，所以∠BAC=90∘ ，所以AB⊥AC.