2.1.2分式的基本性质（教学课件）湘教版2025-2026学年八年级数学上册

2.1.2 分式的基本性质教学幻灯片分页内容第 1 页：标题页标题：2.1.2 分式的基本性质副标题：初中数学 [对应年级]授课教师：[教师姓名]日期：[授课日期]第 2 页：复习回顾与引入回顾分数基本性质：分数的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为 0 的数，分数的值不变，即\(\frac{a}{b}=\frac{a×c}{b×c}=\frac{a÷c}{b÷c}\)（\(b≠0\)，\(c≠0\)）。例如\(\frac{2}{3}=\frac{2×2}{3×2}=\frac{4}{6}\)，\(\frac{6}{8}=\frac{6÷2}{8÷2}=\frac{3}{4}\)。问题情境：分式与分数有很多相似之处，分数有基本性质，那么分式是否也有类似的性质呢？引入概念：分式也有基本性质，这是分式变形和运算的重要依据，本节课我们将学习分式的基本性质及其应用。学习意义：掌握分式的基本性质是进行分式约分、通分及化简的基础，对后续分式运算至关重要。第 3 页：学习目标知识目标：理解并掌握分式的基本性质；能运用分式的基本性质进行分式的变形；理解约分的概念，能对分式进行约分并化为最简分式。能力目标：通过类比分数的基本性质学习分式的基本性质，培养类比推理能力；在运用性质进行分式变形和约分的过程中，提高运算能力和逻辑思维能力。情感目标：体会数学知识之间的联系（分数与分式），感受数学的严谨性，激发对分式学习的兴趣。第 4 页：知识点 1—— 分式的基本性质基本性质内容：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。字母表示：\(\frac{A}{B}=\frac{A×C}{B×C}\)，\(\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}\)（其中 A、B、C 是整式，且\(B≠0\)，\(C≠0\)）。关键词解析：同时乘（或除以）：分子和分母必须进行相同的运算，不能只改变分子或只改变分母。同一个：乘（或除以）的整式必须是同一个整式。不等于 0 的整式：C 不能为 0，否则分母可能为 0，分式无意义。示例分析：对于分式\(\frac{x}{y}\)，若乘整式\(2a\)（\(a≠0\)），则\(\frac{x}{y}=\frac{x×2a}{y×2a}=\frac{2ax}{2ay}\)。对于分式\(\frac{6a^2b}{4ab^2}\)，若除以整式\(2ab\)（\(a≠0\)，\(b≠0\)），则\(\frac{6a^2b÷2ab}{4ab^2÷2ab}=\frac{3a}{2b}\)。第 5 页：例题 1—— 利用分式基本性质变形例 1：填空，使等式成立。（1）\(\frac{1}{x}=\frac{()}{xy}\)（\(y≠0\)）解析：分母乘\(y\)，根据分式基本性质，分子也应乘\(y\)，因此括号内应填\(y\)。（2）\(\frac{a + b}{ab}=\frac{()}{a^2b}\)（\(a≠0\)，\(b≠0\)）解析：分母乘\(a\)，分子也应乘\(a\)，\((a + b)×a=a^2 + ab\)，因此括号内应填\(a^2 + ab\)。（3）\(\frac{x^2 - xy}{x^2}=\frac{x - y}{()}\)（\(x≠0\)）解析：分子除以\(x\)，分母也应除以\(x\)，\(x^2÷x=x\)，因此括号内应填\(x\)。（4）\(\frac{2x}{x + y}=\frac{()}{(x + y)(x - y)}\)（\(x≠y\)）解析：分母乘\(x - y\)，分子也应乘\(x - y\)，\(2x(x - y)=2x^2 - 2xy\)，因此括号内应填\(2x^2 - 2xy\)。第 6 页：知识点 2—— 分式的符号法则符号法则内容：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。符号表示：\(\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}=-\frac{A}{B}\)\(\frac{-A}{-B}=\frac{A}{B}\)理解要点：改变一个符号：分式的值改变符号，如\(\frac{A}{B}=-\frac{-A}{B}\)。改变两个符号：分式的值不变，如\(\frac{-A}{-B}=\frac{A}{B}\)。改变三个符号：分式的值改变符号，如\(-\frac{-A}{-B}=-\frac{A}{B}\)。示例分析：\(\frac{-x}{y}=-\frac{x}{y}\)，\(\frac{x}{-y}=-\frac{x}{y}\)，\(\frac{-x}{-y}=\frac{x}{y}\)。\(-\frac{a - b}{c}=\frac{b - a}{c}\)（改变分子和分式本身的符号）。第 7 页：例题 2—— 分式符号的变化例 2：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含 “-” 号。（1）\(\frac{-3x}{-y}\)解析：分子和分母都含 “-” 号，根据符号法则，改变两个符号值不变，得\(\frac{3x}{y}\)。（2）\(\frac{-2a}{b}\)解析：分子含 “-” 号，改变分子和分式本身的符号，得\(-\frac{2a}{b}\)（或\(\frac{2a}{-b}\)，但通常使分母不含负号）。（3）\(\frac{5m}{-n}\)解析：分母含 “-” 号，改变分母和分式本身的符号，得\(-\frac{5m}{n}\)。例 3：不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数。