1.2.2提多项式公因式（教学课件）湘教版2025-2026学年八年级数学上册

1.2.2 提多项式公因式教学幻灯片分页内容第 1 页：标题页标题：1.2.2 提多项式公因式副标题：初中数学 [对应年级]授课教师：[教师姓名]日期：[授课日期]第 2 页：复习回顾与引入回顾上节课内容：上节课学习了提单项式公因式，知道当公因式是单项式时，可直接提取公因式将多项式分解因式。问题情境：观察多项式\(5x(x - 2) - 3(x - 2)\)，各项的公因式是什么？（不是单项式，而是多项式\(x - 2\)）引入概念：当多项式的公因式是一个多项式时，这种公因式叫做多项式公因式，提取多项式公因式的方法叫做提多项式公因式法。学习意义：提多项式公因式是提公因式法的重要组成部分，能解决更复杂的因式分解问题，为后续学习打下基础。第 3 页：学习目标知识目标：理解多项式公因式的概念；掌握确定多项式公因式的方法；能熟练运用提多项式公因式法对多项式进行因式分解。能力目标：通过观察多项式的结构特征，培养分析和判断能力；在分解因式过程中，提高代数式变形的灵活性和准确性。情感目标：体会数学知识的连贯性和逻辑性，在解决问题中感受成功的喜悦，增强学习数学的兴趣。第 4 页：知识点 1—— 多项式公因式的概念定义：当多项式的公因式是一个多项式时，这个公因式叫做多项式公因式。特征：由多个单项式组成的多项式，是多项式各项都含有的公共因式。示例：多项式\(3(x + y) + a(x + y)\)的公因式是多项式\(x + y\)。多项式\(m(a - b) - n(b - a)\)的公因式可转化为多项式\(a - b\)（或\(b - a\)）。多项式\(x(x - 1) + 2(x - 1)\)的公因式是多项式\(x - 1\)。与单项式公因式的区别：单项式公因式是单个单项式，多项式公因式是由单项式组成的多项式。第 5 页：知识点 2—— 确定多项式公因式的方法观察多项式结构：分析多项式各项是否含有相同的多项式因式。符号转化：当多项式各项中所含的多项式因式符号相反时，可通过提取负号转化为相同的多项式公因式。例如，\(b - a = -(a - b)\)，\(-x - y = -(x + y)\)。整体看待：将多项式因式看作一个整体（相当于一个 “字母”），判断是否为各项的公共因式。例题：找出下列多项式的多项式公因式。（1）\(2(x - 3) + x(3 - x)\)解析：先将\(x(3 - x)\)转化为\(-x(x - 3)\)，则多项式变为\(2(x - 3) - x(x - 3)\)，公因式是\(x - 3\)。（2）\((a + b)(a - b) - 3(a + b)\)解析：各项都含有多项式\(a + b\)，公因式是\(a + b\)。第 6 页：例题 1—— 确定多项式公因式例 1：找出下列多项式的多项式公因式。（1）\(4m(a + b) - n(a + b)\)解析：各项都含有多项式\(a + b\)，公因式是\(a + b\)。（2）\(x(x + y) - (x + y)^2\)解析：各项都含有多项式\(x + y\)，公因式是\(x + y\)。（3）\(3(a - b)^2 + 6(b - a)\)解析：将\(6(b - a)\)转化为\(-6(a - b)\)，多项式变为\(3(a - b)^2 - 6(a - b)\)，公因式是\(3(a - b)\)（包含数字因数和多项式因式）。第 7 页：知识点 3—— 提多项式公因式的分解步骤步骤详解：第一步：确定多项式各项的多项式公因式（若有符号问题先进行符号转化）。第二步：用多项式公因式去除多项式的每一项，得到另一个因式（将多项式公因式看作一个整体进行除法运算）。第三步：把多项式写成多项式公因式与另一个因式的积的形式，即\(m(a + b) + n(a + b)=(a + b)(m + n)\)（其中\(a + b\)是多项式公因式）。示例演示：分解因式\(5x(x - 2) - 3(x - 2)\)。第一步：确定公因式为\(x - 2\)。第二步：计算每一项除以公因式的结果，\(5x(x - 2)÷(x - 2)=5x\)，\(-3(x - 2)÷(x - 2)=-3\)。第三步：写成积的形式，\(5x(x - 2) - 3(x - 2)=(x - 2)(5x - 3)\)。第 8 页：例题 2—— 提多项式公因式分解因式（一）例 2：分解因式。（1）\(3(a + b) + a(a + b)\)解析：公因式是\(a + b\)；\(3(a + b)÷(a + b)=3\)，\(a(a + b)÷(a + b)=a\)；结果为\((a + b)(3 + a)\)。（2）\(x(x - y) + y(y - x)\)解析：先将\(y(y - x)\)转化为\(-y(x - y)\)，多项式变为\(x(x - y) - y(x - y)\)；公因式是\(x - y\)；\(x(x - y)÷(x - y)=x\)，\(-y(x - y)÷(x - y)=-y\)；结果为\((x - y)(x - y)=(x - y)^2\)。第 9 页：知识点 4—— 提多项式公因式的注意事项（一）注意事项 1：符号转化要正确。关键：当多项式各项中的多项式因式符号相反时，提取负号后括号内各项都要变号。示例：\(m(b - a) = -m(a - b)\)，\(-2(x - y) = 2(y - x)\)。