2.1.1分式的概念（教学课件）湘教版2025-2026学年八年级数学上册

2.1.1 分式的概念教学幻灯片分页内容第 1 页：标题页标题：2.1.1 分式的概念副标题：初中数学 [对应年级]授课教师：[教师姓名]日期：[授课日期]第 2 页：复习回顾与引入回顾分数概念：我们学过分数，如\(\frac{1}{2}\)、\(\frac{3}{4}\)等，分数由分子、分母和分数线组成，其中分母不能为 0，因为分母为 0 时分数无意义。问题情境：观察下列式子\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{a}{b}\)、\(\frac{x + 1}{x - 2}\)，它们与分数有什么相似之处？又有什么不同？引入概念：像这样形如\(\frac{A}{B}\)（A、B 是整式，B 中含有字母且 B≠0）的式子叫做分式。其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。学习意义：分式是代数式的重要组成部分，学好分式的概念是学习分式运算和应用的基础。第 3 页：学习目标知识目标：理解分式的定义，能区分整式与分式；掌握分式有意义、无意义的条件；理解分式值为零的条件并能进行相关判断。能力目标：通过观察、比较整式与分式的区别，培养分析和判断能力；在解决分式有意义、值为零的问题中，提高逻辑推理能力。情感目标：感受数学概念的严谨性，体会分式在实际生活中的应用，激发学习数学的兴趣。第 4 页：知识点 1—— 分式的定义定义：形如\(\frac{A}{B}\)的式子，其中 A、B 是整式，且 B 中含有字母，同时 B≠0，这样的式子叫做分式。关键词解析：A 和 B 都是整式（单项式或多项式）。分母 B 中必须含有字母（区别于整式的关键特征）。分母 B 的值不能为 0（分式有意义的前提）。示例分析：\(\frac{1}{x}\)：分子是 1（整式），分母是 x（整式且含字母），是分式。\(\frac{x + y}{3}\)：分母是 3（不含字母），是整式（多项式），不是分式。\(\frac{a - b}{a + b}\)：分子、分母都是整式，分母含字母，是分式。\(\frac{2}{5}\)：分母不含字母，是分数（整式），不是分式。第 5 页：例题 1—— 区分整式与分式例 1：下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）\(\frac{3}{x}\) （2）\(\frac{x}{3}\) （3）\(\frac{1}{x + y}\) （4）\(x^2 + 2x\) （5）\(\frac{a}{b + 1}\) （6）\(\frac{2m}{3n}\)解析：整式是分母不含字母的式子，分式是分母含字母的式子。整式：（2）、（4）分式：（1）、（3）、（5）、（6）例 2：判断下列说法是否正确。（1）分式的分母中一定含有字母（正确）。（2）分子中含有字母的式子是分式（错误，如\(\frac{x}{3}\)分子含字母但分母不含，是整式）。（3）整式一定不是分式（正确，整式与分式是两类不同的代数式）。第 6 页：知识点 2—— 分式有意义、无意义的条件分式有意义的条件：分母不等于 0，即当 B≠0 时，分式\(\frac{A}{B}\)有意义。分式无意义的条件：分母等于 0，即当 B=0 时，分式\(\frac{A}{B}\)无意义。注意事项：分式有意义与否只与分母有关，与分子无关（分子可以为 0）。示例分析：分式\(\frac{1}{x - 1}\)：当\(x - 1≠0\)即\(x≠1\)时，分式有意义；当\(x = 1\)时，分式无意义。分式\(\frac{x + 2}{x^2 - 4}\)：分母\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)，当\(x≠2\)且\(x≠-2\)时，分式有意义；当\(x = 2\)或\(x=-2\)时，分式无意义。第 7 页：例题 2—— 分式有意义、无意义的条件例 2：当 x 取何值时，下列分式有意义？当 x 取何值时，分式无意义？（1）\(\frac{2}{x - 3}\)解析：有意义时，\(x - 3≠0\)即\(x≠3\)；无意义时，\(x - 3 = 0\)即\(x = 3\)。（2）\(\frac{x + 1}{2x + 6}\)解析：分母\(2x + 6 = 2(x + 3)\)，有意义时\(x + 3≠0\)即\(x≠-3\)；无意义时\(x=-3\)。（3）\(\frac{1}{x^2 + 1}\)解析：分母\(x^2 + 1\)，因为\(x^2≥0\)，所以\(x^2 + 1≥1\)恒不为 0，因此 x 取任意实数时，分式都有意义。第 8 页：知识点 3—— 分式值为零的条件分式值为零的条件：分子等于 0 且分母不等于 0，即当 A=0 且 B≠0 时，分式\(\frac{A}{B}\)的值为 0。关键提醒：分子必须为 0（保证分式的值可能为 0）。分母不能为 0（保证分式有意义）。两者缺一不可，需同时满足。