（1）\(\frac{2 - x}{x^2 - 1}\)解析：分子最高次项系数为 - 1，分母最高次项系数为 1，改变分子符号和分式本身符号，得\(\frac{x - 2}{x^2 - 1}\)。（2）\(\frac{-x^2 + 3x}{-x + 2}\)解析：分子最高次项系数为 - 1，分母最高次项系数为 - 1，分子分母同时改变符号，得\(\frac{x^2 - 3x}{x - 2}\)。第 8 页：知识点 3—— 约分的概念约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分依据：分式的基本性质（分子和分母同时除以同一个不为 0 的整式）。公因式定义：分子与分母都含有的因式叫做它们的公因式（可以是单项式或多项式）。示例分析：分式\(\frac{6a^2b}{4ab^2}\)的分子分母公因式是\(2ab\)，约分后得\(\frac{3a}{2b}\)。分式\(\frac{x(x + y)}{(x + y)}\)（\(x + y≠0\)）的公因式是\(x + y\)，约分后得\(x\)。第 9 页：知识点 4—— 约分的步骤约分步骤：第一步：确定分子和分母的公因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，多项式因式先分解）。第二步：将分子和分母同时除以公因式。第三步：检查约分后的分式是否还能继续约分，直到分子与分母没有公因式为止。最简分式定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。约分的最终结果应为最简分式或整式。示例演示：约分\(\frac{12x^2y^3}{18x^3y}\)。第一步：确定公因式，系数 12 和 18 的最大公约数是 6；相同字母\(x\)取最低次幂\(x^2\)，\(y\)取最低次幂\(y\)，公因式是\(6x^2y\)。第二步：分子分母同时除以公因式，\(\frac{12x^2y^3÷6x^2y}{18x^3y÷6x^2y}=\frac{2y^2}{3x}\)。第三步：\(\frac{2y^2}{3x}\)分子分母无公因式，是最简分式。第 10 页：例题 3—— 分式的约分（单项式公因式）例 3：约分。（1）\(\frac{-25a^2bc^3}{15ab^2c}\)解析：公因式是\(5abc\)；分子分母同时除以\(5abc\)，得\(\frac{-5ac^2}{3b}=-\frac{5ac^2}{3b}\)。（2）\(\frac{4x^2y}{6xy^2}\)解析：公因式是\(2xy\)；分子分母同时除以\(2xy\)，得\(\frac{2x}{3y}\)。（3）\(\frac{3a^2b(m - 1)}{9ab^2(1 - m)}\)解析：先将\(1 - m\)转化为\(-(m - 1)\)，公因式是\(3ab(m - 1)\)；分子分母同时除以公因式，得\(\frac{a}{-3b}=-\frac{a}{3b}\)。第 11 页：例题 4—— 分式的约分（多项式公因式）例 4：约分。（1）\(\frac{x^2 - 4}{x + 2}\)解析：分子分解因式为\((x + 2)(x - 2)\)，公因式是\(x + 2\)（\(x + 2≠0\)）；约分后得\(x - 2\)。（2）\(\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2}\)解析：分子分解为\((a - b)^2\)，分母分解为\((a + b)(a - b)\)，公因式是\(a - b\)（\(a - b≠0\)）；约分后得\(\frac{a - b}{a + b}\)。（3）\(\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4}\)解析：分子分解为\((x + 2)^2\)，分母分解为\((x + 2)(x - 2)\)，公因式是\(x + 2\)（\(x + 2≠0\)）；约分后得\(\frac{x + 2}{x - 2}\)。第 12 页：典型例题 —— 约分综合应用例 5：约分\(\frac{(x - y)^3}{(y - x)^2}\)。解析：先将\((y - x)^2\)转化为\((x - y)^2\)（因为平方后符号不变）；公因式是\((x - y)^2\)；约分后得\(x - y\)。例 6：约分\(\frac{2x^2 - 8}{x^2 - 4x + 4}\)。解析：分子分解因式为\(2(x^2 - 4)=2(x + 2)(x - 2)\)；分母分解因式为\((x - 2)^2\)；公因式是\(x - 2\)（\(x - 2≠0\)）；约分后得\(\frac{2(x + 2)}{x - 2}=\frac{2x + 4}{x - 2}\)。第 13 页：易错点总结分式基本性质应用错误：忽略 “C≠0” 的条件，在未明确整式 C 是否为 0 的情况下进行变形，如\(\frac{x}{y}=\frac{x×(x - 1)}{y×(x - 1)}\)未注明\(x≠1\)。只对分子或分母进行变形，如\(\frac{x}{y}=\frac{x×2}{y}\)（错误，未同时乘 2）。符号法则应用错误：改变符号时未遵循 “改变两个符号值不变” 的原则，如\(\frac{-x}{-y}=-\frac{x}{y}\)（正确应为\(\frac{x}{y}\)）。处理多项式符号时出错，如\(\frac{2 - x}{x - 1}=\frac{x - 2}{x - 1}\)（错误，应为\(-\frac{x - 2}{x - 1}\)）。约分错误：公因式确定错误，漏提系数的最大公约数或字母的最低次幂，如\(\frac{4x^2y}{6xy^2}\)公因式错定为\(2x\)（正确是\(2xy\)）。未先分解多项式因式就约分，导致公因式提取不彻底，如\(\frac{x^2 - 4}{x + 2}\)直接约分（应先分解分子）。