反例：分解\(a(b - a) - c(a - b)\)时，错误转化为\(a(b - a) + c(b - a)\)（正确），若错写为\(a(b - a) - c(b - a)\)则符号错误。注意事项 2：公因式可以是多项式与单项式的乘积。含义：公因式可能既包含数字因数、单项式因式，又包含多项式因式，要完整提取。示例：多项式\(2(x - 1)^2 + 4(x - 1)\)的公因式是\(2(x - 1)\)。第 10 页：例题 3—— 提多项式公因式分解因式（二）例 3：分解因式（含符号转化和混合公因式）。（1）\(6(m - n)^3 - 12(n - m)^2\)解析：将\(-12(n - m)^2\)转化为\(-12(m - n)^2\)；公因式是\(6(m - n)^2\)；\(6(m - n)^3÷6(m - n)^2=(m - n)\)，\(-12(m - n)^2÷6(m - n)^2=-2\)；结果为\(6(m - n)^2(m - n - 2)\)。（2）\(3x(x - 2) - 6x^2(2 - x)\)解析：将\(-6x^2(2 - x)\)转化为\(6x^2(x - 2)\)；多项式变为\(3x(x - 2) + 6x^2(x - 2)\)；公因式是\(3x(x - 2)\)；\(3x(x - 2)÷3x(x - 2)=1\)，\(6x^2(x - 2)÷3x(x - 2)=2x\)；结果为\(3x(x - 2)(1 + 2x)\)。第 11 页：知识点 5—— 提多项式公因式的注意事项（二）注意事项 3：分解要彻底。含义：提取多项式公因式后，要检查另一个因式是否还能继续分解因式（若能，需进一步分解）。示例：分解\((x^2 + 2x)(x + 2) - x - 2\)，先转化为\((x^2 + 2x)(x + 2) - (x + 2)=(x + 2)(x^2 + 2x - 1)\)，\(x^2 + 2x - 1\)不能再分解，分解彻底。注意事项 4：整体思想的应用。方法：将多项式公因式看作一个整体，在提取公因式和后续计算中保持整体的完整性。示例：分解\((a + b)^2 - 2(a + b)\)，把\(a + b\)看作整体，提取公因式得\((a + b)(a + b - 2)\)。第 12 页：例题 4—— 提多项式公因式综合应用例 4：分解因式。（1）\((x + y)(x - y) - x - y\)解析：将\(-x - y\)转化为\(-(x + y)\)；多项式变为\((x + y)(x - y) - (x + y)\)；公因式是\(x + y\)；结果为\((x + y)(x - y - 1)\)。（2）\(a(x - y)^2 + b(y - x)^3\)解析：将\(b(y - x)^3\)转化为\(-b(x - y)^3\)；多项式变为\(a(x - y)^2 - b(x - y)^3\)；公因式是\((x - y)^2\)；结果为\((x - y)^2(a - b(x - y))=(x - y)^2(a - bx + by)\)。第 13 页：典型例题 —— 复杂多项式公因式分解例 5：分解因式\(x(x - 3) - 4(3 - x) + 5(x - 3)\)。解析：先将\(-4(3 - x)\)转化为\(4(x - 3)\)；多项式变为\(x(x - 3) + 4(x - 3) + 5(x - 3)\)；公因式是\(x - 3\)；每一项除以公因式得\(x\)、\(4\)、\(5\)；结果为\((x - 3)(x + 4 + 5)=(x - 3)(x + 9)\)。例 6：分解因式\((a - b)^2 + 2(a - b)c + c^2\)。解析：把\(a - b\)看作整体，多项式可看作\((a - b)^2 + 2(a - b)c + c^2\)，符合完全平方公式，结果为\((a - b + c)^2\)（体现整体思想的拓展应用）。第 14 页：易错点总结公因式确定错误：忽略符号问题，未能将相反符号的多项式因式转化为相同的公因式，如分解\(m(a - b) + n(b - a)\)时，找不到公因式。漏提公因式中的单项式部分，如多项式\(2(x - 1) + 4x(x - 1)\)的公因式错定为\(x - 1\)（正确是\(2(x - 1)\)）。分解过程错误：符号转化错误，提取负号后括号内项未变号，如\(n(b - a)=n(a - b)\)（正确是\(-n(a - b)\)）。分解不彻底，提取公因式后另一个因式仍可分解却未继续分解。整体思想应用不当，将多项式公因式拆分开来，导致分解错误。第 15 页：课堂练习 1—— 基础题练习 1：选择题（1）多项式\(3(x - 2) + x(2 - x)\)的公因式是（ ）A. \(x - 2\) B. \(x + 2\) C. \(3 + x\) D. \(3 - x\)（2）分解因式\((a + b)^2 - (a + b)\)的结果正确的是（ ）A. \((a + b)(a + b)\) B. \((a + b)(a + b - 1)\) C. \((a + b)(a - b)\) D. \((a + b)(a + b + 1)\)练习 2：分解因式（1）\(5(x + 2) - x(x + 2)\)（2）\(m(a - b) + n(a - b)\)（3）\(4(x - y)^3 + 2(y - x)^2\)第 16 页：课堂练习 2—— 提高题练习 3：分解因式（1）\(x(x + y)^2 - (x + y)^3\)（2）\(3a(b - 2) - (2 - b)\)练习 4：已知\(a + b = 5\)，求多项式\(a(a + b) + b(a + b) - (a + b)^2\)的值。