示例分析：分式\(\frac{x - 2}{x + 1}\)：值为 0 时，需\(x - 2 = 0\)且\(x + 1≠0\)，即\(x = 2\)（此时分母\(2 + 1 = 3≠0\)）。分式\(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\)：分子\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)，值为 0 时需\(x + 2 = 0\)或\(x - 2 = 0\)，且分母\(x - 2≠0\)，因此\(x=-2\)（\(x = 2\)时分母为 0，舍去）。第 9 页：例题 3—— 分式值为零的条件例 3：当 x 取何值时，下列分式的值为 0？（1）\(\frac{x}{x + 5}\)解析：分子\(x = 0\)，且分母\(x + 5≠0\)即\(x≠-5\)，因此\(x = 0\)。（2）\(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\)解析：分子\(x^2 - 1 = 0\)得\(x = 1\)或\(x=-1\)；分母\(x - 1≠0\)即\(x≠1\)，因此\(x=-1\)。（3）\(\frac{|x| - 3}{x + 3}\)解析：分子\(|x| - 3 = 0\)得\(x = 3\)或\(x=-3\)；分母\(x + 3≠0\)即\(x≠-3\)，因此\(x = 3\)。第 10 页：知识点 4—— 分式与实际问题的联系实际应用场景：分式在行程问题、工程问题、浓度问题等实际问题中广泛应用。示例：若汽车行驶的路程为 s 千米，行驶时间为 t 小时，则汽车的平均速度为\(\frac{s}{t}\)千米 / 小时（t≠0）。一项工程，甲单独完成需要 a 天，乙单独完成需要 b 天，则甲的工作效率为\(\frac{1}{a}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{b}\)（a、b 均为正整数）。有 m 克盐溶解在 n 克水中，盐水的浓度为\(\frac{m}{m + n}\)（m + n≠0）。意义：通过实际问题感受分式的实用性，理解分式中字母取值的实际意义（如时间、工作量等不能为 0 或负数）。第 11 页：典型例题 —— 综合应用例 4：已知分式\(\frac{2x - 6}{x^2 - 5x + 6}\)。（1）当 x 为何值时，分式无意义？（2）当 x 为何值时，分式有意义？（3）当 x 为何值时，分式的值为 0？解析：（1）分母\(x^2 - 5x + 6=(x - 2)(x - 3)\)，令分母为 0 得\(x = 2\)或\(x = 3\)，因此 x=2 或 x=3 时，分式无意义。（2）由（1）可知，当 x≠2 且 x≠3 时，分式有意义。（3）分子\(2x - 6 = 0\)得\(x = 3\)，但 x=3 时分母为 0，因此分式的值不可能为 0。第 12 页：易错点总结概念理解错误：混淆整式与分式，认为分子含字母就是分式（忽略分母是否含字母），如误将\(\frac{x}{5}\)当作分式。忽略分式定义中 “B≠0” 的条件，认为只要分母含字母就是分式，未强调分母不能为 0。条件判断错误：判断分式有意义时，只考虑分子不为 0，忽略分母不为 0 的关键条件。判断分式值为零时，只考虑分子为 0，忘记验证分母是否不为 0，如\(\frac{x - 2}{x - 2}\)错误认为 x=2 时值为 0（实际此时分式无意义）。实际应用错误：在实际问题中忽略字母取值的实际限制，如时间、长度等不能为负数或零，导致字母取值范围判断错误。第 13 页：课堂练习 1—— 基础题练习 1：选择题（1）下列式子中，是分式的是（ ）A. \(\frac{x}{2}\) B. \(\frac{2}{x}\) C. \(x + y\) D. \(\frac{1}{3}\)（2）当 x=2 时，分式\(\frac{x - 2}{x + 1}\)的值为（ ）A. 0 B. 1 C. 无意义 D. 2练习 2：填空题（1）分式\(\frac{1}{x - 5}\)有意义的条件是______。（2）分式\(\frac{x^2 - 9}{x + 3}\)无意义的条件是______。（3）当 x=______时，分式\(\frac{x - 1}{x + 2}\)的值为 0。第 14 页：课堂练习 2—— 提高题练习 3：解答题（1）当 x 取何值时，分式\(\frac{2x + 1}{3x - 6}\)有意义？值为 0？（2）已知分式\(\frac{|x| - 2}{x^2 - x - 2}\)，当 x 为何值时，分式无意义？当 x 为何值时，分式的值为 0？练习 4：当 m 为何值时，分式\(\frac{(m - 1)(m - 3)}{m^2 - 3m + 2}\)的值为 0？第 15 页：作业布置基础作业：教材第 [X] 页习题 [X] 第 1、2、3 题。提高作业：（1）若分式\(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\)的值为 0，求 x 的值。