约分时去掉了分子或分母中的项，而非公因式，如\(\frac{x + 1}{x + 2}=\frac{1}{2}\)（错误，x + 1 和 x + 2 无公因式）。第 14 页：课堂练习 1—— 基础题练习 1：选择题（1）下列等式成立的是（ ）A. \(\frac{x}{y}=\frac{x^2}{y^2}\) B. \(\frac{x}{y}=\frac{x + 2}{y + 2}\) C. \(\frac{x}{y}=\frac{ax}{ay}\)（\(a≠0\)） D. \(\frac{x}{y}=\frac{x - a}{y - a}\)（2）分式\(\frac{-a}{a - b}\)可变形为（ ）A. \(\frac{a}{-a - b}\) B. \(\frac{a}{a + b}\) C. \(-\frac{a}{a + b}\) D. \(-\frac{a}{a - b}\)练习 2：约分（1）\(\frac{15xy^2}{25x^2y}\)（2）\(\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 4x + 4}\)（3）\(\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2}\)第 15 页：课堂练习 2—— 提高题练习 3：填空（1）\(\frac{a + b}{ab}=\frac{()}{a^2b^2}\)（\(a≠0\)，\(b≠0\)）（2）\(\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}=\frac{x + 3}{()}\)练习 4：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号，且分子分母最高次项系数为正。（1）\(\frac{-x^2}{-x + y}\)（2）(\frac{2 - 32025-2026学年湘教版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 理解并掌握分式的基本性质；（重点）2. 会运用分式的基本性质进行分式的约分.（难点）分数的 基本性质 分数的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的数，分数的值不变. 2. 这些分数相等的依据是什么？ 1. 把 3 个苹果平均分给 6 个同学，每个同学得到几个苹果？相等8991分式的基本性质   想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？从右到左看①式，可以发现：分式的分子与分母都乘同一个不为 0 的多项式，所得分式与原分式相等.从左到右看①式，可以发现：分式的分子与分母都除以它们的一个不为 0 的公因式，所得分式与原分式相等.分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式 (或除以它们的一个不为 0 的公因式)，所得分式与原分式相等.下列关于分式的等式是否成立？为什么?        例1 填空：看分母如何变化，想分子如何变化.看分子如何变化，想分母如何变化.想一想：(1)中为什么不给出 x≠0，而(2)中却给出了 b≠0?例2　根据分式的基本性质填空：想一想：运用分式的基本性质应注意什么?(1)“都”(2)“同一个”(3)“不为 0” a2 - 1x2x - 3解：(1)例3　不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.(1) (2) 分式的约分利用分式的基本性质填空，并说明理由.    想一想：联想分数的约分，由上例你能想出如何对分式进行约分吗？与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的“公因式”.x－3　 像这样，利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分．约分的定义如果分式的分子与分母没有公因式，那么称这个分式是最简分式.　 例4 把下列分式化成最简分式：  分析：化成最简分式的方法是约分.分析：若分子或分母是多项式，应先将其因式分解，然后找出分子与分母的公因式，最后约去公因式. 解：(1) 约分的基本步骤(1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；(2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式．因此，可将其先化为最简分式，即    注意事项：（1）约分前后分式的值要相等；（2）约分的关键是确定分式分子和分母的公因式；（3）约分是对分子，分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都要除以同一个因式.1. 下列各式中最简分式是( )D 2. 下列各式从左到右的变形正确的是( )D  返回 B   返回  5.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号：      返回   返回   返回8. 请从下列三个代数式中任选两个（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简该分式，然后请你自选一个合理的数代入求值.   返回 B  返回10. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是( )A  返回分式的基本性质分式的约分求值先分解因式，找出分子与分母的公因式，再约分必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！