第 17 页：作业布置基础作业：教材第 [X] 页习题 [X] 第 3、4 题（只做提多项式公因式的题目）。提高作业：（1）分解因式\(2x(x - y)^2 - 4x^2(y - x)\)（2）若\(x - y = 3\)，求多项式\(x(x - y) + y(y - x) + 3(x - y)\)的值。拓展作业：思考如何分解因式\((x^2 + 3x + 2)(x^2 + 3x) + 1\)（提示：可将\(x^2 + 3x\)看作整体）。2025-2026学年湘教版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.会找多项式公因式；（重点）2.能运用提公因式法分解因式.（难点）请在下列各式等号右边的括号前填入“+” 或“－”号，使等式成立:（1）2 - a =_____（ a - 2 ）；（2）y - x =_____ （ x - y ）；（3）b + a =_____（ a + b ）；（4）- m - n =______（ m + n ）；（5）( a - b )3 = ( - a + b )3－－+－－做一做：把下列多项式因式分解：解：(1) x(x－2)－y(x－2)＝(x－2)(x－y). 提多项式公因式(2) x(x－2)－y(2－x)＝x(x－2)－y[－(x－2)] ＝x(x－2)＋y(x－2)＝(x－2)(x＋y).（1）x(x－2)－y(x－2)；（2）x(x－2)－y(2－x).因式分解：(1) 2a(b＋c)－3(b＋c)；(2) (a＋b)(a－b)－a－b.针对训练(2) 原式＝(a＋b)(a－b)－(a＋b) ＝(a＋b)(a－b－1).解：(1) 原式＝(2a－3)(b＋c).例1 把多项式 12xy²(x－y)2－18x²y(y－x)² 因式分解.分析：(1) 公因式的系数是多少?(2) 公因式中含哪些字母因式？对应字母的最低次数各是多少？(3) 公因式中含有什么式子？6x 与 y；x 与 y 的最低次数都是 1xy (x－y)2解 12xy²(x－y)²－18x²y(y－x)²=12xy²(x－y)²－18x²y(x－y)²=6xy(x－y)²·2y－6xy(x－y)²·3x=6xy(x－y)² (2y－3x).提公因式法步骤（分两步）第一步：找出公因式；第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.整体思想是数学中一种重要且常用的思想方法.       1. 把多项式 (x + 2)(x - 2) + (x - 2) 提取公因式 (x - 2) 后，余下的部分是（　　）A．x + 1 B．2x C．x + 2 D．x + 3 D2. 若 9a2( x - y )2 - 3a( y - x )3 ＝ M · ( 3a ＋ x - y )，则 M 等于___________.3a( x - y )2 解：(1) a(m - 6) + b(m - 6)3. 把下列各式因式分解： (1) a(m - 6) + b(m - 6)； (2) 3(a - b) + a(b - a).= (m - 6)(a + b).(2) 3(a - b) + a(b - a)= 3(a - b) - a(a - b)= (a - b)(3 - a).4. 分解因式：( x - y )2 + y( y - x ).解法1：( x - y )2 + y( y - x ) = ( x - y )2 - y( x - y ) = ( x - y )( x - y - y ) = ( x - y )( x - 2y ).解法2：( x - y )2 + y( y - x ) = ( y - x )2 + y( y - x ) = ( y - x )( y - x + y ) = ( y - x )( 2y - x ).解：(1) 2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12.(2) 原式 = (2x + 1)[(2x + 1) - (2x - 1)]= (2x + 1)(2x + 1 - 2x + 1) = 2(2x + 1).原式 = 4. A  返回 B  AA. 不为负数B. 恒为负数C. 恒为正数D. 不等于0 返回4.母题教材P7例5 因式分解：       返回   返回 BA. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形 返回 A     返回10. 先阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： （1）上述分解因式的方法是____________，共应用了___次；提公因式法2 2 025    返回提公因式法确定公因式的方法：三定 —— 即定系数，定字母，定指数分两步：第一步找公因式，第二步提公因式注意1. 分解因式是一种恒等变形；2. 公因式要提尽；3. 整项提出莫漏 1；4. 提负号，要注意变号必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！