（2）当 x 满足什么条件时，分式\(\frac{1}{x^2 + 2x + 1}\)有意义？拓展作业：编写一个含有分式的实际问题，并指出其中分式有意义的条件。2025-2026学年湘教版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 了解分式的概念；2. 理解分式有意义的条件及分式值为零的条件；（重点）3. 能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．（难点）问题1：已知 6 = 3×2，那从这个式子能得到什么除法运算结果？问题2(类比数的整除)：已知 x2－1＝(x＋1)(x－1)，那 x2－1 除以 x＋1 的结果应该是多少呢？(x2－1)÷(x＋1)＝x－1.6÷3＝2.问题3：已知 8 = 3×2＋2，显然 8 不能被 3 整除，那我们怎么表示 8 除以 3 的结果呢？分式的概念 问题4(类比数不能整除的表示)：已知 x2＋1＝(x＋1)(x－1)＋2，那 x2＋1 能被 x＋1 整除吗？不能整除的话，该怎么表示这个结果呢？ 分式的定义思考：（1）分式与分数有何联系？②分数是分式中的字母取某些值的结果，更具一般性.整数整数整式整式(分母含有字母）分数分式类比思想特殊到一般的思想①(是一个数）判一判：下面的式子哪些是分式？分式:归纳：1. 判断时，注意含有 π 的式子中 π 是常数.2. 式子中含有多项时，若其中至少一项分母含有字母，其他项为整式，则该式也为分式，如： .(1) 当 x = 3 时，分式的值是多少?(2) 当 x = -2 时，分式的值能算出来吗?不能，当 x = -2 时，分式分母为 0，没有意义. 当 x_____时，分式有意义.(3) 当 x 为何值时，分式有意义？一般到特殊的思想类比思想≠-2分式有意义的条件对于分式 ：当_______时分式有意义；当_______时无意义.g ≠ 0g = 0分式有意义的条件例1 已知分式 有意义，则 x 应满足的条件是 (　　)A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1 且 x≠2 D．以上结果都不对方法总结：分式有意义的条件是分母不为零. 如果分母是几个因式乘积的形式，那么每个因式都不为零.C（4）当 时，分式 有意义；（2）当 x 时，分式 有意义；（1）当 x 时，分式 有意义；x≠y（3）当 b 时，分式 有意义；（5）当 x 时，分式 有意义.做一做：为任意实数≠0≠1注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.分式值为零的条件及求分式的值解：当分子等于零而分母不等于零时，分式的值为零.所以 x≠-1.而 x + 1≠0，所以 x = ±1.则 x2 - 1 = 0，例2 当 x 为何值时，分式 的值为零?解：(1) 由题意可得，若分母 2x - 3 的值为 0， 则分式的值不存在，解方程 2x - 3 = 0，得 ， 例3 已知分式 ：（1）当 x 取哪个数时， 的值不存在？（2）当 x 取哪个数时， 的值等于 0 ？(2) 由题意可得，若分子 x－2 的值为 0，则分式的值为 0，解方程 x－2＝0，得 x＝2.又因为此时分母 2x－3 的值为 2×2－3＝1≠0，解：(1) 由题意可得，若分母 x + 1 的值为 0，则分式的值不存在，解方程 x + 1 = 0，得 x = -1. (2) 不可能，因为由题意可得，若分子 x2 + 1 的值为 0，则分式的值为 0. 例4 求下列条件下分式 的值. （1）x = 3；（2）x = -0.4.1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D.C2. 当 a = -1 时，分式 （ ） A. 没有意义 B. 等于零 C. 等于 1 D. 等于 -1A3. 当 x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）A4. 已知当 x = 5 时，分式 的值等于零，则 k = .-10答：当 x≠3 时，该分式有意义；当 x = -3 时，该分式的值为零.6. 分式 的值能为 0 吗？说明理由．答：不能. 因为若 ，则必须 x = -3；而 x = -3 时，分母 x2 - x - 12 = 0，分式无意义. BA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 C  返回 B  返回   返回 2  返回        返回 （1）分式的值是0？ （2）分式的值不存在？ （3）分式的值是正数？  返回 B 10. 下列关于分式的判断，正确的是( )D  返回分式定义值为零的条件有意义的条件分式 有意义的条件是 g≠0分式 的值为零的条件是 f = 0且 g ≠ 0概念：一个整式 f 除以一个非零整式 g (g 中含字母) 所得的商 必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！